专题14 三角函数中参数ω的取值范围问题-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题13 三角函数中参数ω的取值范围问题 目录 一、的取值范围与单调性结合 1 二、的取值范围与对称性相结合 2 三、的取值范围与三角函数的最值相结合 3 四、的取值范围与三角函数的零点相结合 4 五、的取值范围与三角函数的极值相结合 5 一、的取值范围与单调性结合 1．（2024·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-24高三上·湖南益阳·期末）已知函数，为图象的一个对称中心，为图象的一条对称轴，且在上单调，则符合条件的值之和为 . 5．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为 ． 二、的取值范围与对称性相结合 1．（2024·全国·二模）已知函数满足，，且在单调递减，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数，其导函数为且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满足，且对任意角在区间上均不是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，，且函数在区间上单调递增，则的值为 ． 三、的取值范围与三角函数的最值相结合 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的取值可以是（    ） A．7 B．3 C．5 D．11 2．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数（其中）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是 . 5．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 四、的取值范围与三角函数的零点相结合 1．（2024·陕西渭南·三模）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川达州·期中）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 7．（23-24高一下·江西景德镇·期中）设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为 . 8．（2024·陕西西安·二模）已知函数，若，，且在区间上没有零点，则的一个取值为 ． 9．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调，且满足 ；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ． 五、的取值范围与三角函数的极值相结合 1．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（    ） A．8 B．7 C． D． 2．（2024·山西晋城·一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为 ． 3．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 . 4．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为 . 5．（2024·四川成都·模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是 . 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，圆的方程为，若在圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则的取值范围是 . 7．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是 . 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上至少有个不同的极小值点，则的取值范围是 ． 9．（2024高三上·全国·专题练习）若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 三角函数中参数ω的取值范围问题 目录 一、的取值范围与单调性结合 1 二、的取值范围与对称性相结合 6 三、的取值范围与三角函数的最值相结合 13 四、的取值范围与三角函数的零点相结合 18 五、的取值范围与三角函数的极值相结合 27 一、的取值范围与单调性结合 1．（2024·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解． 【详解】因为 ， 又因为，且，则， 若在上单调递增， 所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调， 所以的周期，所以， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的图象与性质进行求解即可. 【详解】法一:由题 ，令，， 因为，所以，， 因为在上单调递增，所以且， 得．由，得， 又且，所以，. 故选:C. 法二:由题 ， 由，得， 设的最小正周期为T，则由题意得，所以， 从而，结合函数在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得. 故选:C. 3．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，确定的取值，解得，令，结合已知条件根据的单调区间，取值情况得到关于的不等式，求解即可. 【详解】    因为函数的图象关于原点对称， 所以，又因为，所以， 所以； 令，因为，则，即， 的减区间为， 又在区间上是减函数， 所以是区间的子集， 因为，所以，， 只有时区间是由负到正，所以有： ，，解得； 因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点， 相当于，在上只有一个最小值， 所以有：，，解得； 综上取交集有：，解得. 故选：D 4．（24-24高三上·湖南益阳·期末）已知函数，为图象的一个对称中心，为图象的一条对称轴，且在上单调，则符合条件的值之和为 . 【答案】 【解析】先由对称中心和对称轴求出的所有值，再结合在上单调，确定的范围，从而求出的可能值，逐个验证是否满足条件，即可得出结论. 【详解】由题意可得，， 即，，所以，， 又因为在上单调， 所以，即， 令，，所以当时，， 因为为图象的一条对称轴， 所以，，即，， 又因为，所以，此时， 易知在上单调递减，符合条件； 当时，，因为为图象的一条对称轴， 所以，，即，， 又因为，所以，此时， 易知在单调递增，符合条件； 当时，，因为为图象的一条对称轴， 所以，，即，， 又因为，所以，此时， 易知在上单调递减，符合条件. 