专题02 绝对值的化简7大压轴题（新教材）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题02 绝对值的化简 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据数轴位置化简绝对值 2 类型二、根据字母取值范围化简求值 2 类型三、利用非负性化简绝对值 2 类型四、定义新运算的绝对值化简 2 类型五、绝对值方程 3 类型六、分类讨论化简绝对值 3 类型七、几何意义的绝对值化简 4 压轴能力测评 4 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 类型一、根据数轴位置化简绝对值 例1．如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 变式1-1．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 变式1-2．已知的大致位置如图所示：化简． 类型二、根据字母取值范围化简求值 例2．已知，，代数式的最小值为 ． 变式2-1．若，那么 ． 变式2-2．已知有理数，则化简的结果是 ． 类型三、利用非负性化简绝对值 例3．若a、b、c是整数，且，则 ． 变式3-1．已知整数满足，则的值为 ． 变式3-2．已知，，为有理数，若，且，则的值为 ． 类型四、定义新运算的绝对值化简 例4．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（    ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式4-2．在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，下列说法正确的个数是（    ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 类型五、绝对值方程 例5．适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式5-1．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 . 变式5-3．已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 类型六、分类讨论化简绝对值 例6．若，求代数式 ． 变式6-1．已知为任意有理数，则的最小值为 ． 变式6-2．若，，则 ． 类型七、几何意义的绝对值化简 例7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 变式7-1．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 变式7-2．数学实验室：定义：点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______； (2)若表示一个有理数，则的最小值_______． (3)若表示一个有理数，且，则满足条件的的值为_______； 故答案为：或． 1．在多项式中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有 项，并把绝对值符号内最右边项的“”改为“”，称此为“添加操作”，最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为T．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得，此时．再将“”改为“”，可得．于是同一种“添加操作”得到的T有2种可能的情况：或．下列说法：①若，，则；②共有3种“添加操作”，可能得到；③有且仅有一个k值，使T中可能有2个“”，其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 3．已知化简：= ． 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c＋b|＋|b－a|＝ ． 5．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 6．（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 7．阅读信息： 信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： (1)和5关于2的“双倍关系值”为______． (2)若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值； (3)若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为______； ②的值为______（用含的式子表示）． 8．华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 9．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    10．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值的化简 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据数轴位置化简绝对值 2 类型二、根据字母取值范围化简求值 3 类型三、利用非负性化简绝对值 4 类型四、定义新运算的绝对值化简 5 类型五、绝对值方程 7 类型六、分类讨论化简绝对值 9 类型七、几何意义的绝对值化简 11 压轴能力测评 15 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 类型一、根据数轴位置化简绝对值 例1．如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，， 则，，；结合选项即可求解 【详解】解：从图可知，， ∴，，， 故、错误； ∴ ，故正确，错误， 故选． 变式1-1．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 变式1-2．已知的大致位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】 此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴可得：， ， ． 类型二、根据字母取值范围化简求值 例2．已知，，代数式的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键． 根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值． 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和， ∵，， ∴当时，的最小是， 故答案为：5． 变式2-1．若，那么 ． 【答案】7 【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 变式2-2．已知有理数，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可． 【详解】∵a < - 1， ∴a + 1< 0，1- a > 0， ∴ = (- a -1) + (1- a) = - a -1+1- a = -2a， 故答案为： -2a． 【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键． 类型三、利用非负性化简绝对值 例3．若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 变式3-1．已知整数满足，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 变式3-2．已知，，为有理数，若，且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由题意得，，得． 【详解】解：，且， ，， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，解题关键是根据绝对值性质的得出，，从而得出，． 类型四、定义新运算的绝对值化简 例4．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义及化简，根据“运算”的定义及绝对值的性质逐项运算即可判断求解，掌握绝对值的意义及性质是解题的关键． 【详解】解：①∵对，进行“运算”的结果是， ∴， ∴或，故①错误； ②∵对，，进行“运算”的结果是， ∴， ∴， 即数对应的点到和对应的点的距离之和等于， ∵， ∴数在和之间，且可以和、重合， ∴，故②错误； ③对进行“运算”得， ， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴化简后的结果可能存在种不同的表达式，故③正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 变式4-1．在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（    ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了化简绝对值．熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，，然后进行“双加绝对操作”，化简绝对值，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，， ①“双加绝对操作”后 ，，，； ② “双加绝对操作”后，，，； ③ “双加绝对操作”后，，，； 当时，运算结果与原多项式相等，①正确，故符合要求； 当时，其运算结果与原多项式之和为0，②正确，故符合要求； 所有“双加绝对操作”共有9种不同的结果，③错误，故不符合要求； 故选：C． 变式4-2．在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，下列说法正确的个数是（    ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义题型及绝对值计算和分类讨论思想的应用，根据题目所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论求解即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴去绝对值操作后还是它本身， ∴不存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故①错误， 存在，，，，，， ，8种情况使其运算结果与原多项式相等，故②正确， 总共有：，，，，，6种结果，故③错误， B 故选：． 类型五、绝对值方程 例5．适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 该方程表示到和5的距离的和为12， ， ， 整数的值有，，0，1，共4个， 故选C． 变式5-1．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 变式5-2．