第07讲 锥体（5个知识点+6种题型+强化训练）【帮课堂】-2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第07讲 锥体 课程标准 学习目标 通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台、圆锥、圆台的结构特征．(重点) 2．理解棱锥、棱台、圆锥、圆台之间的关系．(难点) 3．能运用棱锥、棱台圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点) 知识点1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 知识点2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 【即学即练2】已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为_____与母线的长为________． 知识点3.棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 【即学即练3】（1）下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （2）如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长； 知识点4.锥体、台体的体积 1、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2、柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 【即学即练4】（1）（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求四面体的体积. （2）如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰， 求：圆台的体积； 知识点5.锥体、台体的表面积与侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【即学即练5】（1）（2023秋·高二课时练习）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是 （2）（2023秋·高二课时练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 . （3）（2023秋·高二课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 题型01 棱锥的结构特征 1．（2023秋•浦东新区校级期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）设，，，分别是四棱锥侧棱，，，上的点．给出以下两个命题，则　　 ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 3．（2023秋•嘉定区校级期中）现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是　　 A．这个多面体有8个面和12条棱 B．这个多面体有6对棱互相平行 C．这个多面体有4对面互相垂直 D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上 4．（2023秋•松江区校级月考）一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是　　 A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 5．（2023秋•黄浦区校级月考）设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 　　． 6．（2023秋•杨浦区校级期中）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则三角形的面积的最小值为　 　． 题型02 圆锥的结构特征 7．（2024春•潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 　　． 8．（2023秋•静安区校级期中）如图，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．若将容器平放在地面上（如图，则水面正好过圆锥的顶点；若将容器倒置（如图，水面也恰好过点．下列说法中，正确的是 　　．（写出所有满足条件的说法序号） ①圆锥的高等于圆柱的高的一半； ②将容器的一条母线贴地，水面也恰过点； ③将容器任意摆放，当水面静止时都过点． 9．（2024•甘井子区校级模拟）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　 A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 题型03 棱锥的侧面积和表面积 10．（2024•西安模拟）一个正四棱锥的主视图如图所示，，则该四棱锥的表面积为　　 A． B． C．46 D．48 11．（2023春•东莞市校级期中）一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 12．（2024春•延庆区期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•9月份月考）已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，在该圆柱的底面内任取一点，则当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 题型04 棱锥的体积 14．（2022•闵行区校级开学）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•南宁期末）已知球的半径，球的内接圆锥的高与底面半径的比为，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 16．（2024春•秀英区校级期末）已知球的表面积为，边长为3的等边的三个顶点都在球的球面上，则三棱锥的体积等于　　 A． B． C． D． 17．（2024春•黔东南州期末）在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 题型05 圆锥的侧面积和表面积 18．（2023秋•普陀区期中）若圆锥的母线为，高为1，则圆锥的侧面积为　　． 19．（2023秋•闵行区期中）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为　　． 20．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 21．（2024春•梧州期末）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为2的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 题型06 圆锥的体积 22．（2023秋•杨浦区校级期末）我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图，从而求得该帐篷的体积为 　　． 23．（2024春•黄浦区校级期中）已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为 　　． 24．（2024•徐汇区校级开学）已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为 　　． 25．（2023秋•浦东新区校级期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于 　　． 26．（2023春•黄浦区校级期末）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 　　． 27．（2023秋•浦东新区校级期末）圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为 　　． 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•普陀区校级月考）若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•徐汇区校级期中）已知点是正四棱锥的侧棱上异于点的一动点，则点在面上的射影落在　　 A．