精品解析：河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题

2024年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知：，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量若则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 7. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D. 若，则 8. 如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列有关复数内容表述正确的是（ ） A. 若复数满足，则一定为纯虚数 B. 对任意的复数均满足： C. 设在复数范围内方程的两根为，，则 D. 对任意两个复数，，若，则，至少有一个为 10. 已知函数，且，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减 11. 如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不可能存在这样的点，使得 B. 若，，则 C. 若平面，则 D. 周长的最小值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________. 13. 如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________. 14. 设为函数图象上任意一点，则的最大值是___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知复数满足，求； （2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 16. 已知为锐角，为钝角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 在中，，. （1）求证：； （2）若，，求的值. 18. 如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为. （1）求证：； （2）若，， ①求的最大值； ②当时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用二倍角余弦公式可解. 【详解】运用二倍角余弦公式得到. 故选：C. 2. 已知：，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先运用除法规则化简计算复数，后根据模公式求解即可. 【详解】，则. 故选：A. 3. 如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的性质可得圆锥母线长及圆锥的高，再根据等面积法可得距离的最大值. 【详解】 如图所示根据圆锥的性质，可知， 由圆锥底面半径为，则，， 所以， 易知圆锥上到水平面的距离最大的点为，设距离为， 所以， 则， 故选：C. 4. 已知向量若则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到与的夹角为与夹角的补角，再计算与的夹角，求其补角即可. 【详解】因为， 所以与的夹角为与夹角的补角. 设与夹角为，， 由，所以，与的夹角为. 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题. 5. 在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求在向量上的投影，再乘以方向上的单位向量可得. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影数量为：， 所以在上的投影向量为：. 故选：D 6. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多，计算三棱锥的体积与原体积的关系，可得最多盛水量. 【详解】 连接DE，DF，EF，当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多， 因为，所以， 又因为，所以F到平面SDE的距离是C到平面SAB的距离的， 所以，容器可盛水原来水的. 故选：B. 7. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可. 【详解】对A：. 由，，，所以函数的对称中心为，故A错误； 对B：. 设，则，且， 所以， 当时，.故B错误； 对C：. 因为且，所以. 所以. 所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：，故C错误； 对D：由. 所以，故D正确. 故选：D 8. 如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定和的外心，再过外心作所在平面的垂线，两线的交点就是三棱锥外接球的球心，确定球心位置，即可求外接球半径，进而求解. 【详解】如图： 取中点，中点，连接，，由题意可知： ，，所以为二面角的平面角，. 由题意可得为等腰直角三角形，所以为的外心， 过作直线平面，则三棱锥外接球的球心必在直线上. 因为平面，平面，所以，所以在平面中. 又为的外心，连接，则平面. 所以. 由于，，则， 为等腰直角三角形，故， 在中， ，，，所以. 所以三棱锥外接球的半径：， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题确定外接球球心位置的方法是：作三棱锥两个平面的外心，过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点就是三棱锥的外接球的球心. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列有关复数内容表述正确的是（ ） A. 若复数满足，则一定为纯虚数 B. 对任意的复数均满足： C. 设在复数范围内方程的两根为，，则 D. 对任意两个复数，，若，则，至少有一个为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的相关定义及运算分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，，此时，当为实数，A选项错误； B选项：设，则，，B选项错误； C选项：，则，，则，C选项正确； D选项：设，，则， 即，化简可得，即，则与至少有一个为，即，至少有一个为，D选项正确； 故选：CD. 10. 