第三章 一元函数的导数及其应用综合测试卷-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

第三章 一元函数的导数及其应用综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（5分）（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2023·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 4．（5分）（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2024·四川·三模）已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2023·河南·模拟预测）已知定义在上的函数是的导函数且定义域也是，若为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是上的增函数 B．函数有且仅有一个零点 C．函数的最小值为 D．存在唯一个极值点 11．（6分）（2024·福建福州·模拟预测）已知函数恰有三个零点，，，且，则（    ） A． B．实数的取值范围为 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 13．（5分）（2024·四川成都·三模）若不等式，对任意恒成立，则正实数的取值范围是 . 14．（5分）（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 16．（15分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 17．（15分）（2024·北京·三模）已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 18．（17分）（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处与轴相切，求的值； (2)求函数在区间上的零点个数． 19．（17分）（2024·福建南平·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【解题思路】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解. 【解答过程】由题意知，，则. 所以. 故选：B. 2．（5分）（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由，可得， 则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：B． 3．（5分）（2023·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【解答过程】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 4．（5分）（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先将化成统一形式，构造函数 ，研究单调性进而比较大小即可. 【解答过程】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以. 故选：A. 5．（5分）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可. 【解答过程】由题意得． 因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 所以，则，即实数的取值范围是. 故选：D． 6．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由奇函数、偶函数性质可得与，分别对两式两边求导可得与，进而可得的一个周期，结合赋值法及周期性判断各项即可. 【解答过程】因为为奇函数，所以，① 因为为偶函数，所以，② 对①两边求导可得，即，③ 对②两边求导可得，即，④ 对于A项，将代入②可得，故A项正确； 对于B项，将代入④可得，故B项正确； 对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误； 对于D项，由③可得，即，⑤ 所以由④⑤可得，⑥ 所以由⑥可得，即，⑦ 由⑦可得，⑧ 所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期. 所以， 将代入④可得，即， 由C项知，， 将代入⑦可得，即， 所以 ，故D项正确. 故选：C. 7．（5分）（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答过程】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 8．（5分）（2024·四川·三模）已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形给定方程，构造函数，利用导数探讨方程取得两个不等根的的范围，再借助一元二次方程求解即得. 【解答过程】显然不是方程的根， 则方程的根即为方程的根， 令，得，设，求导得， 由，得或，由，得， 即函数在和上单调递减，在上单调递增，， 作出的大致图象，如图， 依题意，方程有两个不相等的实数根，设为，， 观察图象知，方程的每一个根，由得两个不同的值， 于是，且，由，解得， 不妨设， 则 ， 由，得， 所以的取值范围为. 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2023·河南·模拟预测）已知定义在上的函数是的导函数且定义域也是，若为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知条件判断的奇偶性和周期性，再结合已知条件求相应的函数值，进行判断. 【解答过程】由为偶函数，得，两边求导，得，所以为奇函数，所以，由及，得，所以，故的周期为2. 所以，又，所以3，故A正确，B错误； 由，得，又，所以，所以，故C正确； 由，得，所以，故D错误. 故选：AC. 10．（6分）（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是上的增函数 B．函数有且仅有一个零点 C．函数的最小值为 D．存在唯一个极值点 【解题思路】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分、和三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分、和三种情况，可得，即可判断；对于D：根据的单调性，结合零点存在性定理分析可知，使，进而判断的单调性和极值. 【解答过程】对于选项A：因为，则， 当时，则， 可得， 即，所以不是上的增函数，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，，可知是的零点； 当时，，可知在内无零点； 当时，，则， 可得，可知在内无零点； 综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确； 对于选项C：当时，； 当时，； 当时，则，，可得， 综上所述：，所以不是函数的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，， 所以的符号决定于， 显然是上的增函数， 又因为当时，； 当时，， 所以，使， 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以有唯一极小值点.  故D正确.   故选 ：BD. 11．（6分）（2024·福建福州·模拟预测）已知函数恰有三个零点，，，且，则（    ） A． B．实数的取值范围为 C． D． 【解题思路】利用的奇偶性可判断A选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数的取值范围，即可判断B选项；由来可判断C选项；由得，进而等价于，令，用导数证明，即可判断D选项. 【解答过程】函数定义域为R， ， 所以是奇函数，则， 又因为有三个零点且，， 所以，，即，故A选项正确； ，得， 令，则，所以在R上增函数， 要使函数有3个零点，与的图象有3个交点，如图：    又， 当且仅当时取等号，即， 所以，故B错误； ，故C选项正确； 由得，又， 要使成立，则成立， 令，， 所以在单调递增，则， 于是，则，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【解题思路】设公共点为，由，可得，进而利用导数可得，求解即可. 【解答过程】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 13．（5分）（2024·四川成都·三模）若不等式，对任意恒成立，则正实数的取值范围是 . 【解题思路】将已知变形为通过不等式恒成立，进一步利用的单调性得到对任意恒成立，进一步即可求解. 【解答过程】若不等式，对任意恒成立，则， 而，所以， 设，则， 所以在上单调递增，从而， 即对任意恒成立， 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，， 综上，正实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（5分）（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 . 【解题思路】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案. 【解答过程】函数满足，当， 所以当， 故， ， 画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数有三个不同零点， 则直线应在图中的两条虚线之间， 上方的虚线为直线与 相切时， 下方的虚线是直线经过点时，      当直线与相切时， ，设切点为， 则斜率 ，此时 ， 当直线经过点时，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 【解题思路】（1）根据平均变化率计算； （2）根据瞬时变化率计算． 【解答过程】（1） . （2）第末的瞬时速度为 . 因此，第末的瞬时速度为. 16．（15分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得. 【解答过程】（1）依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号， 即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）当时，恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 17．（15分）（2024·北京·三模）已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【解题思路】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明. 【解答过程】（1）当时，， ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 由韦达定理得，则， 所以 ， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 18．（17分）（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处与轴相切，求的值； (2)求函数在区间上的零点个数． 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）由，求得，分类讨论与的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数. 【解答过程】（1）由题意得定义域为， ， 因为在点处与x轴相切，且． 所以，解得．经检验符合题意． （2）由（1）知，令，得， 当时，，当时，， （i）当时，，，函数在区间上单调递增． 所以，所以函数在区间上无零点； （ii）当时，若，则，若，则． 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 且，则，而． 当，即时，函数在区间上有一个零点； 当时，即当时，函数在区间上无零点； （iii）当时，，，函数在区间上单调递减． 所以，所以函数在区间上无零点． 综上：当或时，函数在区间上无零点； 当时，函数在区间上有一个零点． 19．（17分）（2024·福建南平·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【解题思路】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时， ，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证. 【解答过程】（1）由题意得，，则， 由，解得． 显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 解法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$