综上，符合条件的值之和为. 故答案为:. 【点睛】本题考查由三角函数的性质确定参数，三角函数的对称中心和对称轴与三角函数周期的关系是解题的关键，属于难题. 5．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】由题意可得，故有一条对称轴为，所以，可得.时，，无整数解；时，均为整数解，时， 【详解】解：与关于对称， 故有一条对称轴为， 所以，， 故存在，满足. 时，，无整数解；时，均为整数解， 时，. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求参数，综合性大，后分k的情况讨论时解题的关键. 二、的取值范围与对称性相结合 1．（2024·全国·二模）已知函数满足，，且在单调递减，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据题目条件得函数对称性，根据对称性求出和的表达式，然后根据单调性确定的范围，然后代入和的值验证即可. 【详解】因为，所以的图像关于对称， 所以①， 又，即，且在单调递减， 所以的图像关于点对称， 所以②， ①+②得，即， 又，所以或， ②-①得，即，为正奇数， 由在单调递减得， 所以，所以，又为正奇数，则或， 当时，，此时无整数解，所以， 所以，当时，， 此时在单调递减，符合条件， 故的值可以为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：对于已知三角函数的性质求参数范围的问题，正常情况下对称性比较好处理，关键是通过性质确定的取值范围，本题就是通过单调性确定周期的范围，进而得到的范围. 2．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解. 【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即，即， 解得，而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解. 3．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案. 【详解】因为，故时，函数取到最大值， 又，可知为的对称中心， 故， 故； 又在上单调，故， 即， 结合选项，当时，，时，函数取到最大值， 故，则， 结合，没有符合题意的值，不合题意； 当时，，时，函数取到最大值， 故，则， 结合，没有符合题意的值，不合题意； 当时，，时，取到最大值， 故，则， 结合，可得，则， 由，得， 由于在上不单调，故在上不单调，不合题意； 当时，，时，取到最大值， 故，则， 结合，可得，则，满足为的对称中心， 由，得， 由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意； 故 故选：A 【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍. 4．（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数，其导函数为且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满足，且对任意角在区间上均不是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数满足的条件可得的解析式，根据对称性及正弦函数的零点、单调性可得的取值范围. 【详解】因为，故， 故，而，故， 故，故. 由可得的图象关于点对称， ，即，其中. 当时，， 因函数在上的前5个零点依次为， 可得，解得， 又在上不是单调函数，，解得， 综上. 故选：B. 【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，应该利用整体法先求出整体的范围，再结合正弦函数的性质可得整体的性质. 5．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】15 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，即可求解. 【详解】因为，所以，所以的一个对称中心为， 因为，所以，所以的对称轴方程， 有，所以，因为，所以， 因为在上单调，且求的最大值，所以，解得，因为，，所以的最大值为15. 故答案为：15 【点睛】思路点睛：解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，，且函数在区间上单调递增，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据函数在区间上单调递增得到的大致取值范围，再根据，得到函数图象的对称性，利用正弦函数的图象与性质分情况求解的值并验证，即可得解. 【详解】设函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调递增， 所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称， 由知的图象关于点对称． ①由，得，即， 解得，又，故， 当时，所以，则，即，又，所以， 故，，满足函数在区间上单调递增； ②由，得，即， 解得，又，故， 当时，所以，则， 即，又，求得，故， 因为，不满足函数在区间上单调递增． 故． 故答案为：3. 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据，得到函数图象关于直线对称，关于点对称．利用正弦函数的图象与性质分和两种情况讨论，求解的值并验证. 三、的取值范围与三角函数的最值相结合 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的取值可以是（    ） A．7 B．3 C．5 D．11 【答案】A 【分析】依题意可得，即可得到，再由在区间上有最小值无最大值求出，从而确定的可能取值，再代入检验即可. 【详解】因为为的零点，所以， 所以，①； 又恒成立，所以， 所以，②； ①②得，，所以，， 又，所以，解得， 又在区间上有最小值无最大值，所以，所以，解得， 所以的可能取值为、、、、、， 当时，由，且， 所以，所以， 又，当在上单调递增，故不存在最值，不符合题意； 当时，由，且， 所以，所以，显然，不符合题意； 当时，由，且， 所以，所以， 又，当，则， 当，即时取值最小值， 所以在区间上有最小值无最大值，符合题意； 当时，由，且， 所以，所以，又，不符合题意； 当时，由，且， 所以，所以， 又，当，则， 当，即时取值最小值， 所以在区间上有最小值无最大值，符合题意； 当时，由，且， 所以，所以，又，不符合题意； 综上可得或. 故选：A 2．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题. 解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得. 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据是函数的最小值求出与间的等量关系，进行消元，再结合在给定区间上恰有两个最值的条件建立不等关系，建立不等关系时，要注意结合三角函数的图像，特别注意端点值的取舍． 