的外部 B．的内部 C．的一边上 D．以上皆有可能 二．填空题（共11小题） 3．（2023秋•宝山区校级期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的体积为 　　． 4．（2023秋•徐汇区校级期中）空间内存在三点、、，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与、、可以组成正四棱锥，求方案数为 　　． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）将一个圆心角为，面积为的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为 　　． 6．（2023秋•松江区月考）若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为，则这个圆锥的侧面积为　　． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）高为3、底面半径为1的圆锥的体积为 　　． 8．（2022秋•闵行区校级期末）已知一个正四面体的棱长为2，则它的高是 　　． 9．（2022秋•嘉定区校级期中）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的体积为 　　． 10．（2021秋•静安区校级期末）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为　　． 11．（2022•佛山模拟）已知正三棱锥的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过的截面与棱、分别交于点、，则截面周长的最小值为 　　． 12．（2021秋•松江区校级期末）已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 　　． 13．（2022秋•浦东新区校级月考）设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点，且到面，的距离分别为，，则　　． 三．解答题（共4小题） 14．（2022春•杨浦区校级月考）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的圆心，、是底面圆的两条直径，且，，，为的中点． （1）求圆锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 15．（2022秋•黄浦区校级期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是，母线长为，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度． 16．（2022秋•浦东新区校级月考）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． （1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值； （2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； （3）若该锥体的体积为定值，求这三棱锥侧面与底面所成的角，使该三棱锥的表面积最小． 17．（2023•徐汇区三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点． （1）若母线长为10，求圆锥的体积； （2）若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 锥体 课程标准 学习目标 通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台、圆锥、圆台的结构特征．(重点) 2．理解棱锥、棱台、圆锥、圆台之间的关系．(难点) 3．能运用棱锥、棱台圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点) 知识点1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 知识点2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 【即学即练2】已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为_____与母线的长为________． 【答案】，2； 【解析】设正三角形的边长为a，则a2＝，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为a＝，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2； 知识点3.棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 【即学即练3】（1）下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A. ； 【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A. （2）如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长； 【解析】如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD， 由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm， 且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20 cm， 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 知识点4.锥体、台体的体积 1、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2、柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 【即学即练4】（1）（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，并计算出的长以及的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体的体积. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，因此，平面. （2）解：因为、分别为、的中点，则且， 因为平面，则平面， 因为平面，平面，所以，， 则， 因为为的中点，则， 因此，. （2）如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰， 求：圆台的体积； 【解析】设上、下底面半径分别为r，R. 因为，A1D＝3，∠A1AB＝60°， 所以，AD＝＝， 所以，R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3， 所以，∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3， 所以，∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π； 知识点5.锥体、台体的表面积与侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【即学即练5】（1）（2023秋·高二课时练习）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是 【答案】 【分析】先求出底面三角形的中心到底面三角形的边的距离及正三棱锥的斜高，再根据棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为， 所以正三棱锥的斜高为， 所以这个正三棱锥的侧面积为，底面积为， 所以正三棱锥的表面积为. 故答案为:. （2）（2023秋·高二课时练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 . 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图即可求得圆锥底面圆半径，分别求得这个圆锥的表面积和侧面积即可求出结果. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则底面圆的周长为，即展开后的扇形弧长为， 又扇形的圆心角为，半径为1， 所以，所以， 故圆锥的侧面积为， 表面积为， 所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为， 即这个圆锥的表面积与侧面积的比是. 故答案为： （3）（2023秋·高二课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可； （2）将圆台侧面沿母线展开求解即可. 【详解】（1） 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. （2）     将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， ∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴， 又∵，∴，， 设，则的弧长，∴， 连接，取线段中点，连接，则， 在中，，，∴， ∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段， . ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 题型01 棱锥的结构特征 1．（2023秋•浦东新区校级期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，，此时取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为，其他各边长为2，有最小值，易得的取值范围 【解答】解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，，，如图，此时可以取最大值，可知，，则有， 即， 即有 ②构成三棱锥的两条对角线长为，其他各边长为2，如图所示，此时； 综上分析可知； 故选：． 【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出的最大值和最小值，进而得到的取值范围 2．（2023秋•浦东新区校级期末）设，，，分别是四棱锥侧棱，，，上的点．给出以下两个命题，则　　 ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪． 【解答】解：对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形， 具体做法是：取，则四棱锥为正四棱锥， 然后令，，，； 那么，， 此时是梯形，但不是平行四边形， 对于①，如图，四边形为平行四边形， 也为平行四边形， 若平面与平面 不平行， 则四边形 中必有一边与底面相交， 不妨设直线 与底面相交，则直线 也与底面相交， 在平面中过做 的平行线，交与，则， 因平面，平面，故平面，即平面， 而平面平面，故，而， 故，相交，这与为平行四边形矛盾， 故平面平面，故， 若四边形 为菱形，则，则， 故四边形为菱形，故①错误． 故选：． 【点评】本题考查命题的真值判断，属于中档题． 3．（2023秋•嘉定区校级期中）现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是　　 A．这个多面体有8个面和12条棱 B．这个多面体有6对棱互相平行 C．这个多面体有4对面互相垂直 D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上 【分析】根据题意画出图形，结合图形判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：如图所述， 对于，该多面体是棱长为2的8面体，且有12条棱，选项正确； 对于，连接、，则、交于点，则、互相平分，所以四边形是平行四边形，所以， 同理，这个多面体有6对棱互相平行，选项正确； 对于，这个多面体中相邻的两个平面不垂直，相对的两个平面也不垂直，所以没有所在的平面互相垂直，选项错误； 对于，以为球心，各个顶点到球心的距离相等，都等于．所以选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 4．（2023秋•松江区校级月考）一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是　　 A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【分析】因为正六边形到中心的距离等于边长，所以正六棱锥的侧锥必大于底面棱长． 【解答】解：若一个棱锥的各棱长均相等， 则该棱锥一定不是六棱锥， 因为正六边形到中心的距离等于边长， 所以正六棱锥的侧锥必大于底面棱长． 故选：． 【点评】本题考查棱锥形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意棱锥性质的合理运用． 5．（2023秋•黄浦区校级月考）设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 　　． 【分析】分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体的对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求即可． 【解答】解；第一种情况，两边在一个三角形内时： 假设，时，为在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结， 假设，则，， 所以，即， 解得：，则且，即， 故，则， 综上：； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设，，发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，，取中点，连接，，则， 由两边之和大于第三边可知：，解得：，故， 综上，． 故答案为：． 【点评】本题考查空间几何体的结构特征，属于中档题． 6．（2023秋•杨浦区校级期中）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则三角形的面积的最小值为　　． 【分析】作于，于，连结推导出，，，推导出，设，，则，，当时，，由此能求出三角形的面积的最小值． 【解答】解：作于，于，连结， 在鳖臑中，平面，且有， ，， ，，， ，， ， 设，，则， ， 时，， 三角形的面积的最小值： ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 题型02 圆锥的结构特征 7．（2024春•潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 　　． 【分析】根据题意，设该圆锥的底面半径为，母线长为，分析可得，解可得答案． 【解答】解：根据题意，设该圆锥的底面半径为，母线长为， 则有，解可得． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题． 8．（2023秋•静安区校级期中）如图，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．若将容器平放在地面上（如图，则水面正好过圆锥的顶点；若将容器倒置（如图，水面也恰好过点．下列说法中，正确的是 　②　．（写出所有满足条件的说法序号） ①圆锥的高等于圆柱的高的一半； ②将容器的一条母线贴地，水面也恰过点； ③将容器任意摆放，当水面静止时都过点． 【分析】先利用倒置后水的体积不变，建立三棱锥的高和圆柱高之间的关系，即可得①的正误，求出圆柱内部体积，和水的体积比较可知②的正误，由于该容器上下不对称，所以过点的平面不可能总平分圆柱内部空间，可得③的正误． 【解答】解：记圆柱底面积为， 记圆锥的高为，圆锥顶点到圆柱上底面的距离为， 设圆柱的高为，则， 由题知，， 且， 所以， 即， 故， 故①错误； 圆柱内部空间体积为， 而水的体积为， 故水的体积正好是圆柱内部空间体积的一半， 因此将圆柱母线贴地，水面过点， 故②正确； 因为过点的平面不可能总平分圆柱内部空间， 故③错误． 故答案为：②． 【点评】本题主要考查了圆柱和圆锥的结构特征，以及体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题． 9．