专题02 代数式（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

专题02代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、同类项的指数求值 【解惑】若与是同类项，则m的值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【融会贯通】 1．已知与是同类项，则（　　） A．2 B． C．1 D．3 2．若单项式与是同类项，则的值是 ． 3．若单项式与是同类项，则 ． 类型二、升降幂排列 【解惑】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把多项式按字母x降幂排列为 3．将多项式按字母升幂排序： ． 类型三、不含某项与某项无关 【解惑】若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 【融会贯通】 1．若关于的多项式中不含一次项，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D．4或 2．多项式化简后不含项，则为 3．在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值 ． 类型四、绝对值在数轴中的化简 【解惑】若有理数在数轴上所对应的点的位置如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有理数a、b、c所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．c B． C． D． 2．有理数在数轴上表示的点如图所示，化简 ． 3．已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 类型五、合并同类项化简 【解惑】下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各组单项式中，不是同类项的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．请找出下列数的规律，并在横线上填上适当的数：3，3，6，18，72， ． 3．化简的结果是 ． 类型六、去括号化简 【解惑】化简： (1) (2) 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算 3．计算： (1)； (2)． 类型七、整式化简求值 【解惑】合并同类项： 【融会贯通】 1．计算： (1) ； (2) ． 2．化简： (1) ； (2)． 3．化简： (1)； (2)． 类型八、整式的加减应用 【解惑】先化简，再求值：，其中． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中，． 2．先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中a，b满足． 3．已知代数式，． (1)求； (2)若x，y满足，求的值． 类型九、代数式中的代数规律 【解惑】（1）把数x的平方乘以2后加8，然后除以4，再减去x的平方的，运算结果是一个确定的值吗？若是，请求出这个确定的值；若不是，请说明理由； （2）小明在做第（1）问时，将误抄写成2，然后发现运算结果不是确定的值，但他同时发现这个结果有最大值（或最小值）．请你帮小明用含x的代数式表示结果，并直接写出这个代数式的最大值（或最小值）． 【融会贯通】 1．如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 2．如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 3．将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 类型十、代数式中的图形规律 【解惑】认真学习与研究，并计算：+++…+． 【融会贯通】 1．观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示） 2．研究下列算式，你会发现什么规律？ (1)请你找出规律并计算 (2)用含有的式子表示上面的规律： ． (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算： ． 3．观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【一览众山小】 1．如图，四边形为正方形，在上分别取一点E和H，其中，，分别以和在正方形内部作正方形、正方形，记多边形为图形①，多边形为图形②，若要求图形①和②的周长差，则需要知道（    ） A．和的差 B．和的差 C．和的差 D．和的差 2．若，为有理数，且，，且，则的值等于 ． 3．用棋子摆出下列一组图形： (1)摆第1个图形用4枚棋子，摆第2个图形用8枚棋子，摆第3个图形用12枚棋子，那么摆第4个图形用______枚棋子； (2)按照这种方式摆下去，摆第50个图形用______枚棋子．（均不用写出过程） 4．在一个正方形的纸板内有若干点（称为内点），以这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点，能画出多少个不重叠的三角形？在图中分别画了正方形内有一个内点、两个内点、三个内点的情况． (1)完成下表： 内点个数 1 2 3 三角形个数 (2)正方形内有50个内点，能画出多少个不重叠的三角形？ 5．解答下列各题 (1)如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ (2)若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． (3)若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 6．某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 7．已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3． (1)由题意可得， ， ， ． (2)求多项式的值． 8．先化简，再求值：，其中，． 9．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 10．（1）学习和体会：若一个两位数的十位数字是3，个位数字是5，那么通过计算得到这个两位数；若一个两位数的十位数字是x，个位数字是6，请写出这个两位数______； （2）尝试与发现：请从自然数1—9中任意选出两个数写成一个两位数，尝试下列计算：把个位数字与十位数字相加后再乘11结果记作；调换个位数字与十位数字的位置形成新的两位数，把新两位数与原两位数相加结果记作．你发现与的大小关系为______； （3）提出问题：在（2）的条件下，假设十位上的数字为a，个位上的数字为b，请通过计算比较和的大小； （4）灵活应用：在（2）的条件下，假设十位上的数字为“”，个位上的数字为“”，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、同类项的指数求值 【解惑】若与是同类项，则m的值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】此题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．按照同类项的定义即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知与是同类项，则（　　） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是一道基础题，比较容易解答．