已知函数，且，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意，得，可得，利用正弦函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：，且， 的图象关于直线对称， ，即，正确； ， ，为偶函数，正确； 又，当时为最大值，当时为最小值， 函数的图象关于直线对称，正确； ，则， 由于的正负不确定，则函数在区间上单调性不确定，错误． 故选：． 11. 如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不可能存在这样的点，使得 B. 若，，则 C. 若平面，则 D. 周长的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直判断点的位置，可判断A的真假；利用锥体的体积公式可以求锥体和的体积之比，从而判断B的真假；根据线面平行的性质判断C的真假；利用三棱锥的侧面展开求周长的最小值，判断D的真假. 【详解】对选项A：如图： 取中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，所以， 在中，，所以， ，且平面，所以平面. 平面，所以. 又，，平面，所以平面. 所以要有，则必有平面.故点与点重合. 这与为上的点且异于端点矛盾，故A正确； 对选项B：因为， 所以，故B错误； 对选项C：若平面，平面，平面平面，所以，故C正确； 对D选项：如图： 将三棱锥的侧面展开，当共线时，的周长最小. 此时， 所以， 所以.所以.故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：几何问题中，求线段或线段和的最小值，常常转化为：一、两点之间直线段最短，二、点到直线的距离垂线段最短. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接可得解. 【详解】 由点是线段的三等分点，可得，或， 则， 或， 即点的坐标为或， 故答案为：或. 13. 如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用余弦定理求，判断为等腰三角形，进一步可求，再根据，结合比例的性质可求的长. 【详解】在中，由余弦定理可得：， 即，又，所以. 因为，平分，所以，所以. 在中，因为，所以. 因为，所以， 所以. 故答案为： 14. 设为函数图象上任意一点，则的最大值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，然后分类讨论证明，最后给出取到等号的例子即可. 【详解】由已知有，且. 由于余弦函数是偶函数，故，从而. 由于，故，从而. 所以. 这就得到. 若，则； 若，则，所以 . 综上，有. 当的坐标是时，即，时，有. 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当使用不等关系求最大值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知复数满足，求； （2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件求出复数，再根据复数的乘除法运算计算结果. （2）根据第三象限内点的坐标特点列出不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】（1）因为，可设，则，所以. 所以. （2）由题意：. 所以所求的取值范围为：. 16. 已知为锐角，为钝角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，齐次式的方法即可求值； （2）分别求出，的值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为为锐角，，可得，， 由，可得， 所以， 则， 又因为，所以，而， 可得，所以． 17. 在中，，. （1）求证：； （2）若，，求的值. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 两边同时除以，得， 故命题得证． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用三角形的面积公式，求证即可； （2）令，根据，且，利用三角形相似的性质，求得，再在中，利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，，则，， 当时，，和均为等腰三角形，且，， 所以， 所以，整理得， 所以，解得（舍负）， 不妨取，，则，， 在中，由余弦定理知，． 18. 如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） 平面，平面， ，又底面为矩形，则， 又且都在面内， 平面，又平面， ，又，则， 又，点是棱的中点，则， 又且都在面内， 平面，又平面， ； （2）三棱锥的体积是为定值，为. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的判定定理证明平面即可； （2）过作，且，过作，且，连接，则易证平面，再根据三棱锥的体积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 三棱锥的体积是为定值，且定值为，理由如下： 如图，过作，且， 过作，且，连接， 又，， ，，， ，， 又，则，故四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，又为上任意一点， 到平面的距离为定值，又的面积也为定值， 三棱锥的体积是定值， 由（1）知平面，由，故平面， 到平面的距离为， 又的面积为， 三棱锥的体积为： ， 故三棱锥的体积是为定值，且定值为． 19. 已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为. （1）求证：； （2）若，， ①求的最大值； ②当时，求的值. 【答案】（1） 证明：连接，，， 则， 故； （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）由图中三角形的面积关系，结合，与圆相切即可证明结论； （2）①由（1）中关系式，结合余弦定理及基本不等式，可求得的最大值；②由切线的性质，可得，由已知求得，再结合平面向量数量积的几何意义，即可求得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，又因为， 由得，， 故， 由（1）知：， 由式可得， 由得， 故，当且仅当时取“”， 因此，，即的最大值为； ②不妨设另两个切点分别为，，，， 则，，且， 根据过圆外一点的切线长相等有，即，又， 故可求得：， 由①知，可得， 又，得， 故． 【点睛】知识点点睛：本题考查切线性质、余弦定理、基本不等式的应用及平面向量数量积运算，属中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $