专题02 代数式（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

专题02代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、代数中的算法程序 【解惑】2023年杭州亚运会应用了大量航天技术，实现不同场馆的信息集成以保证零失误．可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序，如图，若开始的值为96，第一次得到的结果是48，第2次得到的结果是24，……则第2023次得到的数是（    ） A．3 B．6 C．8 D．4 【融会贯通】 1．如图，是一个数据运算程序，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，……以此类推，第2023次输出的结果是（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 2．根据如图所示的运算程序，若输入的x值是，输入的y值是，则输出的结果是 ． 3．对于一个三位自然数 M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，∵，，∴721是“儿童数”． (1)请你写出一个“儿童数” ；（721除外） (2)将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数 127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； (3)设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 类型二、代数式中的整体代入 【解惑】已知代数式的值是7，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知当时，，且，则当时，（　　） A．2016 B．2017 C．2018 D．2020 2．当时，代数式的值等于，那么当时，这个代数式的值为 ． 3．【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则______； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）如果，．求的值． 类型三、代数式中的阴影面积 【解惑】如图，大小两个正方形的边长分别是4和3，叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为，则的值为（　　） A．2 B．7 C．14 D．25 【融会贯通】 1．将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形内，(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当时，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是(    ) A． B． C． D． 2．将图（1）中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号、5号五个正方形和6号长方形，将它们拼在周长为150的长方形图（2）中，若图（1）的大长方形周长为96，则图（2）阴影部分的周长为 ． 3．如图，长为，究为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是_____________(用含的代数式表示) (2)计算阴影的周长（用含的代数式表示，结果化简)， (3)当时，用含的代数式分别表示：（需要化简）阴影的面积=_____________阴影的面积=_____________，求出阴影面积之差并比较阴影面积大小． 比较：阴影面积__________阴影面积(填大于或小于)． 类型四、代数式中的二项式 【解惑】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，若，则（    ） A．64 B． C．56 D． 【融会贯通】 1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 2．我国古代数学的许多创新位居世界前列，如我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释了二项式的展开式的各项系数规律，该三角形也被称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”，可得的展开式中，中间项的系数为2， 的展开式中，中间项的系数为6，则在的展开式中，中间项的系数为 ． 3．如图1，是（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应． 当时，，其中表示的是项的系数，是常数项．如，其中．所以，展开后的系数和为．也可令． 根据以上材料，解决下列问题： (1)写出去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式； (2)若，求的值； (3)已知，其中t为常数．若，求的值． 类型五、代数式中的操作问题 【解惑】有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．有依次排列的2个整式：，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列：，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列：x，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法： ①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x的系数都为1； ②经过3次操作后，将整式列求和，和为9x＋9； ③经过7次操作后，将得到128个整式； ④经过10次操作后，从左往右第10个整式为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 3．数学是一门充满乐趣的学科，某校七年级小凯同学遇到一个富有挑战性的探究问题，请你帮助他完成整个探究过程；【问题背景】对于一个正整数n（n大于1），我们进行如下操作：（1）将n拆分为两个正整数的和，并计算乘积；（2）对于正整数，分别重复此操作，得到另外两个乘积；（3）重复上述过程，直至不能再拆分为止，（即拆分到正整数1）；（4）将所有的乘积求和，并将所得的数值称为该正整数的“神秘值”，【尝试探究】 为了研究，小凯决定选择一个具体的正整数6 进行拆分如图1所示，通过这种拆分方法得到正整数6的“神秘值”为15．【问题解决】请你解决以下问题： (1)正整数2和3的“神秘值”分别是_______ (2)为了得到一般规律，小凯决定用多种拆分方式把正整数6进行拆分并计算正整数6的“神秘值”． 请你模仿小凯的计算方式，在图2中，选择另外一种拆分方式，写出拆分过程并计算正整数6的“神秘值”；对于正整数7，请选择一种拆分方式，在图3中写出拆分过程并计算正整数7的“神秘值”． (3)结合上面的实践活动，请你进行更多的尝试，思考不同的拆分方式是否影响正整数n（n大于1）的“神秘值”，如果影响，请说明理由；如果不影响，请直接写出正整数n的“神秘值”的表达式. 类型六、代数式中的行列排序 【解惑】将正整数按图所示的规律排列，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示整数8，则表示的整数是（    ）    A．190 B．191 C．192 D．193 【融会贯通】 1．已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 2．将从1开始的连续自然数按下表所示规律排列： 行 列 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第m行 … … … … 规定位于第m行、第n列的自然数记为，如：自然数8记为，自然数10记为，自然数15记为，…，按此规律，自然数2024记为 ． 3．材料一：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数） 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：． (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，，…记，，，…则；（用表示）；． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用k表示）． 类型七、代数式中的收费问题 【解惑】某中学在筹备校运会时，需要印刷一批宣传彩页，经招标，A印务公司中标，该印务公司给出了两种方案供学校选择： 方案一：每份彩页收印刷费元． 方案二：印刷数量在100份以内（含100份）时，每份彩页收印刷费元，超过100份时，超过部分按每份元收费． (1)若需要印刷的彩页为x份，写出两种方案的收费的关系式（用含x的式子表示）； (2)若预计要印刷500份的宣传彩页，通过计算说明哪种方案更优惠？ 【融会贯通】 1．