（2024•甘井子区校级模拟）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　 A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【分析】根据圆锥底面半径、高以及母线三者的关系求出圆锥的高，即可求出体积、侧面积；然后利用底面周长为侧面展开图扇形的弧长，算出圆心角弧度数；求出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式，即可求出过两条母线截面三角形面积的最大值． 【解答】解：圆锥的底面半径是，母线长，所以高， 所以圆锥体积，错误； 侧面展开图的圆心角弧度数为，正确； 圆锥轴截面顶角的余弦值为，故顶角为钝角， 所以过圆锥的两条母线的截面面积为，正确； 圆锥的侧面积为，正确． 故选：． 【点评】本题考查圆锥的表面积、体积的计算，以及圆锥的性质及应用，属于中档题． 题型03 棱锥的侧面积和表面积 10．（2024•西安模拟）一个正四棱锥的主视图如图所示，，则该四棱锥的表面积为　　 A． B． C．46 D．48 【分析】由题意可得底面正方形的边长及侧面斜高，进而可得四棱锥的表面积． 【解答】解：由题意可得， 由题意可得底面正方形的对角线，所以正方形的边长为4，侧面的侧棱长， 所以斜高， 所以． 故选：． 【点评】本题考查四棱锥的表面积的求法，属于基础题． 11．（2023春•东莞市校级期中）一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积． 【解答】解：如图所示，在正四棱锥中，底面的边长为2， 设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高， 则为的中点，且，， 取的中点，连接，则，且， ， 故正四棱锥的表面积为． 故选：． 【点评】本题考查锥体体积计算，属于基础题． 12．（2024春•延庆区期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合解三角形知识先求得，进一步结合三角形面积公式以及侧面积的定义即可求解． 【解答】解：连结，交于，连结，则为，的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以， 在中，，， 则由余弦定理可得， 故， 所以， 则， 不妨记，， 因为， 所以， 即， 则，整理得①， 又在中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在中，，， 所以， 又，所以， 所以的面积为， 同理可得的面积为， 因为，，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 因为，，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 所以此四棱锥的侧面积为． 故选：． 【点评】本题主要考查棱锥侧面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 13．（2023秋•9月份月考）已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，在该圆柱的底面内任取一点，则当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据棱锥体积公式以及正方形的面积为定值确定点在底面上的位置，求出相关线段长，根据棱锥侧面积公式即可求得答案． 【解答】解：根据题意，如图， 设圆柱的底面圆心为，为该底面上一点，底面半径为1， 四棱锥体积，其中为到的距离， 因为正方形的面积为定值， 所以当为的中点时，连接，此时为四棱锥的高，高最大，此时四棱锥体积最大， 则，，，， 设圆柱的另一底面圆心为，连接，则，且， 此时四棱锥侧面积为． 故选：． 【点评】本题考查圆柱的侧面积计算，涉及棱锥的体积，属于中档题． 题型04 棱锥的体积 14．（2022•闵行区校级开学）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果． 【解答】解：因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形， 设三条侧棱长分别为，，，则，所以， 所以三棱锥的体积， 故选：． 【点评】本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题． 15．（2024春•南宁期末）已知球的半径，球的内接圆锥的高与底面半径的比为，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意建立方程，可求出，，再根据圆锥的体积公式，即可求解． 【解答】解：根据题意可得， 解得，， 该圆锥的体积为． 故选：． 【点评】本题考查圆锥的体积的求解，属基础题． 16．（2024春•秀英区校级期末）已知球的表面积为，边长为3的等边的三个顶点都在球的球面上，则三棱锥的体积等于　　 A． B． C． D． 【分析】求出球的半径和所在平面截球所得的小圆的半径，利用勾股定理可得球心到所在平面的距离，再利用棱锥的体积公式即可得解． 【解答】解：设球的半径为，则，解得， 设所在平面截球所得的小圆的半径为，则， 故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查棱锥的体积的求法，球的表面积公式，考查运算求解能力，属于基础题． 17．（2024春•黔东南州期末）在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】设正四棱锥的底面边长为，，从而可得高为，进而可得正四棱锥体积为：，再根据基本不等式，即可求解． 【解答】解：设正四棱锥的底面边长为，， 则其高为， 正四棱锥体积为： ， 当且仅当，即时，取得等号， 正四棱锥体积的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查正四棱锥的体积的最值的求解，基本不等式的应用，属中档题． 题型05 圆锥的侧面积和表面积 18．（2023秋•普陀区期中）若圆锥的母线为，高为1，则圆锥的侧面积为　　． 【分析】首先求出圆锥的底面半径，进一步求出圆锥的展开面的面积． 【解答】解：圆锥的母线为，高为1，所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的展开面的周长为， 所以圆锥的侧面积为． 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：圆锥的展开面的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．（2023秋•闵行区期中）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为　　． 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】解：由已知可得，，则圆锥的母线长． 圆锥的侧面积． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥侧面积的求法，关键是对公式的记忆，是基础题． 20．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【分析】利用底面半径为2的圆锥的侧面展开图是一个半圆，求出圆锥的母线长，即可求此圆锥的表面积． 【解答】解：设圆锥的母线长为，则，， 圆锥的表面积是：． 故选：． 【点评】本题考查圆锥的表面积，考查学生的计算能力，求出圆锥的母线长是关键． 21．（2024春•梧州期末）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为2的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，分析圆锥的轴截面，可得圆锥的母线长和底面半径，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，其腰长为， 则其底边长为， 故圆锥的母线长，底面圆半径， 所以该圆锥的侧面积为． 故选：． 【点评】本题考查圆锥的侧面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题． 题型06 圆锥的体积 22．（2023秋•杨浦区校级期末）我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图，从而求得该帐篷的体积为 　　． 【分析】根据祖暅原理及四棱柱的体积公式，即可求解． 【解答】解：根据题意可知正四棱柱的底面正方形的对角线长为2，高为1， 正四棱柱的底面正方形的边长为， 根据祖暅原理可得所求帐篷的体积为： ． 故答案为：． 【点评】本题考查祖暅原理及四棱柱的体积公式的应用，属基础题． 23．（2024春•黄浦区校级期中）已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为 　　． 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求得其高，再利用其体积公式即可得解． 【解答】解：根据题意，因为圆锥的母线长为，底面半径为， 则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题． 24．（2024•徐汇区校级开学）已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为 　　． 【分析】根据题意，设该圆锥的母线长为，高为，由侧面积公式求出，由圆锥的结构特征求出，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设该圆锥的母线长为，高为，底面半径， 一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则有， 则， 故高， 则该圆锥的体积． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积公式，属于基础题． 25．（2023秋•浦东新区校级期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于 　　． 【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为，则母线长为，由侧面面积求得，再由圆锥体积公式求解． 【解答】解：根据题意，如图， 设圆锥的底面半径为，则母线长为， 则该圆锥的高为． 则其侧面积，解得． 圆锥的高为． 其体积． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥体积的求法，注意圆锥的结构特征，属于基础题． 26．（2023春•黄浦区校级期末）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 　　． 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求解即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为，高为， 由题意可得，， 解得， 所以， 所以该圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，考查了圆锥的体积公式，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题． 27．（2023秋•浦东新区校级期末）圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为 　　． 【分析】根据题中条件可得圆锥的母线长及底面圆半径，进一步求得高后，利用体积公式计算即可． 【解答】解：因为圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形， 所以圆锥的母线长为， 底面周长即扇形的弧长为， 所以底面圆的半径， 可得底面圆的面积为， 又圆锥的高， 所以圆锥的体积为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，考查了圆锥的体积公式，属于基础题． 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•普陀区校级月考）若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线与轴所成角为，利用圆锥的体积半球的体积，列方程求出，再利用三角恒等变换求出即可． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，高为，母线与轴所成角为，则， 所以圆锥的高为；圆锥的体积为， 半球的体积为， 因为，即，解得， 所以； 即圆锥的轴截面顶角的余弦值是． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥与球的体积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 2．（2022秋•徐汇区校级期中）已知点是正四棱锥的侧棱上异于点的一动点，则点在面上的射影落在　　 A．的外部 B．的内部 C．的一边上 D．以上皆有可能 【分析】把正四棱锥放在正四棱柱中，通过作出垂线，找出射影，即可判断选项． 【解答】解：把正四棱锥放在正四棱柱中，是上底面的中心，如图，连接与的中点，由图可知，过作平面，垂足为，连接，可知点在面上的射影落在外部， 故选：． 【点评】本题考查了棱锥的结构特征，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，转化思想，属于中档题． 二．填空题（共11小题） 3．（2023秋•宝山区校级期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的体积为 　　． 【分析】作出圆锥的截面图，计算圆锥的高，代入体积公式可得结果． 【解答】解：圆锥的轴截面如图， 由题意知，则， 所以， 由勾股定理得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查空间想象能力与运算求解能力．属于基础题． 4．（2023秋•徐汇区校级期中）空间内存在三点、、，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与、、可以组成正四棱锥，求方案数为 　9　． 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解． 【解答】解：根据题意，因为空间中有三个点、、，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时，，分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的； 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种； 第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时，，分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的； 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况． 故答案为：9． 【点评】本题考查棱锥的结构特征，解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，属于中档题． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）将一个圆心角为，面积为的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为 　　． 【分析】由题意画出图形，求出扇形的半径，得到圆锥的母线长，底面半径及高，求解即可． 【解答】解：如图所示， 设扇形的半径为，则，解得． 所以圆锥的母线长为3， 设圆锥的底面半径为，由，解得． 则圆锥的高为． 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，明确圆锥侧面展开图前后量的关系是关键，是基础题． 6．（2023秋•松江区月考）若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为，则这个圆锥的侧面积为　　． 【分析】利用直角三角形的边角关系求出底面圆的半径，再计算圆锥的侧面积． 【解答】解：圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角大小为，如图所示： 所以底面圆的半径为， 所以圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的轴截面与侧面积计算问题，是基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）高为3、底面半径为1的圆锥的体积为 　　． 【分析】直接利用圆锥的体积公式求解． 【解答】解：由圆锥的体积公式可得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式，属于基础题． 8．（2022秋•闵行区校级期末）已知一个正四面体的棱长为2，则它的高是 　　． 