专题18 平面向量（选填压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题18 平面向量（选填压轴题） 目录 一、向量模问题（定值，最值，范围） 1 二、向量数量积（定值，最值，范围） 8 三、向量夹角（定值，最值，范围） 14 四、向量的其它问题 18 一、向量模问题（定值，最值，范围） 1．（23-24高一下·福建厦门·期末）向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，求出，设过的圆，求出半径，设，求出、可得答案. 【详解】设，因为， 所以， 因为，所以. 设过的圆，半径为，则，， 所以， 又，所以，且垂直平分， 设，则， ，所以， 则的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是借助图形找到之间的关系. 2．（23-24高一下·四川内江·期末）已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意首先得，然后，结合约束条件可得，进一步利用三角换元、三角函数性质以及三角恒等变换即可求解. 【详解】因为向量，向量的模长均为2，且，所以， 解得， 不妨设， 所以， 因为， 所以，整理得， 设， 所以 ，其中， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最大值是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当转换约束条件得出，结合向量的模长公式即可求解. 3．（23-24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】给已知等式两边平方化简可求出和，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以，， 所以，， 因为在上的投影向量为，所以， 所以， 因为，所以和为非零向量，所以， 因为，所以， 所以，所以 所以，所以，即， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查数量积的几何意义，解题的关键是对已知等式两边平方化简后，两式相结合求出的范围，考查计算能力，属于较难题. 4．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为 ． 【答案】2 【分析】建立如图平面直角坐标系，设．根据向量数量积的坐标表示求得，进而或，分类讨论结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】令．建立如图平面直角坐标系，    不妨设． ， ，则， ． ．由，得或， 根据对称性，只研究的情况，因为，要求的最小值， 只需求，当时，， 当时，， 综上，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键是先确定出或，分情况讨论，求得. 5．（23-24高一下·四川·期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点． (1)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)正三角形，面积为 (2) 【分析】（1）根据题设判断为正三角形,再利用求出的边长即得； （2）由题意，以点A为原点建系，根据判断轨迹，并设点，将表示成关于的三角函数，结合图象即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意，因为OA = OB = OC，即点O是的外心． 又      OB⊥AC． 同理，可得OA⊥BC，OC⊥AB，即说明点O是的垂心，   所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，O是的中心． 因为,解得 由正弦定理，,解得， 故的面积为. （2） 如图，取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系， 则有． 由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆, 故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点， 所以点M的坐标为， 故 ， 因，则得, 故当，即时，取得最大值1，故的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量在判断三角形形状、求向量模长上的应用，属于难题. 解题的关键在于运用向量的线性运算、数量积运算化简等式，进而判断三角形形状；对于动点轨迹的问题，一般建系后，利用几何意义，设参数得点坐标，将相关向量用参数表示求解. 6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，. (1)若，，求与夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)若点，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接使用数量积的定义和坐标表示即可求出夹角余弦值； （2）设，并由条件证明，进而得到，再验证对任意的都存在满足的即可； （3）设，，然后直接计算可知条件等价于，再使用不等式证明，最后给出取到等号的例子即可. 【详解】（1）由于，，故. （2）设，，由于，，故 ，. 由，知. 所以，得. 对，令，则此时，. 所以的取值范围是. （3）设，. 由于，，，故. 从而，这表明条件等价于. 而在的条件下，我们有 （这一步使用了不等式，其中） ， 所以. 而当，时，有，且 . 所以的最小值是. 【点睛】方法点睛：解决的方法即是尽量借助于向量坐标计算，没有坐标的，可选设基向量，运用平面向量基本定理进行表达解决，有时还需利用函数的性质或基本不等式辅助解决. 二、向量数量积（定值，最值，范围） 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知向量，向量，且，点在以原点为圆心，2为半径的圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得为等边三角形，则或，设，然后分两种情况，再根据向量数量积的运算构造函数模型，通过函数思想求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以为等边三角形， 因为，所以或，设， 当时，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 当时，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以 综上，的取值范围是. 故选：D    【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查向量的坐标运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据题意设出的坐标，然后用坐标计算数量积，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 2．（23-24高一下·江西景德镇·期末）在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则及基本不等式求解数量积的最小值即可. 【详解】如图所示，以的中点为原点，为轴，射线为非负轴建立平面直角坐标系，    则，，，设， 不妨假设D在E的左侧，则由知，， 据此有：，，则. 因为，所以，所以， 所以，所以， 令， 则， 当且仅当即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用. 3．（23-24高一下·广西来宾·期末）等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题先算出三角形的内切圆半径和外接圆半径，由可知点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，作图并化简，利用三角形中线性质将其化成取最小值问题，结合图形使两向量反向共线即得. 【详解】 设的内切圆半径为，则由可得，， 因等边的内心为，则也为的中心， 由正弦定理， ，可得. 又，故在以为圆心，1为半径的圆上，且的轨迹在三角形内部，如上图所示，. 由 ， 若是中点，则，综上，. 要使值最小，须使最小，即需，反向共线， 由，可得， 此时，． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量的数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于结合点的轨迹特征，运用数形结合思想，将所求数量积进行转化，利用两向量反向共线时数量积最小即得. 4．（23-24高一下·重庆·期中）已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】将已知化为，可判断点在内部及其边界上，记点为的中点，将转化为，结合图形求的最大值即可得解. 