某中学决定派3名教师带a名学生到某风景区举行夏令营活动，甲旅行社收费标准为教师全票，学生半价优惠；乙旅行社收费标准为教师和学生全部按全票价的6折优惠．已知甲、乙两旅行社的全票价均为240元． (1)用含a的代数式表示甲、乙两旅行社的收费各是多少元？ (2)当时，如果你是校长，从节省费用方面考虑，你选择哪一家旅行社？ 2．某校组织七年级学生到距离学校的课外实践基地开展研学活动，圆圆同学因事没能和同学乘坐校车一起出发，于是圆圆同学准备在校门口乘出租车去课外实践基地，已知出租车的收费标准如下表： 里程（） 收费（元） 3以下（含3） 5.0 3以上（每增加1） 1.8 (1)当出租车行驶里程为2.8时需付车费________元． (2)当出租车行驶的里程为 （）时，需付车费多少元？（用含的式子表示） (3)圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费多少元？ 3．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表： 居民每月用点量 单价（元/度） 不超过240度的部分 0.5 超过240度但不超过400度的部分 0.6 超过400度的部分 0.8 小刚家上半年的用电情况如下（以240度为标准，超出240度记为正、低于240度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚用电量最多的是________月份，实际用电量为________度； (2)求小刚家二月份应交纳的电费； (3)若小刚家七月份用电量为度），求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示并化简）． 类型八、代数式中的整除 【解惑】阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数． 则． 因为能被3整除，也能被3整除，所以能被3整除． 运用： (1)一个四位数，如果能被9整除．请证明能被9整除． (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）． 【融会贯通】 1．一个三位数，如果它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． (1)最小的三位数“和谐数”是______，最大的三位数“和谐数”是______； (2)若一个三位数“和谐数”的个位数字为，十位数字为b（，，且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； (3)判断任意一个三位数“和谐数”能否被11整除？若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 2．【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 3．【发现】如果一个整数的个位数字能被整除，那么这个整数就能被整除． 【验证】如：∵， 又∵和都能被整除，能被整除， ∴能被整除， 即：能被整除． （1）请你照着上面的例子验证不能被2整除； （2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有是偶数时，四位数才能被2整除． 【迁移】设是一个四位数，请证明：当能被整除时，能被整除． 类型九、代数式中的销售问题 【解惑】某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， (1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示） (2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 【融会贯通】 1．绿源超市销售茶壶、茶杯，茶壶每只定价50元，茶杯每只定价6元，春节期间，超市将开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：每买一只茶壶就赠一只茶杯； 方案二：茶壶和茶杯都按定价的90%付款． 某顾客计划到该超市购买茶壶8只和茶杯x只（茶杯数多于8只）． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，请通过计算说明该顾客选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 2．某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每筒定价15元．“双11”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副球拍送两筒球； 方案二：球拍和球都打九折销售． 现某客户要在该网店购买球拍10副，球筒（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元；（用含的代数式表示） 若该客户按方案二购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)若时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并算出需要付款多少元？ 3．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“双11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台． (1)若该客户按方案一购买，需付款____________元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款____________元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明，此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出购买总金额． 类型十、代数式中的归纳 【解惑】定义：对于两个正数a和b，a，b的算术平均数，a，b的调和平均数． （1）【观察归纳】（用“”、“”或“”填空） ①若，，则A______H；②若，，则A______H； ③若，，则A______H； （2）【猜想验证】 ①猜想：对于两个正数a和b，则A______H；（用“”、“”、“”、“”或“”填空） ②请验证你的猜想． （3）【拓展应用】 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距，若一艘游轮顺流航行的速度为，逆流航行速度为（），比较该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度的大小． 【融会贯通】 1．【综合与实践】教材再现：如图所示，用火柴棍拼成一排有三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有个三角形，需要多少根火柴棍？ (1)探究活动： 善思小组利用已准备好的火柴棍动手摆放图形进行自主探究，在活动过程中通过观察，整理数据得到下表： 三角形个数 1 2 3 4 …… 火柴棍根数 3 …… ①填空：由此得个三角形需要的火柴棍数为______； ②从不同角度观察火柴棍的根数与之间的关系，你还能用不同的表达形式呈现这个活动中的数学规律吗？请完成下表及填空 三角形个数 1 2 3 4 …… 火柴棍根数 …… 由此得个三角形需要的火柴棍数为______； (2)回顾小结： 本次数学活动，我们通过动手实践摆放图形，从特殊的图形入手再扩展到一般，从数和形两方面进行探究，最后总结归纳出一般数学规律．在这过程中我们用到的数学思想方法有______．（写出一个即可） 2．我们常用符号灯表示小于或者等于x的最大整数．例如请根据以上信息，解决下列问题： (1) __________；_________，_________ (2)计算并找规律 ________，______，___________ ______ 根据以上计算，可归纳出： ①当x为整数时_______ ②当x不为整数时________ (3)根据以上发现计算： 3．问题发现： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． 类比猜想： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． 深度探究： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （3）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有________种不同的结果． 【一览众山小】 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，···，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．在5个字母（均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“”或者一个“”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“”或“”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”． 例如：． 