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）即可求得、的值，再相减即可． 【解答】解：与是同类项， ，， ， 故选：． 2．若单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知同类项求参数，代数式求值，先根据同类项的定义求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：3． 3．若单项式与是同类项，则 ． 【答案】29 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的概念求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ，， ∴，， 则． 故答案为：． 类型二、升降幂排列 【解惑】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先确定各项中的次数，再排列即可，弄清楚每项中的系数是解此题的关键． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 【融会贯通】 1．把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按x的升幂排列为． 故选C． 2．把多项式按字母x降幂排列为 【答案】 【分析】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 3．将多项式按字母升幂排序： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．据此先分清多项式的各项，然后各项按字母m的指数从小到大进行排列． 【详解】将多项式按字母升幂排序为：． 故答案为： 类型三、不含某项与某项无关 【解惑】若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 先根据多项式的值与x的值无关可得，解题即可得到m的值． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的值无关， ∴， 解得：， 故选C． 【融会贯通】 1．若关于的多项式中不含一次项，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减运算，本题的关键是找出多项式中的一次项，让其系数为0，进行计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式中不含一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 2．多项式化简后不含项，则为 【答案】12 【分析】本题考查合并同类项．直接利用多项式的定义得出项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， 多项式不含项， ， ． 故答案为：12． 3．在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求解得到a、b的值即可解决问题． 【详解】解： 因为这个多项式不含一次项， 所以， 解得，． 所以． 故答案为：． 类型四、绝对值在数轴中的化简 【解惑】若有理数在数轴上所对应的点的位置如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简，先根据题意得出，，再化简绝对值，根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得出：，， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．有理数a、b、c所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，整式的加减计算，根据数轴得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．有理数在数轴上表示的点如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和数轴．注意数轴上、、的位置，以及他们与原点的距离远近，关键在于判断题干绝对值符号里面各个式子的符号，进而化简得出结果． 根据图形判断、、的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简； 【详解】解：根据数轴可知，，且， 故， ， ∴原式 ． 故答案为：． 3．已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先根据数轴上点的位置得到，进而得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知， ∴， ∴ ， 故答案为；． 类型五、合并同类项化简 【解惑】下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项法则，含有相同字母，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项，将同类项的系数相加减即可合并同类项，据此依次判断． 【详解】解：A、，故该项错误； B、，故该项正确； C、与不是同类项不能合并，故该项错误； D、与不是同类项不能合并，故该项错误； 故选B． 【融会贯通】 1．下列各组单项式中，不是同类项的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类项是定义，根据同类项的定义：“所含字母相同，且字母的指数也相同的单项式，”进行判断即可． 【详解】解：A、和是同类项，故不符合题意； B、和不是同类项，故符合题意； C、和是同类项，故不符合题意； D、和是同类项，故不符合题意； 故选：B． 2．请找出下列数的规律，并在横线上填上适当的数：3，3，6，18，72， ． 【答案】360 【分析】本题考查是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出后一个数是前一个数的几倍是解题的关键． 观察不难发现，第二个数是第一个数的1倍，第三个数是第二个数的2倍，第四个数是第三个数的3倍，依此类推，可知第6个数是72的5倍，即可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：360． 3．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减法，去括号注意变号，属于基础题． 去括号化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 类型六、去括号化简 【解惑】化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减法，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键． （1）根据合并同类项法则进行计算，得到答案． （2）根据合并同类项法则进行计算，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减法，掌握整式加减的计算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项，即可求解． 【详解】解： 2．计算 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，按照整式的混合运算法则计算即可． （1）按照整式的加减运算法则合并同类项即可． （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 类型七、整式化简求值 【解惑】合并同类项： 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，先根据去括号法则去括号，然后根据合并同类项法则合并同类项即可．