专题17 解三角形（解答题压轴）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题17 解三角形（解答题压轴） 目录 一、三角形中线问题 1 二、三角形角平分线问题 3 三、三角形周长（边长）（定值） 5 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） 8 五、三角形面积（定值） 10 六、三角形面积（最值，范围问题） 13 一、三角形中线问题 1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为 ． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，且A为的内角. （1）求角A的大小； （2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长. 3．（2024高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若的面积为，求a的最小值； (2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长． 4．（2024·四川）在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角; （2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积 二、三角形角平分线问题 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在 中，点 在 边上，点 在线段 上． (1)若． ①如图1，若 ，，过 作 于点 ，直接写出 的值为 ； ②如图2，若 ，求 的值． (2)如图3，已知 为 的角平分线，，，直接写出线段 的长度． 3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC． 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 5．（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 三、三角形周长（边长）（定值） 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的内角所对的边分别为，若，且. (1)若，求； (2)点在边上且平分，若，求三角形的周长. 2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，且的面积为，求的周长． 3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积边上的中线，求的周长． 4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且． (1)证明：； (2)若，的面积为，求的周长． 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） 1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点. (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； (3)求周长的取值范围. 3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的取值范围； (2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围. 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D． (1)若，，求AD的长度； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)当时，求的值； (2)当时，求周长的最大值. 6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 五、三角形面积（定值） 1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点. (1)证明：为等腰三角形； (2)若，，，求的最小值； (3)若，，，求的面积. 2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，，，. (1)求A； (2)D为边的中点，E为边上一点，交于P. （i）若E为的中点，求的余弦值； （ii）当时，求的面积. 4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)已知点D在AC边上，且，求的面积. 5．（2024·吉林·模拟预测）的内角的对边分别是，且， (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积． 6．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，角、、所对的边分别是、、．且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积． 六、三角形面积（最值，范围问题） 1．（2024·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，. (1)求； (2)若，求面积的最小值. 2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，． (1)若，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m， m，，﹒ (1)若 m，求护栏的长度(的周长)； (2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长； (3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 4．（23-24高二上·江西景德镇·期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A的大小； （2）若，求面积的取值范围. 5．（2024高三上·全国·专题练习）中，的面积为. （1）求 （2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 解三角形（解答题压轴） 目录 一、三角形中线问题 1 二、三角形角平分线问题 5 三、三角形周长（边长）（定值） 13 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） 18 五、三角形面积（定值） 29 六、三角形面积（最值，范围问题） 38 一、三角形中线问题 1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到，再利用余弦定理与基本不等式求得最大时的值，从而得解. 【详解】取中点D，连接，则， 则， 所以，即，又，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号，此时角最大， 同时，所以， 所以边上中线长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化，得到，从而得解. 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，且A为的内角. （1）求角A的大小； （2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得，从而求得，结合三角形内角的范围，可以确定； （2）根据，可以求得，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得，进而求得，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得，利用余弦定理求得，之后应用余弦定理求得，得到结果. 【详解】（1）因为，所以，所以. 因为，所以. （2）因为，所以.又，， 所以在中，由正弦定理，可得，所以， 所以在中，. 