下列说法： ①存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等； ②不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③所有的“对括操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，．．．，按照这样的规律摆下去，摆第6个图形需要黑色棋子的个数是 ． 5．如果的值为12，则的值为 ． 6．将有理数a（a不等于0和1）按以下步骤进行运算： 第一步：求相反数； 第二步：求所得的相反数与1的和； 第三步：求这个和的倒数． 如：有理数4按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数2和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，再将和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和如此重复上述过程，…． 则的值是 ． 7．定义一种新运算：对于实数、，有（其中，均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为，其中，叫做线性数的一个数对 (1)若，则 ， ； (2)已知：，则，求的值． 8．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 9．【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 10．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、代数中的算法程序 【解惑】2023年杭州亚运会应用了大量航天技术，实现不同场馆的信息集成以保证零失误．可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序，如图，若开始的值为96，第一次得到的结果是48，第2次得到的结果是24，……则第2023次得到的数是（    ） A．3 B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究．先求出前几个数字，得出从第4次开始每6次一个循环，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：第一次得到的结果是48， 第2次得到的结果是24， 第3次得到的结果是， 第4次得到的结果是， 第5次得到的结果是， 第6次得到的结果是， 第7次得到的结果是， 第8次得到的结果是， 第9次得到的结果是， 第10次得到的结果是， 第11次得到的结果是， 从第4次开始每6次一个循环， ∵， ∴第2023次得到的数是4； 故选D． 【融会贯通】 1．如图，是一个数据运算程序，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，……以此类推，第2023次输出的结果是（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律．根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解． 【详解】解：由数据运算程序得，如果开始输入的x的值为10，那么： 第1次输出的结果是5， 第2次输出的结果是16， 第3次输出的结果是8， 第4次输出的结果是4， 第5次输出的结果是2， 第6次输出的结果是1， 第7次输出的结果是4， …… 综上可得，从第4次开始，每三个一循环， 由 可得第2023次输出的结果与第4次输出的结果相等，为4． 故选：C． 2．根据如图所示的运算程序，若输入的x值是，输入的y值是，则输出的结果是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握代数式求值是解答本题的关键．先判断是负数，所以代入计算，即得答案． 【详解】当输入的x值是，输入的y值是时， 因为是负数，所以代入， ． 故答案为：． 3．对于一个三位自然数 M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，∵，，∴721是“儿童数”． (1)请你写出一个“儿童数” ；（721除外） (2)将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数 127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； (3)设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 【答案】(1)943 (2)99 (3)详见解析 【分析】本题考查了整式的运算，有理数的运算， （1）按照“儿童数”的特点作答即可； （2）将（1）中的“儿童数”按照给出的程序计算即可； （3）根据题意：变换为，在表示出，，作减法即可作答． 【详解】（1）∵，， ∴943是“儿童数”， 故答案为：943（答案不唯一）； （2）943变换为349，即，差为三位数； 594变换为495，即，差为两位数； 故答案为：99； （3）结论：任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99， 根据题意：变换为， ∵， ∴，差为三位数； 594变换为495，即，差为两位数； 即最终的结果为99， ∴任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99． 类型二、代数式中的整体代入 【解惑】已知代数式的值是7，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，由得，把代数式转化为，即可把代入计算求解，利用整体代入法解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．已知当时，，且，则当时，（　　） A．2016 B．2017 C．2018 D．2020 【答案】A 【分析】 本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：A． 2．当时，代数式的值等于，那么当时，这个代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入方法求解是解答的关键．先把代入中，得到，再把代入求解即可． 【详解】解∶∵当时，代数式的值等于， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为∶5． 3．【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则______； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）如果，．求的值． 【答案】（1）2025；（2）57；（3）10 【分析】本题考查求代数式值，将待求的代数式变形，用已知的代数式表示是解题的关键． （1）将已知代数式值代入求解； （2）原式，将已知代数式代入求解； （3）原式，将已知代数式代入求解． 【详解】解：（1）， ； （2）原式， ， 原式， ； （3）原式， ． 类型三、代数式中的阴影面积 【解惑】如图，大小两个正方形的边长分别是4和3，叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为，则的值为（　　） A．2 B．7 C．14 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，根据图形得出空白面积（空白面积）大正方形面积小正方形面积，再将变形为，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵两个边长分别为4，3的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为， ∴空白面积（空白面积）大正方形面积小正方形面积． ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形内，(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当时，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，根据图中阴影部分的长度与正方形边长的数量关系，表示出的代数式，再根据整式的运算法则求出答案即可． 【详解】解：设，则， ， 故选：A． 2．将图（1）中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号、5号五个正方形和6号长方形，将它们拼在周长为150的长方形图（2）中，若图（1）的大长方形周长为96，则图（2）阴影部分的周长为 ． 