合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算. （1）先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可． （2）先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可． 解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．特别注意：括号前面是“-”号时，去掉括号和“-”号，原括号里面的各项要改变符号． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2．化简： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）按照合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 熟练掌握去括号法则及合并同类项法则是解题的关键．注意：和是同类项， 和是同类项． 【详解】（1） （2） 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 类型八、整式的加减应用 【解惑】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，原式去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 2．先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中a，b满足． 【答案】(1)，19 (2)，12 【分析】此题考查了整式的加减混合运算以及代数求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． （1）先去括号，再合并同类项，然后代入求解即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】（1） ， 当，时， 原式； （2） ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 3．已知代数式，． (1)求； (2)若x，y满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的化简求值，绝对值的非负性，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先去括号，然后合并解题即可； （2）先根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， 解得：，， ∴原式． 类型九、代数式中的代数规律 【解惑】（1）把数x的平方乘以2后加8，然后除以4，再减去x的平方的，运算结果是一个确定的值吗？若是，请求出这个确定的值；若不是，请说明理由； （2）小明在做第（1）问时，将误抄写成2，然后发现运算结果不是确定的值，但他同时发现这个结果有最大值（或最小值）．请你帮小明用含x的代数式表示结果，并直接写出这个代数式的最大值（或最小值）． 【答案】（1）是，2；（2），最大值为2 【分析】 本题考查的是整式的加减运算，代数式的值，非正数的性质，理解题意是关键； （1）根据题意先列式，再计算即可； （2）根据题意先列式，再计算结合非正数的性质即可得到答案； 【详解】解：（1）是，理由如下： ； （2） ， ∵， 原代数式的最大值为2． 【融会贯通】 1．如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值： （1）根据列式求解即可； （2）根据，结合（1）所求分别计算出与面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：当时，， ， ∴． 2．如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)平方米 (3)元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）将代入（1）中的结果进行求解即可； （3）用单价乘以总面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：； （2）解：当时：， 故该走道的总面积为：平方米； （3）解：（元）． 3．将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍 (2)有，见解析 (3) (4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423 【分析】本题主要考查列代数式、数字的规律及一元一次方程的应用，根据数列的构成特点得出5个数之间的关系，列出方程依据条件取舍是解题的关键． （1）求出这5个数的和即可得； （2）根据表中的数，易发现另外的四个数中，上下的数相差是12，左右的数相差是2．根据这一关系进行表示各个数，再求和； （3）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （4）根据五个数的和为2000或2055列方程求解后，依据数列为奇数列即可判断． 【详解】（1）解：， 十字框框住的5个数的和是17的5倍； （2）解：如图所示： ， 若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍； （3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ； （4）解：5个数之和不能等于2000， 当时，得， 不是奇数， 个数之和不能等于2000； 5个数之和能等于2055， 当时，得， 是奇数， 个数之和能等于2055，这5个数分别为399、409、411、413、423． 类型十、代数式中的图形规律 【解惑】认真学习与研究，并计算：+++…+． 【答案】 【分析】根据式子的特点，将原式变形为，再运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的一般规律，裂项相消法是解题的关键． 【融会贯通】 1．观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第n个等式，用字母表示出所得的规律即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为：； （2）通过观察前面式子可得： 第n个等式： ． 2．研究下列算式，你会发现什么规律？ (1)请你找出规律并计算 (2)用含有的式子表示上面的规律： ． (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的运算，数字规律问题，对于（1）和（2），通过观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到；含有的式子表示的规律． 对于（3），由， 利用此规律计算． 【详解】（1）． 故答案为：64，； （2）上述算式有规律，可以用表示为：． 故答案为：； （3）原式． 故答案为：． 3．