【详解】因为，所以， 整理得，即， 因为，所以， 所以，点在内部及其边界上， 记点为的中点，易知，当点与重合时，取得最大值1， 则， 又，所以， 所以当点到点距离最大时，取得最大值， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以当点与点重合，且或或三点共线时， 取得最大值， 所以的最大值为 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于对已知条件得转化，根据平面向量基本定理判断点位置，然后作出图形，结合判断的最大距离即可得解. 5．（23-24高一下·天津·期末）如图，梯形且，，则 ，在线段BC上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】选一组基向量，分别表示、，由求得与的夹角即；过点作，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，分别写出的坐标，进而得到的坐标，设，分别写出、的坐标，将转化成关于的二次函数，求得取值范围. 【详解】因为，， 所以， 所以，即， 解得，因为，所以； 过点作，垂足为，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 在中，，，所以，，所以， 所以，则， 因为在线段BC上，设， 从而，， ， 因为，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 6．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则 . 【答案】 【分析】由求出，求出，根据求出，再由可得答案. 【详解】 因为中为锐角三角形，所以分别在之间， 因为，， ，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算，同角三角函数的基本关系式求解，考查整体与部分的思想. 三、向量夹角（定值，最值，范围） 1．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量不等式得到，平方得到，代入数据计算得到得到答案. 【详解】解：由，，若对任意模为2的向量，均有 可得： 可得:, 平方得到，即 故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键. 3．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 4．（2024·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，则，令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，得到，得出与的夹角为，在中，由余弦定理求得的范围，得到的范围，进而求得与的夹角的范围，得到答案. 【详解】如图所示，因为， 不妨设，则， 令，以为邻边作平行四边形， 则平行四边形为菱形，所以为等腰三角形， 所以，且， 由题意，可得与的夹角，即为与的夹角，等于， 在中， 由余弦定理可得， 解得， 又由，可得，所以， 因为，所以，即， 所以， 即向量与的夹角的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了两个向量的加法、减法的几何意义，以及余弦定理和不等式的性质的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得，根据，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得的取值范围，排除与共线时的值，由此求得的取值范围. 【详解】由题意可知. 又∵， ∴与的夹角为锐角，∴. ∵，∴. 解得或. 当时，与共线，其夹角不为锐角， 故的取值范围是. 故填：. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“与共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为与为锐角等价. 四、向量的其它问题 1．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量不等式得到，平方得到，代入数据计算得到得到答案. 【详解】解：由，，若对任意模为2的向量，均有 可得： 可得:, 平方得到，即 故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键. 3．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 4．（2024·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，则，令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，得到，得出与的夹角为，在中，由余弦定理求得的范围，得到的范围，进而求得与的夹角的范围，得到答案. 【详解】如图所示，因为， 不妨设，则， 令，以为邻边作平行四边形， 则平行四边形为菱形，所以为等腰三角形， 所以，且， 由题意，可得与的夹角，即为与的夹角，等于， 在中， 由余弦定理可得， 解得， 又由，可得，所以， 因为，所以，即， 所以， 即向量与的夹角的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了两个向量的加法、减法的几何意义，以及余弦定理和不等式的性质的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得，根据，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得的取值范围，排除与共线时的值，由此求得的取值范围. 【详解】由题意可知. 又∵， ∴与的夹角为锐角，∴. ∵，∴. 解得或. 当时，与共线，其夹角不为锐角， 故的取值范围是. 故填：. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“与共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为与为锐角等价. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 平面向量（选填压轴题） 目录 一、向量模问题（定值，最值，范围） 1 二、向量数量积（定值，最值，范围） 2 三、向量夹角（定值，最值，范围） 3 四、向量的其它问题 4 一、向量模问题（定值，最值，范围） 1．（23-24高一下·福建厦门·期末）向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川内江·期末）已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为 ． 5．（23-24高一下·四川·期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点． (1)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积； (2)求的最大值． 6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，. (1)若，，求与夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)若点，且满足，求的最小值. 二、向量数量积（定值，最值，范围） 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知向量，向量，且，点在以原点为圆心，2为半径的圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西景德镇·期末）在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为 . 3．（23-24高一下·广西来宾·期末）等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为 ． 4．（23-24高一下·重庆·期中）已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为 . 5．（23-24高一下·天津·期末）如图，梯形且，，则 ，在线段BC上，则的取值范围为 . 6．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则 . 三、向量夹角（定值，最值，范围） 1．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 4．（2024·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是 . 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为 . 四、向量的其它问题 1．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 4．（2024·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是 . 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$