【答案】126 【分析】本题考查了整式的加减的应用，设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号长方形的长为，宽为，根据由图（1）中大长方形周长为96得出，由图（2）号正方形的边长和号长方形的长重合得出，从而得出，表示出，，再由图（2）中阴影部分的周长为四边形的周长，进行计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图（1），设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号长方形的长为，宽为， 由图（1）中大长方形周长为96，可得， 解得：， 由图（2）可得：号正方形的边长和号长方形的长重合， ， ， ， 如图， 图（2）中长方形的周长为， ， ， ，由图可得：图（2）中阴影部分的周长为四边形的周长， ， 图（2）阴影部分的周长为， 故答案为：． 3．如图，长为，究为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是_____________(用含的代数式表示) (2)计算阴影的周长（用含的代数式表示，结果化简)， (3)当时，用含的代数式分别表示：（需要化简）阴影的面积=_____________阴影的面积=_____________，求出阴影面积之差并比较阴影面积大小． 比较：阴影面积__________阴影面积(填大于或小于)． 【答案】(1) (2) (3)，，大于． 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算， （1）观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长； （2）由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长，相加可得结果； （3）由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积，将值代入，再计算两者之差，可比较大小． 解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为， 故答案为： （2）解：∵阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的周长为； （3）解：∵阴影的较长边为，较短边为， 阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的面积为， 阴影的面积为， 当时， 阴影的面积为， 阴影的面积为， ， ∴， 即阴影的面积大于阴影的面积， 故答案为：，，大于． 类型四、代数式中的二项式 【解惑】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，若，则（    ） A．64 B． C．56 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律的探索，求出当和时的式子，相加即可求出结果． 【详解】解：当时，①， 当时，②， ①②得：， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，， 第24个数为， 故选：A． 2．我国古代数学的许多创新位居世界前列，如我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释了二项式的展开式的各项系数规律，该三角形也被称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”，可得的展开式中，中间项的系数为2， 的展开式中，中间项的系数为6，则在的展开式中，中间项的系数为 ． 【答案】20 【分析】先根据“杨辉三角”的规律得出的各项系数，然后再写出的各项系数，即可得出答案． 【详解】解：根据图可知，的各项系数为1，5，10，10，5，1，则的各项系数为：1，6，15，20，15，6，1， ∴在的展开式中，中间项的系数为20． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了杨辉三角的特点，根据规律写出和的各项系数，是解题的关键． 3．如图1，是（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应． 当时，，其中表示的是项的系数，是常数项．如，其中．所以，展开后的系数和为．也可令． 根据以上材料，解决下列问题： (1)写出去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式； (2)若，求的值； (3)已知，其中t为常数．若，求的值． 【答案】(1)（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1 (2)41 (3)1024或-32 【分析】（1）由题意可则，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，即可求解； （2）由（2x+1）4=16x4+8x3+4x2+2x+1，求解即可； （3）求出t=±3，当t=3时，令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=45=1024；当t=-3时，令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=（-2）5=-32． 【详解】（1）解：由题意可得，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应， ∴（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1； （2）∵（2x+1）4=16x4+32x3+24x2+8x+1， ∴a4+a2+a0=16+24+1=41； （3）∵a3=10t2=90， ∴t=±3， 当t=3时，（x+3）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=45=1024； 当t=-3时，（x-3）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=（-2）5=-32； 综上所述：a5+a4+a3+a2+a1+a0的值为1024或-32． 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的关键． 类型五、代数式中的操作问题 【解惑】有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减．根据题，得出一般规律：第个整式串共有个整式，所有整式的和为，从左往右第二个整式为，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，第1个整式串：，，；整式的个数为， 所有整式的和为； 第2个整式串：，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 第3个整式串为，，，，，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 …… 观察发现，第个整式串共有个整式，所有整式的和为， 第个整式串中末尾的整式为，故①错误， 第6个整式串共有个整式，②结论正确； 即第9个整式串中，所有整式的和为，③结论正确； 第个整式串中，从左往右第二个整式为 ∴第2025个整式串中，从左往右第二个整式为，④结论错误； 结论中正确的有②③，共2个， 故选：B． 【融会贯通】 1．有依次排列的2个整式：，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列：，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列：x，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法： ①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x的系数都为1； ②经过3次操作后，将整式列求和，和为9x＋9； ③经过7次操作后，将得到128个整式； ④经过10次操作后，从左往右第10个整式为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，根据题目的规律计算几次，找到规律后判断即可． 【详解】第1次操作后产生一个新的整式列：，共个整式，和为； 第2次操作后产生一个新的整式列：x，，共个整式，和为； 第3次操作后产生一个新的整式列：x，，共个整式，和为； ∴第次操作后共个整式，和为； 根据上面的规律可得：①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x的系数都为1，说法正确； ②经过3次操作后，将整式列求和，和为，说法正确； ③经过7次操作后，将得到个整式，说法错误； ④经过10次操作后，从左往右前10个数中，第奇数个都是上一次操作遗留的数据，第偶数个依次为则第10个整式为，说法正确． 综上所述，正确是①②④； 故选：C． 2．对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键．（1）根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数即可求解；（2），凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围． 