【分析】求出正四面体的底面面积，通过求解三角形即可求解高． 【解答】解：一个正四面体的棱长为2， 正四面体的底面上的高为：， 正四面体的高：． 故答案为：． 【点评】本题考查正四面体的性质，求解正四面体的高，是基础题． 9．（2022秋•嘉定区校级期中）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的体积为 　　． 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征求出圆锥底面圆半径和高，即可计算作答． 【解答】解：圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形， 则该圆的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为， 该圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．（2021秋•静安区校级期末）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为　18　． 【分析】画出满足题意的三棱锥图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积． 【解答】解：由题意作出图形如图： 因为三棱锥是正三棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心， 在三角中， 三角形三边长，， 则这个棱锥的侧面积． 故答案为：18． 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，棱锥的结构特征，还考查计算能力，是基础题． 11．（2022•佛山模拟）已知正三棱锥的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过的截面与棱、分别交于点、，则截面周长的最小值为 　　． 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值． 【解答】解：由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则周长为，由于两点之间线段最短， 所以当，位于如图位置时，截面的周长最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面周长的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题． 12．（2021秋•松江区校级期末）已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 　　． 【分析】设圆锥底面半径，则母线长，高，则，求出，，由此能求出结果． 【解答】解：设圆锥底面半径，则母线长，高， 则，解得，，， 该圆锥的表面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆棱的结构特征、圆锥的表面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 13．（2022秋•浦东新区校级月考）设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点，且到面，的距离分别为，，则　　． 【分析】求得四面体的高，利用，代入棱锥的体积公式可得的值． 【解答】解：如图平面，，， ， 在正四面体中，， ， ． 故答案为：； 【点评】本题考查了棱锥的体积公式及正四面体的结构特征，熟练掌握正四面体的结构性质是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 14．（2022春•杨浦区校级月考）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的圆心，、是底面圆的两条直径，且，，，为的中点． （1）求圆锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【分析】（1）根据题意，由圆锥的体积公式计算可得答案； （2）连接，由中位线定理推出，得为异面直线与所成角，再根据条件计算出，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意，圆锥中，高，底面圆半径， 则圆锥的体积； （2）根据题意，连接，则， 所以为异面直线与所成角， 因为，，又， 所以平面，又平面， 所以， 在中，，， 则，故异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及圆锥的体积计算，属于基础题． 15．（2022秋•黄浦区校级期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是，母线长为，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的高即可． 【解答】解：如图所示，圆锥的底面半径，母线长为， 在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，紧紧地箍住漏斗， 此时绳子的长度是侧面展开图的弦长， 设展开图的扇形圆心角为，则， 所以弦长， 即绳子的最短长度为． 【点评】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题． 16．（2022秋•浦东新区校级月考）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． （1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值； （2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； （3）若该锥体的体积为定值，求这三棱锥侧面与底面所成的角，使该三棱锥的表面积最小． 【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图即可求解； （2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解； （3）设为点在底面的投影，点到的距离为，利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解． 【解答】解：（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值， 由题意可得：，所以，， 由余弦定理得，， 所以质点移动路程的最小值为． （2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为， 则，解得：， ，所以， ， 所以圆锥的侧面积为， 圆锥的体积为． （3）设为点在底面的投影，设点到的距离为，于点， 则，连接，则，所以，， 因为是等边三角形，所以，， 因为，所以， 侧面积为， 所以三棱锥的表面积， 因为，所以， 所以棱锥的体积， 所以， 所以， 令，则，又，所以， 所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 取得最小值，取得最小值，此时， 所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角为时其表面积最小． 【点评】本题主要考查锥体体积的求解，锥体表面积的求解，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题． 17．（2023•徐汇区三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点． （1）若母线长为10，求圆锥的体积； （2）若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离． 【分析】（1）由已知结合勾股定理求圆锥的高，再由圆锥的体积公式进行求解； （2）取的中点，连接，得到，得到为异面直线与所成的角，再由已知求解直角三角形得答案． 【解答】解：（1）圆锥的底面半径， 若母线长为10，则圆锥的高， 圆锥的体积为； （2）取的中点，连接、， 又点为母线的中点，， 故为异面直线与所成的角，等于． 由点为半圆弧的中点，得， 在中，，，， ，且平面， 平面，又平面， ， 在中，，，． 即、两点间的距离为． 【点评】本题考查圆锥的体积以及异面直线所成角，考查运算求解能力，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$