在中，由余弦定理，可得，所以. 在中，由余弦定理，得. 所以. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目. 3．（2024高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若的面积为，求a的最小值； (2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）由和的面积为，可得，bc＝1，后由余弦定理结合基本不等式可得答案； （2）由的外接圆半径为，结合正弦定理可得.由BC的中点为E， 可得，后由余弦定理可得答案. 【详解】（1） ， 又，则， 又，则.， 又，所以， 则，解得，当且仅当b＝c＝1时取等号，故a的最小值为1； （2）由正弦定理得， 设BC的中点为E，则，两边平方得， 即① 由余弦定理得②， ①－②得，又，解得， 故的周长为． 4．（2024·四川）在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角; （2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式即可得解； （2）由正弦定理得，利用D为中点，结合向量的加法法则得，从而得到，再结合余弦定理得，进而求得三角形面积. 【详解】（1）由，得. 利用正弦定理得：， 即，化简得. ，，. 又，. （2）由正弦定理得. 设为边上的中点，则， 利用向量加法法则得： 两边平方得：，即 由余弦定理，即， 两式相减得，即. 由三角形面积公式得：. 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 二、三角形角平分线问题 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可； .（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值； （3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 化简后可得，所以， 若，则. （2）如图，设的中点分别为，连接， 则， 又，同理， 又， 即，同理， 整理得到，解得； （3）如图，为的平分线，则， 所以， 设，. 故， 因为不共线，故，所以， 因为，所以，故. 又, 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题. 2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在 中，点 在 边上，点 在线段 上． (1)若． ①如图1，若 ，，过 作 于点 ，直接写出 的值为 ； ②如图2，若 ，求 的值． (2)如图3，已知 为 的角平分线，，，直接写出线段 的长度． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定计算即可；构造平行，根据相似三角形的判定与性质计算即可； （2）构造平行线利用等腰三角形的判定与性质结合已知推出，根据勾股定理计算，再由平行线分线段成比例即可即可. 【详解】（1）①若 ，，则， 因为 ，所以， 所以，即， 易知为等腰直角三角形，则； ②如图所示，过C作交于F点，取G点满足， 根据题意有， 所以， 则，所以， 又，所以有，即， 设，则 故，解方程得， 又，所以， 故 （2）   如图过C作交延长线于F，延长交于G，连接， 则， 又平分，则， 所以， 又，所以，所以， 因为， 所以， ， 因为，所以. 【点睛】思路点睛：解三角形线段比值问题，通常需要构造相似三角形来转化线段关系，本题第一问第二小问通过构造平行线借助 “X”型相似及构造倍角关系求线段比值；第二问通过构造平行线借助平行线分线段成比例及勾股定理计算线段长度. 3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正余弦定理及两角和的正弦公式化简可得，据此求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由定理及正弦定理求解即可. 【详解】（1）由及， 有， 又由正弦定理，有， 有，有，有， 又由，可得； （2）由，有， 可得， 在△OAB中，由△OAB的面积为，有， 可得， 又由余弦定理及AB＝7，有， 有， 代入，有AO＋BO＝8， 联立解得或 由对称性不妨设 在△OAB中，有，可得， 又由OA为角A的角平分线，有， 在△OAC中，由正弦定理有，有， 可得． 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可； （2）由三角形的面积公式，可得，对向量表达式两边平方，应用基本不等式即可求得长的最小值； （3）由于，可得，由求出的值，应用基本不等式即可求出角平分线长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以； （2）（i）由（1）知，且的面积为， 由三角形的面积公式得：，解得， 由于为的中点，则，两边平方可得： 由基本不等式可得： （当且仅当时，等号取得到）， 所以，故长的最小值为； （ii）因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以， 由于（当且仅当时，等号取得到）， 故， 故，即角平分线长的最大值为. 5．（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得； （3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； （2）因为，，， 即，解得， 设边上的角平分线长为， 则，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （3）延长交于，延长交于， 设，，所以， 在中， 在中，，所以， 在中，同理可得， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、三角形周长（边长）（定值） 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的内角所对的边分别为，若，且. (1)若，求； (2)点在边上且平分，若，求三角形的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果； （2）利用面积关系可得，结合列式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可知， 则. 可得，整理可得. 由余弦定理知， 且，可得， 由知. 可知为直角三角形，所以. （2）点在边上且平分，可知， 则， 即，可得.① 又因为，即，可得.② ①代入②得到，解得或（舍去）， 所以的周长为. 2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，化简得，即， 又由，可得， 故，所以； （2）由已知可得，， 可得，化简得，，即， 又由余弦定理可得，化简得，， 联立解得， 所以的周长为 3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积边上的中线，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，进而结合三角恒等变换分析求解； （2）利用面积公式可得，根据中线性质结合数量积可得，进而结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，整理可得， 由正弦定理可得， 又因为， 即，且，则，可得， 即，且，所以. （2）因为的面积，即， 又因为为边上的中线，则， 可得， 则，即， 可得，即， 由余弦定理可得：，即， 所以的周长为. 4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且． (1)证明：； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理、两角差的正弦展开式得，可得答案； （2）令，再利用求出，可得答案. 【详解】（1）由， 可得，所以， 又由正弦定理，可得， 即，所以， 可得或，即或（舍去）， 所以； （2）因为，， 所以，，所以为等腰三角形， ， 所以， 令其中，则 ， 解得， 因此的周长为 . 