【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为， 故答案为：； （2）（为常数）， ， ， 当，时，， 当，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 3．数学是一门充满乐趣的学科，某校七年级小凯同学遇到一个富有挑战性的探究问题，请你帮助他完成整个探究过程；【问题背景】对于一个正整数n（n大于1），我们进行如下操作：（1）将n拆分为两个正整数的和，并计算乘积；（2）对于正整数，分别重复此操作，得到另外两个乘积；（3）重复上述过程，直至不能再拆分为止，（即拆分到正整数1）；（4）将所有的乘积求和，并将所得的数值称为该正整数的“神秘值”，【尝试探究】 为了研究，小凯决定选择一个具体的正整数6 进行拆分如图1所示，通过这种拆分方法得到正整数6的“神秘值”为15．【问题解决】请你解决以下问题： (1)正整数2和3的“神秘值”分别是_______ (2)为了得到一般规律，小凯决定用多种拆分方式把正整数6进行拆分并计算正整数6的“神秘值”． 请你模仿小凯的计算方式，在图2中，选择另外一种拆分方式，写出拆分过程并计算正整数6的“神秘值”；对于正整数7，请选择一种拆分方式，在图3中写出拆分过程并计算正整数7的“神秘值”． (3)结合上面的实践活动，请你进行更多的尝试，思考不同的拆分方式是否影响正整数n（n大于1）的“神秘值”，如果影响，请说明理由；如果不影响，请直接写出正整数n的“神秘值”的表达式. 【答案】(1)1，3 (2)见解析 (3)（） 【分析】（1）根据神秘值的定义，将正整数分解，求和即可； （2）将6和7分解，直到不能分解位置，再将所有的乘积求和即可； （3）结论猜想：找出多个数的神秘值，再找出规律即可． 【详解】（1）解：根据“神秘值”的定义， ∵2可以分为1和1， ∴2的神秘值是； ∵3可以分为1和2，2又分成1和1， 的神秘值是； 故答案为1，3； （2）解：如图所示： （3）解： ∵3的神秘值是3，4的神秘值是6，5的神秘值是，6的神秘值是，7的神秘值是，…， ∴n的神秘值是（）． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律的阅读型题目，解决此题时，要认真阅读分析材料，再根据相关的定义解答即可． 类型六、代数式中的行列排序 【解惑】将正整数按图所示的规律排列，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示整数8，则表示的整数是（    ）    A．190 B．191 C．192 D．193 【答案】B 【分析】本题主要考查了读图找规律的能力，能理解题意，从数列中找到数据行列的规律是解题的关键．根据行列规律可知从1开始，第m行有m个数，每行都是从左到右数由小到大，第1行1个数；第2行2个数；第3行3个数；第4行4个数…根据此规律即可得出结论． 【详解】解：由数字排列规律可知：第19行最后一个数为， 又表示第20行的第一个数字， 第20行的第一个数字是， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 【答案】C 【分析】本题是数字类的规律题，此类题变化多样，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样；因此要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法；有时也会利用方程解决问题．前5行的数表显示的规律有：①第行有个数；②每一行的同一列的分母相同；③每一行的分母与分子是连续整数的正排列和倒排列；④第行的任意一个数的分子与分母的和为；因此根据这些规律得出结论． 【详解】解：观察数表，发现：①第一行的每个数的分子、分母的和为2，第二行的每个数的分子、分母的和为3，第三行的每个数的分子、分母的和为4，，由此可知，就是每行各数的分子、分母的和为行数加1， ②每行的第一个数的分母为1，第二个数的分母为2，，即分母是几就是第几个数； 所以所在的行数为，即第17行中，位于自左至右第11个数． 故选：C 2．将从1开始的连续自然数按下表所示规律排列： 行 列 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第m行 … … … … 规定位于第m行、第n列的自然数记为，如：自然数8记为，自然数10记为，自然数15记为，…，按此规律，自然数2024记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2024除以4，根据商与余数确定2024所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可． 【详解】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列． ∵，， ∴2024在第506行， ∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列， ∴自然数2024记为． 故答案为：． 3．材料一：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数） 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：． (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，，…记，，，…则；（用表示）；． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用k表示）． 【答案】(1)：，，； (2)36，，； (3)． 【分析】本题主要考查了探索规律，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中，，由展开式得，从而即可得解； （）总结规律得，，从而代入求解即可； （）总结规律得，再由，，得 ，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 令中，，由展开式得 ， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， … ∴； ， 故答案为：，，； （3）解：∵，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 类型七、代数式中的收费问题 【解惑】某中学在筹备校运会时，需要印刷一批宣传彩页，经招标，A印务公司中标，该印务公司给出了两种方案供学校选择： 方案一：每份彩页收印刷费元． 方案二：印刷数量在100份以内（含100份）时，每份彩页收印刷费元，超过100份时，超过部分按每份元收费． (1)若需要印刷的彩页为x份，写出两种方案的收费的关系式（用含x的式子表示）； (2)若预计要印刷500份的宣传彩页，通过计算说明哪种方案更优惠？ 【答案】(1)按方案一收费为元；按方案二：当时，收费为元；当时，收费为元 (2)方案二更优惠，见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据两种方案的收费标准列出代数式即可； （2）把代入代数式，求出结果，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 按方案一收费为元， 按方案二：当时，收费为元；当时，收费为元； （2）解：当时， 方案一收费为：（元）， 方案二收费为：（元）， ∵， ∴方案二更优惠． 【融会贯通】 1．某中学决定派3名教师带a名学生到某风景区举行夏令营活动，甲旅行社收费标准为教师全票，学生半价优惠；乙旅行社收费标准为教师和学生全部按全票价的6折优惠．已知甲、乙两旅行社的全票价均为240元． (1)用含a的代数式表示甲、乙两旅行社的收费各是多少元？ (2)当时，如果你是校长，从节省费用方面考虑，你选择哪一家旅行社？ 【答案】(1)甲旅行社收费为：；乙旅行社收费为： (2)选择甲旅行社 【分析】（1）根据甲乙旅行社的收费标准分别列出代数式即可； （2）把字母的值分别代入（1）中列出的代数式求值后比较即可得到答案． 此题考查了列代数式和求代数式的值，读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，甲旅行社收费为：， 乙旅行社收费为：； （2）当时， 甲旅行社收费为：（元）， 乙旅行社收费为：（元）； 所以当时，甲旅行社收费更少，所以选择甲旅行社． 2．某校组织七年级学生到距离学校的课外实践基地开展研学活动，圆圆同学因事没能和同学乘坐校车一起出发，于是圆圆同学准备在校门口乘出租车去课外实践基地，已知出租车的收费标准如下表： 里程（） 收费（元） 3以下（含3） 5.0 3以上（每增加1） 1.8 (1)当出租车行驶里程为2.8时需付车费________元． (2)当出租车行驶的里程为 （）时，需付车费多少元？（用含的式子表示） (3)圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费多少元？ 【答案】(1)5 (2)需付车费元 (3)圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费17.6元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，涉及有理数混合运算、列代数式等知识，读懂题意，根据题意列式求解是解决问题的关键 （1）由表中数据得到信息即可得到答案； （2）根据题意，由表中数据，当时，列出代数式表示即可得到答案； （3）根据题意，学生到距离学校的课外实践基地开展研学活动，代入（2）中代数式即可得到答案 【详解】（1）解：由表格可得，当出租车行驶里程为时需付车费5元， 故答案为：5； （2）解：由表格可得，当出租车行驶的里程为（）时，需付车费：元； （3）解：当时， （元）， 答：圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费17.6元． 