【详解】因为，所以， 所以，，即，， 所以． 当时，． 因为在区间上恰有两个最值，且， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件建立不等关系，特别注意端点值的取舍． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数（其中）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，计算可得. 【详解】由题意可得：的最小正周期， ∵，且， 则为的一条对称轴， ∴，解得， 又∵，则，， 故， ∵，则， 若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值， 则，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 所得函数图象对应的解析式为， 则当， 即时，在上至少存在两个最值点，满足题意； 当时，，所以（）， 解得（）．当时，解集为，不符合题意； 当时，解得；当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】三角函数图象变换，首先要看是变还是变，平移变换中：变是“左加右减”，变是“上加下减”.伸缩变换中，如：由变换为，则是缩小为原来的倍；如变为，则是放大为原来的倍. 四、的取值范围与三角函数的零点相结合 1．（2024·陕西渭南·三模）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围． 【详解】由题意可得： ， 由可得， 因为，，则， 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 故选：D． 【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，结合选项，确定的取值范围，根据正弦函数的性质验证函数是否有3个零点且满足即可. 【详解】. A：当时，， 由，得，函数有3个零点； ， 所以，不符合题意，故A错误； B：当时，， 由，得，函数有3个零点； ， ， ， 所以，符合题意，故B正确； C：当时，， 由，得， 函数不止有3个零点，不符合题意，故C错误； D：当时，， 由，得， 函数不止有3个零点，不符合题意，故D错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定的取值范围是解决本题的关键. 3．（23-24高一下·四川达州·期中）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数进行三角恒等变换化成正弦型函数，再将看成整体角，依题求得的范围，结合的图象，按要求即得，解之即得. 【详解】由， 设，由可得， 如图作出函数在上的图象. 由图，要使函数在上只有一个零点和两个最大值点， 需使，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换和正弦型函数得性质应用，属于难题. 解题关键在于，将函数化成正弦型函数后，必须将其中的辐角看成整体，求出其范围，结合正弦型函数（余弦型函数）的图象解决. 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将问题转化为研究在任意一个长度为的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移， 从而研究函数在区间上的零点问题， 即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题， 令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，， 则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，， 故相邻三个零点之间的距离为，相邻四个零点之间的最小距离为， 所以要使函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点， 则需相邻三个零点之间的距离不大于，相邻四个零点之间的最小距离大于， 即，解得，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在. 5．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【详解】 ， 令，有，解得， 令，解得， 方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又， 所以，或， 解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用间接法得到区间内不存在整数，从而得解. 7．（23-24高一下·江西景德镇·期中）设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据函数的零点和对称轴得到，从而得到；再根据函数在区间上单调得到，从而得到；进而可得然后再验证时函数在区间上不单调，从而得到. 【详解】因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图象的一条对称轴， 所以，所以，所以； 因为函数在区间上单调， 所以，即，所以，所以， 又因为，所以 当时，，，， 又因为，则所以， 又，则， 所以函数在区间上不单调，所以舍去； 当时，，，，， 又因为，则所以. 又，， 所以函数在区间上单调，所以. 故答案为：. 8．（2024·陕西西安·二模）已知函数，若，，且在区间上没有零点，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一）. 【分析】 根据可得，根据在区间上没有零点可得范围，即可求出的取值有几个. 【详解】 由题意，在中，， ∴ ,所以， 两式相减得， 所以，即，， 因为，所以 ， 令， ， 由题意知在上无零点， 故，， 所以，即， 两式相加得，所以， 又， 所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， 所以的取值有5个，取其中一个填写即可. 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用其在上五零点，从而得到，解出，再根据题目所给条件代入得到，赋值即可. 9．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调，且满足 ；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 0 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有5个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题综合考查了三角函数单调性、周期以及对称性的应用，解答的关键在于第二空的求解时，要根据零点的个数，结合正弦函数的性质，列出关于参数的不等式，从而求解答案. 