观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【答案】(1)，； (2)，4 【分析】本题考查了找规律，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于根据示例找出运算规律． （1）由题易得运算规律为 ，再分别表示和即可； （2）先将表示为题干规律形式，在寻找的个位数规律即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：运算规律为 ， ， ， 故答案为：，； （2）解：根据题规律可得：， ，，，，，，，， 的个位数变化规律为2、4、8、6，4个数字为一个循环， ， 的个位数字为6， 的个位数字为4． 【一览众山小】 1．如图，四边形为正方形，在上分别取一点E和H，其中，，分别以和在正方形内部作正方形、正方形，记多边形为图形①，多边形为图形②，若要求图形①和②的周长差，则需要知道（    ） A．和的差 B．和的差 C．和的差 D．和的差 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减法的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，设，，，，得到，，故①和②的周长差为：，化简为． 【详解】解：如图， 由题意得，设，， ，， ∴， ∴①和②的周长差为： ， 故选：C． 2．若，为有理数，且，，且，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题侧重考查有理数除法的题目，掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．对，，依据绝对值的性质求出、的值；然后根据，可知、异号，故可对上步所得到的、的值进行分类取值；接下来将、的值代入待求式中进行计算即可得到答案． 【详解】解：因为，， 所以，， 又因为， 所以，或，， 则． 故答案为：． 3．用棋子摆出下列一组图形： (1)摆第1个图形用4枚棋子，摆第2个图形用8枚棋子，摆第3个图形用12枚棋子，那么摆第4个图形用______枚棋子； (2)按照这种方式摆下去，摆第50个图形用______枚棋子．（均不用写出过程） 【答案】(1)16 (2)200 【分析】根据前三个图的规律推断一般规律即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形需要棋子的枚数为：4， 第2个图形需要棋子的枚数为：8＝4×2， 第3个图形需要棋子的枚数为：12＝4×3， ．．．， ∴第3个图形需要棋子的枚数为：4×4＝16（枚）， 故答案为：16； （2）由（1）得：第n个图形需要棋子的枚数为：4n， ∴第50个图形需要棋子的枚数为：4×50＝200（枚）， 故答案为：200． 【点睛】本题考查图形类规律题，能通过图形推出一般规律是解题的关键． 4．在一个正方形的纸板内有若干点（称为内点），以这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点，能画出多少个不重叠的三角形？在图中分别画了正方形内有一个内点、两个内点、三个内点的情况． (1)完成下表： 内点个数 1 2 3 三角形个数 (2)正方形内有50个内点，能画出多少个不重叠的三角形？ 【答案】(1)4，6，8 (2)正方形内有50个内点，能画出102个不重叠的三角形 【分析】本题考查正方形的性质，规律型图形的变换，解答本题关键需准确识图，灵活找规律解答． （1）数出正方形内不重叠的三角形的个数填表即可； （2）根据正方形内点个数与不重叠的三角形个数之间的关系找规律计算． 【详解】（1）解：根据图形完成下表： 内点个数 1 2 3 三角形个数 4 6 8 故答案为：4，6，8； （2）由（1）表格中的数据之间的关系知，当内点个数为时，不重叠的三角形有个， 当时，， 答：正方形内有50个内点，能画出102个不重叠的三角形． 5．解答下列各题 (1)如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ (2)若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． (3)若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)2051325 【分析】本题主要考查的是角的概念，规律探究，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成个角． （1）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （2）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （3）把2020代入求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 （2）解：当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当有n条射线时，角总个数为： ； （3）解：当内有射线条数是2024时， 角总个数为：（个）． 6．某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析； (2)， (3)场 【分析】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 7．已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3． (1)由题意可得， ， ， ． (2)求多项式的值． 【答案】(1)0；1； (2)16或22 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、互为倒数、绝对值等知识： （1）根据相反数、互为倒数、绝对值的性质即可解决问题； （2）把，，，代入式子计算即可． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3． ∴，，； 故答案为：0；1； （2）解：由（1）得： 当时， ； 当时， ． 综上所述，该多项式的值为16或22． 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式加减中的化简求值．去括号，合并同类项化简后，代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 9．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 10．（1）学习和体会：若一个两位数的十位数字是3，个位数字是5，那么通过计算得到这个两位数；若一个两位数的十位数字是x，个位数字是6，请写出这个两位数______； （2）尝试与发现：请从自然数1—9中任意选出两个数写成一个两位数，尝试下列计算：把个位数字与十位数字相加后再乘11结果记作；调换个位数字与十位数字的位置形成新的两位数，把新两位数与原两位数相加结果记作．你发现与的大小关系为______； （3）提出问题：在（2）的条件下，假设十位上的数字为a，个位上的数字为b，请通过计算比较和的大小； （4）灵活应用：在（2）的条件下，假设十位上的数字为“”，个位上的数字为“”，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4）99 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减，能理解题意解决本题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）由题意列出代数式和，并比较大小即可； （3）由题意列出代数式和，并比较大小即可； （4）由题意列出代数式并计算即可． 【详解】（1）若一个两位数的十位数字是x，个位数字是6，请写出这个两位数， 故答案为：； （2）设两位数的十位数字是x，个位数字是， 则， ， 故答案为：； （3）； ， ； （4）， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$