3．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表： 居民每月用点量 单价（元/度） 不超过240度的部分 0.5 超过240度但不超过400度的部分 0.6 超过400度的部分 0.8 小刚家上半年的用电情况如下（以240度为标准，超出240度记为正、低于240度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚用电量最多的是________月份，实际用电量为________度； (2)求小刚家二月份应交纳的电费； (3)若小刚家七月份用电量为度），求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示并化简）． 【答案】(1)五，276 (2)138元 (3)答案见详解 【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费； （3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费． 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度， 故答案为：五，276； （2）小刚家二月份用电：（度， 小刚家二月份应交纳电费：（元， 答：二月份需要交138元； （3）当时，电费为元； 当时，电费为元； 当时，电费为 元． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 类型八、代数式中的整除 【解惑】阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数． 则． 因为能被3整除，也能被3整除，所以能被3整除． 运用： (1)一个四位数，如果能被9整除．请证明能被9整除． (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数的整除特征，熟练掌握整式加减的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键． （1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论； （2）假设，则三位数，据此可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是一个四位数， 能被9整除，能被9整除， 四位数能被9整除； （2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数， 不妨假设， ， 三位数的最小正因数一定是3． 【融会贯通】 1．一个三位数，如果它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． (1)最小的三位数“和谐数”是______，最大的三位数“和谐数”是______； (2)若一个三位数“和谐数”的个位数字为，十位数字为b（，，且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； (3)判断任意一个三位数“和谐数”能否被11整除？若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 【答案】(1)110，990 (2) (3)能，见解析 【分析】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）设个位数字为，百位数字为，则十位数字为，则“和谐数”为：，由此可得结论； （2）按题意列代数式即可； （3）由可得结论． 【详解】（1）设个位数字为，百位数字为，则十位数字为， ∴“和谐数”为：， 当时，有最小的三位“和谐数”是110， 当时，有最大的三位“和谐数”是990， 故答案为：110，990； （2）由题意得，百位数字为， ∴该“和谐数”为； （3）能判断， 理由：由（1）得“和谐数”为：， ∵， ∴任意一个三位数“和谐数”能被11整除． 2．【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 【答案】（1）新数与原数的差不能被11整除；（2）能被3和11这两个质数整除 【分析】此题考查了整式的加减，关键是根据题意正确列式计算． （1）根据题目中的解题方法，算出新数与原数的差，即可得到结论； （2）分别表示出新三位数和原三位数，利用整式的加减计算出结果，再根据因数来进行解答即可． 【详解】解：（1） ＝ ， 所以新数与原数的差不能被11整除． （2） ， ∵， ∴能被3和11这两个质数整除． 3．【发现】如果一个整数的个位数字能被整除，那么这个整数就能被整除． 【验证】如：∵， 又∵和都能被整除，能被整除， ∴能被整除， 即：能被整除． （1）请你照着上面的例子验证不能被2整除； （2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有是偶数时，四位数才能被2整除． 【迁移】设是一个四位数，请证明：当能被整除时，能被整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；迁移：见解析． 【分析】（）参照题干，进行验证即可； （）参照题干，进行验证即可； （）参照题干，进行验证即可； 本题考查整式的加减运算，列代数式，熟练掌握数的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， 和都能被整除，不能被整除， ∴不能被整除， 即不能被整除； （）∵． 和和都能被整除， ∴当是偶数时能被整除时，能被整除； 【迁移】证明：∵， ， ∵能被整除， ∴若“”能被整除，则能被整除． 类型九、代数式中的销售问题 【解惑】某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， (1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示） (2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算． （1）根据题意列式，化简即可得解； （2）根据题意列式，化简即可得解． 【详解】（1）解：今年燃油汽车计划的销量为， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 变形得，， ∴． 【融会贯通】 1．绿源超市销售茶壶、茶杯，茶壶每只定价50元，茶杯每只定价6元，春节期间，超市将开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：每买一只茶壶就赠一只茶杯； 方案二：茶壶和茶杯都按定价的90%付款． 某顾客计划到该超市购买茶壶8只和茶杯x只（茶杯数多于8只）． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，请通过计算说明该顾客选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【答案】(1)顾客按方案一付款：元；顾客按方案二付款： 元； (2)选择方案二购买更省钱，过程见解析． 【分析】本题考查列代数式，求解代数式的值，解题的关键是正确根据题意列出关系式，本题属于基础题型． （1）根据两种优惠方案分别列出代数式即可； （2）分别代入进行计算，再比较即可； 【详解】（1）解：顾客按方案一购买，则需要付款： 元， 顾客按方案二购买，则需要付款： 元． （2）当时， 方案一需付款： （元）， 方案二需付款： （元） ， 选择方案二购买更省钱． 2．某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每筒定价15元．“双11”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副球拍送两筒球； 方案二：球拍和球都打九折销售． 现某客户要在该网店购买球拍10副，球筒（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元；（用含的代数式表示） 若该客户按方案二购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)若时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并算出需要付款多少元？ 【答案】(1)方案一：；方案二：； (2)按方案一购买较合算； (3)先按方案一购买10副球拍获赠20筒球，再按方案二购买20筒球，． 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可； （3）综合两种优惠方案计算，再与方案一和方案二进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 方案一： ， 方案二： ， 方案一：， 方案二：， 故答案为：，； （2）解：当时 方案一：（元） 方案二：（元） ， 按方案一购买较合算； （3）解：先按方案一购买10副球拍获赠20筒球，再按方案二购买20筒球， 需付款． 