精品解析：河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

绝密★启用前 河北郑口中学高一年级期末考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为，质量不超过的概率为，那么质量在范围内的概率是（ ） A 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68 3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 为单位向量 B. 若，则 C. 若，，共面，则它们所在的直线共面 D. 已知，，则在上的投影向量为 4. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 5. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 7. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 的虚部为 D. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限 10. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与对立 11. （多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线与所成角大小为 B. 二面角的平面角的余弦值为 C. 此八面体存在外接球 D. 此八面体内切球表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为___________颗． 13. 如图，线段平面内，，且，则__________. 14. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 16. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 18. 如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 19. 对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. （1）若，求及； （2）已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； （3）证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 河北郑口中学高一年级期末考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质即可判断A；对BCD举出反例即可. 【详解】对于A项，若，则，又，所以，故A项正确； 对于B项，若，此时与可能相交或平行，故B项错误； 对于C项，若，此时或，由线面平行的判定定理可知或，故C项错误； 对于D项，比如教室的一角三个面相互垂直，故D项错误. 故选：A. 2. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为，质量不超过的概率为，那么质量在范围内的概率是（ ） A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件的概念求解答案即可. 【详解】设质量小于为事件，不超过为事件，在范围内为事件， 则，又与互斥，所以， 即，所以. 故答案为：C. 3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 为单位向量 B. 若，则 C. 若，，共面，则它们所在的直线共面 D. 已知，，则在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项中注意单位向量的定义；B选项注意零向量的特殊情况，与直线平行的传递性区分开来；C选项注意向量可以平移的特点；D选项根据投影向量的计算公式，可得D正确. 【详解】对于选项A：，因此不是单位向量，因此A错误； 对于选项B：若为零向量，则与不一定共线，因此B错误； 对于选项C：例如在正方体中，因为，所以向量，，共面，但它们所在的三条直线，，显然不在同一平面内，因此C错误； 对于选项D：在上的投影向量为，因此D正确. 故选：D 4. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 5. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 6. 年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前名人中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】D 【解析】 【分析】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D. 【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多 (人).故选项A判断正确； 由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等， 因此高一人数为，故选项B判断正确； 成绩第1-50名的50人中，高一人数为, 因此高三最多有32人. 故选项C判断正确； 成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误. 故选：D 7. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据正方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 由题知，所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 8. 如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】设， 由， 又由， 所以，解得，可得， 因为，所以，所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 的虚部为 D. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据模长公式分析求解；对于B：先根据乘法运算求，再结合共轭复数的概念分析判断；对于C：先根据除法运算求，再结合虚部的概念分析判断；对于D：先求，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：因为，所以，故A错误； 对于选项B：因为，所以的共轭复数为，故B正确； 对于选项C：因为，所以的虚部为，故C正确； 对于选项D：因为，所以复数对应的点为，位于第四象限，故D错误； 故选：BC. 10. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与对立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决. 【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）： 共36种， 若，此时取或 所以，故A错误； 若，则恒成立， 所以与互斥，故B正确； ，故C正确； 当时，，此时事件与均未发生， 所以事件与不对立，故D错误. 故选：BC 11. （多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线与所成角大小为 B. 二面角的平面角的余弦值为 C. 此八面体存在外接球 D. 此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角判断AB；由判断C项；利用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项． 【详解】连接交于点，连接，由正方形，得， 又八面体的每个面都是正三角形，则三点共线，且平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 对于A，，则， 所以异面直线与所成角大小为，A正确； 对于B，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 于是，又平面与平面所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，B错误； 对于C，因为，即为此八面体外接球的球心， 因此此八面体一定存在外接球，C正确； 对于D，设内切球的半径为，，八面体表面积 则八面体的体积为， 又八面体的体积为，因此，解得， 所以内切球的表面积为，D正确． 故选：ACD 【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为___________颗． 【答案】300 【解析】 【分析】可以利用频率估计总体概率，来估计总体分布. 【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得， 解得， 即白色围棋子的数目大约有300颗． 故答案为：300. 13. 如图，线段在平面内，，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再根据线面垂直的性质得，最后根据勾股定理即可得到答案. 【详解】连接，如图，在中，根据余弦定理有： ， 因为，所以， 所以. 故答案为：4. 14. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨假设游戏结束时恰好划拳3次时是甲登上第3个台阶，考虑所有可能的情况，同时考虑到也可能是划拳3次恰好是乙登上第3个台阶，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为， 事件“第次划拳甲输”为， 则； 故 ， 故答案为： 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于考虑清楚游戏结束时恰好划拳3次的所有可能情况，要注意到最终登上第3个台阶的人在第2次划拳时不能输. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； （2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【小问1详解】 证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 【小问2详解】 由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 16. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【答案】（1）个； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解； （2）利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得. 【小问1详解】 因为，所以， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 所以一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个. 【小问2详解】 易知， 则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为， 底面面积为， 所以一个陀螺的表面积为， 所以， 所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）84 （3）总平均数为；总方差为 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 18. 如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，通过证明平面，证得； （2）以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，向量法求直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为，连接. 因为，，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以.① 平面，平面，， 为正方形，，平面中，， 又，即有，所以四边形是矩形. 因为，，所以， 又由已知得，，所以四边形为矩形，所以.② 由①②， 结合， 平面， 所以平面，平面，所以. 【小问2详解】 ，由（1）可知，又因为，所以. 以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得. 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成的角为. 19. 对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. （1）若，求及； （2）已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； （3）证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 【答案】（1） （2）1349. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知的新定义求出，从而可求出及； （2）根据求出，从而可求出，进而可得且，则可求出的最小值； （3）分，，和四种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以. 小问2详解】 因为， 所以或 所以， 即. 由题意可得， ， ， 根据规律可得且， 由且可得的最大值为674，所以， 所以，此后进入循环. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以最小时，的最小值为1349. 【小问3详解】 证明：当时，显然存在，使得. 当时，，即，存在，使得. 同理，当时，存在，使得. 当时，若，则，存在，使得. 若，设. 假设对任意，则均不为0. 因为，所以. 若，则， 若，则， 所以， 所以，即. 因为，所以， 所以， 与矛盾，故假设不正确，即存，使得. 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的新定义，解题的关键是对平面向量新定义的正确理解，根据新定义求解，考查分析问题的能力、理解能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$