若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别讨论当时，当时，当时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进行求解即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴，即， ∴此时方程有无数解，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∴此时方程有无数解，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∴此时方程有唯一解，符合题意； ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行求解． 变式5-3．已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到 ， 或，，分了讨论的值，再代入中求解绝对值方程即可． 【详解】解：由题意， ， 或，， 当 ，时，则， ，即 ， 当，时，则， ，即， ， ， 解得． 类型六、分类讨论化简绝对值 例6．若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解： ， ，，， ，，， ， 故答案为：1 变式6-1．已知为任意有理数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 变式6-2．若，，则 ． 【答案】-2或0或4 【分析】对a和b，以及的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值． 【详解】解：①当，时，，， 原式； ②当，时，，， 原式； ③当，，且时，， 原式； ④当，，且时，， 原式； ⑤当，，且时，， 原式； ⑥当，，且时，， 原式． 故答案是：-2或0或4． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值． 类型七、几何意义的绝对值化简 例7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； (5)． 【分析】（）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的几何意义可知，时，求出符合条件的值即可； （）根据绝对值的几何意义进行当时和时两种情况讨论即可； （）表示数轴上到表示的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知，当时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解； 本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：若，那么的值为或， 故答案为：； （2）∵， ∴或， ∴或， 故答案为: 或； （3）∵，且 ∴， ∵是整数， ∴的值有， ， ， ，， ，共个， 故答案为：； （4）由（）可得当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 故答案为：或； （5）∵的中间一项是， ∴时， 原式有最小值，， 故答案为：． 变式7-1．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为:； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 变式7-2．数学实验室：定义：点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______； (2)若表示一个有理数，则的最小值_______． (3)若表示一个有理数，且，则满足条件的的值为_______； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用数轴上、两点之间的距离为，即可解题． （2）本题考查去绝对值，根据数轴上、两点之间的距离为，理解表示到之间的距离，理解表示到之间的距离，而表示到之间的距离和到之间的距离之和，再分以下三类情况讨论，①，②，③，结合绝对值的运算法则，即可解题． （3）本题解法与（2）类似，根据题干的式子分的三类情况，去绝对值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：表示到之间的距离和到之间的距离之和， ①当时，则， ， ， ， ②当时，则， ③当时，则， ， ， ， 综上所述，的最小值为． 故答案为：． （3）解：表示到之间的距离和到之间的距离之和等于， ①当时，则， ，解得， ②当时，则， ， 不能取， ③当时，则， ，解得， 综上所述，当时，或． 故答案为：或． 1．在多项式中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有 项，并把绝对值符号内最右边项的“”改为“”，称此为“添加操作”，最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为T．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得，此时．再将“”改为“”，可得．于是同一种“添加操作”得到的T有2种可能的情况：或．下列说法：①若，，则；②共有3种“添加操作”，可能得到；③有且仅有一个k值，使T中可能有2个“”，其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题时注意结合分类讨论是关键． 【详解】依据题意，分别分析如下： ①, 即 又的绝对值是， ∴. ∴. ∴①正确. ②时, ，则可能，这是一种绝对操作 ，则可能，这是第二种绝对操作； 时,, 则可能.这是第三种绝对操作， ∴共有三种绝对操作故②正确； ③时只有1个“”, 时, 有个或个“”, 时, 有个或个“”. ∴③正确. 故选:D. 2．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】4 或 10 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可． 【详解】解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，， 有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，，，， 这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，， ， ， ； 或 ， ； 故答案为：或4． 3．已知化简：= ． 【答案】-a-3b-c 【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可. 【详解】解：∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0 ∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c 故答案为-a-3b-c. 【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键. 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c＋b|＋|b－a|＝ ． 【答案】a－b＋c 【详解】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可，即可由图可知，c＜b＜0＜a，可求c+b＜0，b-a＜0，因此原式=-b+c+b+a-b=a+c-b. 故答案为a+c-b. 点评：本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 5．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【答案】(1)和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”． （1）由即可求解． （2）分三种情况讨论当时，当时，当时化简即可． （3）根据（2）中化简结果即可求解． 【详解】（1）解∶ 和 和． （2）当时，； 当时，； 当时，． （3）， ， 整数解为∶． 6．（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 7．阅读信息： 信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： (1)和5关于2的“双倍关系值”为______． (2)若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值； (3)若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为______； ②的值为______（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)的值为5或 (3)①6，②420或440或460或 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“双倍关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据“双倍关系值”的定义，求解即可； （2）根据“双倍关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分10种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：由题意得：，即， ， 或， 解得：或， 的值为5或； （3）解：① 和关于1的“双倍关系值”为2， ， 分四种情况： 当时，，则； 当时，，则，即； 当时，，则；即； 当时，，则； 综上，的最大值为6， 故答案为：6； ②分10种情况： 1、当时，，解得， 由可得，， ……， 可得， ； 2、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 3、当时，，解得：或， 时，由，可得，此种情形不存在； 时，由，解得：或， 时，由，可得，此种情形不存在； 时，由，解得：或， ， 同理得：， ； 4、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 5、当，由，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ，则，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； ； 6、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 7、当，由，可得，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ， 当时，由，可得，解得：或， ，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ； 8、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 9、当时，，解得， 由可得，， ……， 可得， ； 10、当时，，与矛盾，此种情形不存在； 综上所述：的值为420或440或460或， 故答案为：420或440或460或． 8．华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 9．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 10．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$