3．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“双11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台． (1)若该客户按方案一购买，需付款____________元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款____________元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明，此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出购买总金额． 【答案】(1)，； (2)按方案二购买较为合算 (3)按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉，总金额为元 【分析】本题主要考查列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算； （3）根据题意考可以得到先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 【详解】（1）解：元， ∴该客户按方案一购买，需付款元， 元， ∴该客户按方案二购买，需付款元， 故答案为，； （2）方案一：当时，原式（元）， 方案二：当时，原式（元）， ∵， ∴按方案二购买较为合算； （3）按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 总金额为：（元）． 类型十、代数式中的归纳 【解惑】定义：对于两个正数a和b，a，b的算术平均数，a，b的调和平均数． （1）【观察归纳】（用“”、“”或“”填空） ①若，，则A______H；②若，，则A______H； ③若，，则A______H； （2）【猜想验证】 ①猜想：对于两个正数a和b，则A______H；（用“”、“”、“”、“”或“”填空） ②请验证你的猜想． （3）【拓展应用】 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距，若一艘游轮顺流航行的速度为，逆流航行速度为（），比较该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度的大小． 【答案】（1）①>；②>；③=；（2）①≥；②证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了新定义、分式的大小比较、完全平方公式等知识点，理解新定义成为解题的关键． （1）分别用算术平均数和调和平均数的定义求得①、②、③中的算术平均数、调和平均数，然后再比较即可解答； （2）①根据（1）中①②③的结论猜想即可；②运用作差法即可解答； （3）先表示该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度，然后再运用（2）中②的结论即可解答． 【详解】解：（1）①若，，则a，b的算术平均数，a，b的调和平均数，所以； ②若，，，则a，b的算术平均数，a，b的调和平均数，所以； ②若，，，则a，b的算术平均数，a，b的调和平均数，所以； 故答案为：①>；②>；③=； （2）①根据（1）可猜想：； ②证明：， ∵两个正数a和b， ∴， ∴，即， ∴ （3）静水中的平均速度为：， 往返两港口的平均速度为， 由（2）可得， ∵， ∴． 【融会贯通】 1．【综合与实践】教材再现：如图所示，用火柴棍拼成一排有三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有个三角形，需要多少根火柴棍？ (1)探究活动： 善思小组利用已准备好的火柴棍动手摆放图形进行自主探究，在活动过程中通过观察，整理数据得到下表： 三角形个数 1 2 3 4 …… 火柴棍根数 3 …… ①填空：由此得个三角形需要的火柴棍数为______； ②从不同角度观察火柴棍的根数与之间的关系，你还能用不同的表达形式呈现这个活动中的数学规律吗？请完成下表及填空 三角形个数 1 2 3 4 …… 火柴棍根数 …… 由此得个三角形需要的火柴棍数为______； (2)回顾小结： 本次数学活动，我们通过动手实践摆放图形，从特殊的图形入手再扩展到一般，从数和形两方面进行探究，最后总结归纳出一般数学规律．在这过程中我们用到的数学思想方法有______．（写出一个即可） 【答案】(1)①；②表见解析， (2)数形结合思想（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了图形的规律性问题，能够找出其中隐藏的内在规律是解题的关键． （1）①个三角形需要的火柴棍数等于与3之和；②从火柴棍的根数与三角形个数的对应关系入手求解； （2）根据“从数和形两方面进行探究”可知应用了数形结合的思想方法． 【详解】（1）解：①个三角形需要的火柴棍数为：， 故答案为：； ② 三角形个数 1 2 3 4 …… 火柴棍根数 …… 由此得个三角形需要的火柴棍数为：， 故答案为：； （2）解：在这过程中我们用到的数学思想方法有：数形结合思想，化归与转化思想等， 故答案为：数形结合思想（答案不唯一）． 2．我们常用符号灯表示小于或者等于x的最大整数．例如请根据以上信息，解决下列问题： (1) __________；_________，_________ (2)计算并找规律 ________，______，___________ ______ 根据以上计算，可归纳出： ①当x为整数时_______ ②当x不为整数时________ (3)根据以上发现计算： 【答案】(1)3；；6 (2)0；0；；；①0 ；② (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过的最大整数． （1）依据题意，逐个计算即可得解； （2）依据题目信息，逐个计算可以得解； （3）根据题意，结合（1）（2）列出算式计算即可得解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：3；；6． （2）解：， ， ， ． 根据以上计算，可归纳出： ①当为整数时，． ②当不为整数时，． 故答案为：0；0；；；①0 ；②． （3）解： ． 3．问题发现： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． 类比猜想： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． 深度探究： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （3）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有________种不同的结果． 【答案】类比猜想：（1）7；（2）；深度探究：（1）4；（2）；（3）；归纳结论： 【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键． 类比猜想： （1）根据问题发现的探究方法例举所有情况即可得到答案； （2）根据问题发现的探究方法例举前面几个特例，再总结归纳即可． 深度探究： （1）根据问题发现的探究方法例举所有情况即可得到答案； （2）根据问题发现的探究方法例举前面几个特例，再总结归纳即可； （3）根据问题发现的探究方法例举前面几个特例，再总结归纳即可； 归纳结论： 由一般性的结论：，，，，再总结归纳即可． 【详解】解：类比猜想： （1）∵，，，，，，， ∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果． （2）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不的结果； 从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果； 从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果； ∴从1，2，3，…，n(n为整数，且)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果． 深度探究： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有种不同的结果． （2）∵从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，10，11，12共有种不同的结果． 从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，10，11，12，13，14，15共有种不同的结果． ∴从1，2，3，…，n(n为整数，且)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果． （3）∵从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数，这4个整数之和分别为：10，11，12，13，14，共有种不同的结果． 