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，得到，即，即可求解； （2）由（1）和余弦定理，得到，再由的面积为，求得，得到，进而求得的周长. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知，且， 根据余弦定理得，所以， 又因为的面积为，可得，所以， 所以，可得，所以的周长为. 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） 1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简得，计算即得． （2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由可得, 因为在中，所以， 即，因为，所以. （2）（i）若选条件①，结合（1）及， 由正弦定理,可得， 则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①， 若选条件②：，结合（1）及， 由余弦定理，可得，解得， 易知，故此时满足条件的三角形唯一. 所以. 若选条件③：，结合（1）及， 因为,所以为锐角, 由,可得， 因为在中 所以. 易知满足条件的三角形唯一. 由正弦定理,可得, 所以. （ii）由余弦定理， 可得， 结合基本不等式，可得， 解得：,当且仅当，原式取等. 又在中易得. 所以周长. 周长的取值范围为. 【点睛】方法点睛：在求解对边对角模型问题中的周长或面积范围时常见有2种方法： （1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性质，进行适当放缩； （2）利用正弦定理边化角，转化为三角函数求值域问题. 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点. (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算，即可求解； （2）首先用基底向量表示向量和，再结合数量积的运算律表示为函数求最值问题，即可求解； （3）首先在△QPC中，设，，，再根据正弦定理，利用三角函数表示的周长，结合三角函数恒等变换以及函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，即，故，因为为线段上一点， 设， 又，， 即，又不共线， 所以，解得，所以； （2）因为， 由（1）知，， ， 所以 ， 设， 当时，， 所以的最小值为； （3）在中，，， 在中，设，，， 在中，，即，，，， 在中，，即， ， 所以的周长． 代入上式得：． 令． ，而． 在中，，，，， ，，即， 又． ，设，则， 即，，得，即， ，设，则， 即，，得，即， ， ， 所以， 因此的周长的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的表示即运算，以及三角函数的性质和解三角形的综合应用问题，第三问是本题的难点，关键是将周长表示为关于的三角函数. 3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的取值范围； (2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求角的取值范围； （2）由三角形的面积可求得，结合余弦定理可得，计算可得或，进而可求得 的周长，设与圆内切于点，，进而分析可得的周长的取值范围. 【详解】（1） 由正弦定理得：， ，， . . ， ，， 角的取值范围是. （2）， ，即， 由余弦定理得：. ， . ， （当且仅当时取等号）， ,或. 设与圆内切于点，则. （当且仅当时取等号）. 的周长， （当且仅当时两处都取等号）. ， ， 时，，, 的周长的取值范围是. 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D． (1)若，，求AD的长度； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：由关系，结合面积公式列方程求解； 方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明，再由向量线性运算可得，两边平方结合数量积的性质可求AD的长度； （2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）方法一： 因为为的角平分线，， 所以， 因为 所以，             所以.                                                         法二：设三角形的边上的高为， 因为为的角平分线 所以， 所以， 所以， 所以.                             因为，， 所以， 所以. （2）在中，由正弦定理得， 所以，     又，则， 又 所以，又，则.                                     在中，由正弦定理得，， 所以                         因为是锐角三角形，所以，于是， 所以， 所以，从而，                     所以三角形周长的取值范围为. 5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)当时，求的值； (2)当时，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意借助于倍角公式整理得，再结合两角和差公式运算求解； （2）以内切圆为基础，设，进而可得，结合面积公式可得，结合三角恒等变换分析运算. 【详解】（1）因为，则， 可得， 又因为，则， 所以， 解得. （2）设的内切圆的圆心为，圆与边切于点，连接， 设周长为，， 可得， 由（1）可知：，即， 整理得， 可得， 根据等面积法可得， 即， 整理得， 其中， 当，即时，取到最大值， 所以周长的最大值为.    【点睛】关键点睛：本题注意到，故借助于内切球的性质建立边角关系，进而运算求解. 6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【详解】（1），由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； （2）锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 五、三角形面积（定值） 1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点. (1)证明：为等腰三角形； (2)若，，，求的最小值； (3)若，，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）设，，在中利用正弦定理表示出，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式化为的三角函数，结合正弦函数的性质计算可得； （3）设，即可求出，，由余弦定理得到，再由三角形相似得到，，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又，所以，所以，即，则， 所以为等腰三角形 （2）依题意可得是边长为的等边三角形， 在中，设，， 由正弦定理，所以， 在中， 由余弦定理 ， 因为，所以，所以当，即时， 此时，所以. （3）设，则，为锐角， 所以，， 在中，由余弦定理及可得 ， 所以， 由，且， 所以，又， 所以， 所以， 所以，， 而 ， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是转化为的三角函数，第三问关键是利用整体思想转化为、的关系式. 2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 在中由余弦定理 ； （2）在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； （3）因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到，从而结合第2小问中的结论即可得解. 