第01讲 基本不等式 (8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第01讲 基本不等式 目录 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 1 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 4 题型三：重点考查利用基本不等式求最值 7 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 9 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 11 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 14 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 17 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 21 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一上·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 例题3．（多选）（22-23高一上·广东珠海·期中）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式成立的充要条件是 ． 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．23-24高二下·陕西宝鸡·期中）不等式：①；②；③；④，其中恒成立的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 例题2．（多选）（22-23高二下·河南商丘·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·福建莆田·期末）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·广东珠海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：重点考查利用基本不等式求最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京丰台·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）的最小值等于 ，当且仅当 时等号成立． 精练核心考点 1．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 例题3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）当时，函数的最小值为 . 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）函数的最小值为 ． 2．（2024高一·上海·专题练习）若，则函数的最小值为 . 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 典型例题 例题1．（2024·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 例题3．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 精练核心考点 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）若实数满足，则的最大值为（    ） A． B．8 C．3 D．4 3．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知，且，则的最小值是 . 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 例题2．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为 . 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 典型例题 例题1．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 精练核心考点 1．（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若对任意，恒成立，求的取值范围． 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 例题2．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 . 例题3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    精练核心考点 1．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 2．（24-25高一上·上海·课后作业）运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 基本不等式 目录 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 1 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 4 题型三：重点考查利用基本不等式求最值 7 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 9 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 11 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 14 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 17 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 21 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 例题2．（多选）（23-24高一上·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 例题3．（多选）（22-23高一上·广东珠海·期中）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【答案】BD 【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误. B.由于，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C.， 但无解，所以等号不成立，所以C选项错误. D.由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BD 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式，重要不等式，判断各选项正误即可. 【详解】对于A选项，由基本不等式，当时，有，当且仅当时取等号，故A错误. 对于B，当时，由基本不等式，，当且仅当时取等号.故B错误. 对于C，因，则，故C错误. 对于D，当时，，当且仅当时取等号. 当时，，当且仅当时取等号. 则时，.故D正确. 故选：D 2．（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，故等号不成立，所以，，D对. 故选：BCD. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式成立的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式成立的条件即可求解. 【详解】必要性：由于同号，又可得同为正数， 进而可得， 充分性：若，则同为正数，故， 故不等式成立的充要条件是， 故答案为： 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．23-24高二下·陕西宝鸡·期中）不等式：①；②；③；④，其中恒成立的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据基本不等式和作差比较法，即可判定，得到答案. 【详解】①, 不能恒成立,； ② 恒成立； ③当时，，当时，不成立； ④时，，当且仅当，即时，等号成立，故④恒成立. 故选：B. 【点睛】本题考查作差法比较大小及基本不等式应用，其中解答中熟记基本不等式的"一正、二定、三相等"，以及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题. 例题2．（多选）（22-23高二下·河南商丘·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用赋值法可判断A项，运用基本不等式可判断B项，运用作差法可判断C项，运用不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，取，则，故A项错误； 对于B项，因为，所以，又因为，则，故B项正确； 对于C项，，所以，故C项正确； 对于D项，因为，所以，又因为，所以，故D项正确. 故选：BCD. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·福建莆田·期末）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B，C；利用作差法可比较的大小，判断A，D. 【详解】由于，则， 故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意； 由于， 当时，，， 故， 即，故不可能是最大值，A符合题意， 故选：ABC 2．（多选）（23-24高一上·广东珠海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用作差法判断A；利用特值法判断B，利用不等式的性质判断C；利用不等式的性质及基本不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A正确； 取，则，此时，故B错误； ∵，∴，故C错误； ∵，，∴， ∴，故D正确. 故选：AD. 题型三：重点考查利用基本不等式求最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京丰台·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式变形求解． 【详解】∵， 所以，当且仅当时等号成立， ，所以，当且仅当时取等号， 故选：C． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）的最小值等于 ，当且仅当 时等号成立． 【答案】 6 5 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由可得，故，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6，5 精练核心考点 1．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 2．（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出最小值及取最小值时的值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，即. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 例题2．（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，将转化为关于的分式，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）当时，函数的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】5 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】． ，， （当且仅当，即时取等号）， ． 故答案为：5． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．（2024高一·上海·专题练习）若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 典型例题 例题1．（2024·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意知为正数，且， 所以，化简得，解得， 当且仅当时取等号，所以，故A正确. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】由，得，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 例题3．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 精练核心考点 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形得到且，从而得到，故，利用基本不等式求出最小值，得到答案. 【详解】因为，且，所以， 又，故， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故选：A 2．（2024·四川·模拟预测）若实数满足，则的最大值为（    ） A． B．8 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知等式结合基本不等式计算即可. 【详解】，所以， 解得，当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选:D. 3．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知，且，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】将条件等式因式分解可得，然后将待求式子通分并结合基本不等式可求解出最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为， 故答案为：. 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先变形：，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法，根据分类讨论和基本不等式求出范围，即可得解. 【详解】因为，且，显然有，， 所以，有，有，有， 若恒成立，而， 又①， 当有，当有， 此时趋向于1或2时，①式趋向于负无穷，故无解； 当有， ①式 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 综上，无解 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值． 【详解】令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：12. 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 典型例题 例题1．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解. 例题2．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 例题3．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解. 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 精练核心考点 1．（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【详解】因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，为正实数且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数，都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题知可将式子构造为：，然后利用基本不等式从而求解. 【详解】因为，所以， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意得，再利用基本不等式即可求得其最大值，进而即可求得的取值范围． 【详解】由， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故的取值范围为． 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 例题2．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 . 【答案】 （其中，），或， / 【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围； （2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减， 所以满足的关系式为（，）或，；    方案1：设游泳池的面积为， 由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以； 方案2：设游泳池的面积为，取的中点， 连接，，设，，在中，， 则，解得，当且仅当时取等号， ， 而， 所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为. 故答案为：（，），或，； 【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键. 例题3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【答案】 【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由题意米， 则直角梯形花坛的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，直角梯形花坛的面积最大． 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 【答案】当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元 【分析】结合题意列出解析式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】行车所用时间，根据汽油的价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元. 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$