从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数，这4个整数之和分别为：10，11，12，13，14，15，16，17，18，共有种不同的结果． ∴从1，2，3，…，n(n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果． 归纳结论： 由一般性的结论：，，，， ∴从1，2，3，…，n(n为整数，且)这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有种不同的结果． 【一览众山小】 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，···，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式的系数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．通过观察每一个单项式的系数可得系数的规律为，从而求解． 【详解】解：由题可知：第一个单项式的系数为，即； 第二个单项式的系数为，即； 第三个单项式的系数为，即； 第四个单项式的系数为，即； 第五个单项式的系数为，即； ，依此类推， 故第n个单项式的系数为， 第n个单项式是， 故选：A． 2．在5个字母（均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“”或者一个“”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“”或“”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”． 例如：． 下列说法： ①存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等； ②不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③所有的“对括操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，整式的加减计算，由于，据此可判断①；任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母的系数始终是2，据此可判断②；分当添加符号为时，当添加符号为时，两种情况分别求出添加括号并去括号后的结果即可得到答案． 【详解】解：当添加符号为时，则添加括号后可以为 ， ∵， ∴存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等，故①正确； ∵不管怎么添加符号和添加括号，字母的系数始终是1， ∴任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母的系数始终是2， ∴不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0，故②正确； 当添加符号为时， ， ， ， ， 当添加符号为时， ， ， ， ， 综上所述，所有的“对括操作”共有6种不同运算结果，故③正确， 故选：D． 3．有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题，能通过计算发现输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 当输入x的值是3时， 第一次输出的结果是10； 第二次输出的结果是5； 第三次输出的结果是16； 第四次输出的结果是8； 第五次输出的结果是4； 第六次输出的结果是2； 第七次输出的结果是1； 第八次输出的结果是4； 第九次输出的结果是2； 第十次输出的结果是1； 第十一次输出的结果是4； …， 依次类推，输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现， 又因为余1， 所以第2024次输出的结果为4． 故选：B． 4．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，．．．，按照这样的规律摆下去，摆第6个图形需要黑色棋子的个数是 ． 【答案】48 【分析】本题考查图形类规律探索，根据已知图形找出数字变化规律，利用规律求解． 【详解】解：由图可知，第1个图形需要3个黑色棋子，； 第2个图形需要8个黑色棋子，； 第3个图形需要15个黑色棋子，； 第4个图形需要24个黑色棋子，； …… 以此类推，第n个图形需要黑色棋子个数为， 因此摆第6个图形需要黑色棋子的个数是， 故答案为：48． 5．如果的值为12，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，整理可得，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：的值为12， ， ， 故答案为：7． 6．将有理数a（a不等于0和1）按以下步骤进行运算： 第一步：求相反数； 第二步：求所得的相反数与1的和； 第三步：求这个和的倒数． 如：有理数4按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数2和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，再将和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和如此重复上述过程，…． 则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数字规律型，依据题意分别计算、、、⋯的值，即可得出规律：这列数以、、、、2、为一个循环，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ⋯， 依次类推，这列数以、、、、2、为一个循环， ∵， ∴ ， 故答案为：． 7．定义一种新运算：对于实数、，有（其中，均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为，其中，叫做线性数的一个数对 (1)若，则 ， ； (2)已知：，则，求的值． 【答案】(1)， (2)151 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值： （1）根据新定义计算即可求得答案； （2）根据新定义运算求得，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， 则有， ， ． 8．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 9．【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）． （2） （3） （4）30 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图②线段数量进行作答． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛． 故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛， 故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛， 故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛， 故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票． 故答案为． 10．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)10， (2)13， (3) 【分析】（1）根据题意第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点，第n次继续增画点后，，用代数式表示即可； （2）第2次画点后，在原基础上增加了2个点，就增加了个小三角形，，第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，根据，，，可以推出； （3）由（2）可推得，两式相减，去括号化简即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得：第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第n次继续增画点后，， 也可以写成， ∴(共有n个这样的数) ∴ 故答案为：10，； （2）解：第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，， 第4次画点后，在原基础上增加了4个点，就增加了个小三角形，， 根据，，，， ∵，，， ∴ 故答案为：13，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有变化，分析其联系与区别，有时需要多画出几个图形进行观察，归纳时要注意数形结合思想． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$