五、的取值范围与三角函数的极值相结合 1．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（    ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到，进而得到，求得，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点， 可得，即，其中， 因为，当时，当时， 因为在区间内有唯一的极大值点，所以， 解得，即，所以， 当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去； 当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去； 当时，，此时，此时有一个极大值点， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（2024·山西晋城·一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解. 【详解】 令，，得的极大值点为，，则存在整数，使得， 解得． 因为函数在两个相邻的极大值点之间有两个零点， 所以． 当时，．当时，． 当时，．又， 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出并赋值计算是解决问题关键. 3．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的最值点可得，并结合x的取值范围分析求解. 【详解】若函数在区间上有且仅有一个极值点， 即数在区间上有且仅有一个最值点， 则，解得， 故函数的最值点为. 不妨设在区间上仅有的一个最值点为， 则，即， 则，得， 解得，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识 （1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式． （2）整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解； （3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论. 4．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为 . 【答案】13 【分析】利用辅助角公式化简的表达式，确定，结合求得以及的表达式，结合其平方和为1求得m的值，即可求得，从而可得的表达式，继而求得答案. 【详解】由题意得，（为辅助角）， 由题意知， 为函数的极大值点，故， 即，故， 即， 因为， 故，即， 所以， 由于，故， 解得（），故， 则或， 即或， 则实数的最小值为13， 故答案为：13 【点睛】方法点睛：解答此类有关三角函数性质类的题目，要能综合应用三角函数性质，比如周期，最值以及对称性等，求得参数的通式，再结合其他性质即可求解答案. 5．（2024·四川成都·模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意首先求出的大致范围，进而确定的范围，根据题意结合正弦函数可得，即可求出ω的取值范围. 【详解】设函数的最小正周期为， 由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点， 则，则， 注意到，解得， ∵，则， 由题意可得：，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： （1）根据正弦型函数的性质估算的范围； （2）求的范围，结合正弦函数的图象与性质列式求解. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，圆的方程为，若在圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】易得直线与圆交于，两点，其中，，，则问题转化为：求恰有三个极值点落在区间内的的范围. 换元之后数形结合可求解. 【详解】依题意可知，的最值为，如图作出直线，与圆交于，两点，由圆的半径为5易得，，要使圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则需恰有三个极值点落在区间内，令，则，故只需考虑在内恰有三个极值点，设这三个极值点分别为，，，，则有得又，因为.当时无解；当时，；当时，；当时，由于恒成立，因此无解. 综上可知，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解关于三角函数的相关问题时，有时会用进行整体代换，将函数转化为进行处理. 7．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设得，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得或且，即可求的范围. 【详解】， ∴上，没有极值点， ∴或， ∴或，而且得：， ∴，或. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换化简函数式，由区间内不存在极值点列不等式组求参数范围. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上至少有个不同的极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，由可求得，分和两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，可求得实数的取值范围. 【详解】设，由，可得， 作出的图象如下： ①当时，即当时，若使得函数在区间上至少有个不同的极小值点，则，解得，此时； ②当时，即当时，要使得函数在区间上至少有个不同的极小值点，则，解得. 当时，，， 此时函数在区间上恰有个极小值点； 当时，， 此时，函数在区间上至少有个极小值点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】在利用正弦型函数在区间内的极小值点个数求的取值范围时，要求出的取值范围，结合图象得出关于的不等式是解题的关键. 9．（2024高三上·全国·专题练习）若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为 【答案】 【解析】先通过函数在存在极值点，求出的范围，再根据在单调，求出和之间的不等关系，再结合已求出的的范围，得最终的范围. 【详解】解：因为函数在存在极值点，所以，即， 当，又在单调， 所以，即， 解得，只能取，即， 综上，， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于和之间的不等关系，是中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$