3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，，，. (1)求A； (2)D为边的中点，E为边上一点，交于P. （i）若E为的中点，求的余弦值； （ii）当时，求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理即可求解； （2）（i）分解向量得，，再分别求出它们的模、数量积，结合向量夹角公式即可求解；（ii）设，由以及，可求出，再结合三点共线的向量推论得出的值即可得出面积比，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为， 所以； （2）（i）若E为的中点，D为边的中点， 则，， 从而， ， ， 所以， 所以的余弦值为； （ii）由（2）（i）可知，， 因为三点共线，所以可设， 当时， ， 所以， 所以， 因为三点共线，所以设， 因为与是共线向量，且与不共线， 所以，解得， 所以，， 所以点到的距离与点到的距离之比为， 所以的面积为. 【点睛】关键点点睛：第二问（ii）的关键是得出的值，由此即可顺利得解. 4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)已知点D在AC边上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角； （2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出的三边，由此求出其面积． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 因为，则，所以，即，故， 又，所以，故. （2）由题意设，，，由（1）得， 在中由余弦定理可得，①， 因为，所以， 即②， 联立①②，解得（负值舍去）， 则，，是等边三角形， 所以，即的面积是． . 5．（2024·吉林·模拟预测）的内角的对边分别是，且， (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可； （2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 化简得， 所以由余弦定理得，又因为， 所以. （2）如图所示 因为即， 化简得①, 又由余弦定理得即②， ①②联立解得（舍去）或， 所以. 6．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，角、、所对的边分别是、、．且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)，的面积为 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可； （2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可； （3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可 【详解】（1）由正弦定理及，得， 即，化简得，故． 又，故． （2）由（1）知，， 故 . 又，则，， 故． （3） ∵，∴，∵，为中点，∴， ∵，∴，，∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴当时，的面积为． 六、三角形面积（最值，范围问题） 1．（2024·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，. (1)求； (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出，即可求得的值； （2）分析可知、均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值. 【详解】（1）解：， . 由正弦定理得. . 因为，则， ，， 则， 所以，，即， 所以，， ，即. （2）解：由（1）得. 若，则、均为钝角，则，矛盾， 所以，，，此时、均为锐角，合乎题意， ， 当且仅当时，等号成立，且为钝角. ，则，且为锐角， 由，解得，即， 当且仅当时，等号成立， ，. 因此，面积的最小值为. 2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，． (1)若，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，的面积取最小值为 【分析】（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值. 【详解】（1）∵，，，∴，∴，∴，∴， 在中，由余弦定理可得： ，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为； （2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即， 由，得，所以，即； （3）设（），由（2）知，， 中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以 ，所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m， m，，﹒ (1)若 m，求护栏的长度(的周长)； (2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长； (3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) m； (2) m； (3)有，﹒ 【分析】(1)根据已知条件解△ABC，然后解△AMC，最后解△MNC； (2)利用“的面积的面积的倍”列出方程；在△CAN中，利用正弦定理表示出|CN|，代入前面所列方程，求得∠ACM，在△CAM中，利用正弦定理解得AM的长度； (3)用∠ACM表示出CM和CN代入，结合三角函数最值可求△CMN面积的最小值﹒ 【详解】（1）∵，，， ∴，∴，∴，∴， 在中，由余弦定理可得， 则，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴护栏的长度(的周长)为 m； （2）设()， ∵鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍， ∴，即，， 由三角形外角定理可得， 在中，由，得， 从而，即，由，得， ∴，即． 中，，由得； （3）鱼塘的面积有最小值，理由如下： 设，由(2)知，，中， 由外角定理可得， 又在中，由，得， ∴ ， ∴当且仅当，即时，的面积取最小值为﹒ 4．（23-24高二上·江西景德镇·期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A的大小； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式计算可得； （2）由已知利用三角形的面积公式可得，利用正弦定理，三角形内角和定理、三角恒等变换可得，再由的范围求出的范围，从而得到的范围，即可求出三角形的面积的取值范围； 【详解】解：（1）因为 （2）， 又由正弦定理，可得： 因为、均为锐角，解得 所以，可得 ，即 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角形面积公式的应用，三角函数的性质的应用，属于难题. 5．（2024高三上·全国·专题练习）中，的面积为. （1）求 （2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）利用求出，再利用余弦定理求即可； （2）设，在中，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，再将的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 【详解】解：（1）因为 所以， 又，所以， 由余弦定理得：， 所以； （2）设，则， 在中，由正弦定理得：， 即，所以， 在中，由正弦定理得：， 由（1）可得， 则，所以， 所以 ， 当时，， 故的面积的最小值为. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$