2.2 基本不等式（九大重点题型精练）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学重点•题型（人教A版必修第一册）

2.2 基本不等式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 由基本不等式比较大小 1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】先求出，，，然后利用基本不等式比较大小即可. 【详解】由题意可得，，，，且， 由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ，所以， 所以. 故选：B 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 3．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 4．（23-24高一上·上海宝山·阶段检测）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】求得关于的表达式，结合基本不等式比较出两者的大小. 【详解】依题意， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 6．甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则__车先到达地． 【答案】甲 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】分别求出甲、乙车到达指定地点的时间为、，作商后利用基本不等式即可比较出、的大小. 【详解】解：设两地的路程为1，那么甲车到达指定地点的时间为，则，； 乙车到达指定地点的时间为，则，； ，（当且仅当时不等式取“”； ，由知；故答案为：甲． 重难点题型2 基本不等式求和的最小值 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】，当且仅当等号成立. 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 6．（24-25高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【难度】0.84 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 7．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）函数的最小值为______． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值为． 重难点题型3 基本不等式求积的最大值 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 3．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 4．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】对所求式子变形，将，代入原式得：，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ， 则， 当，即，且等号成立， 解得，均满足， 因此的最小值为. 5．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【难度】0.73 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 6．（25-26高一上·天津·期末）已知，若，则的最大值为___________． 【答案】/0.0625 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 又，所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 7．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 8．已知，则的最大值是___________． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1 9．（25-26高一上·天津·开学考试）已知，求的最大值______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】先配凑，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 10．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，则的最大值是______ 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】借助基本不等式计算即可得结果. 【详解】由可知，则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 11．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 重难点题型4 基本不等式-配凑法 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 2．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 5．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 6．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，且，则的最小值为_____． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】通过对已知条件变形，凑出乘积为定值的形式，再用基本不等式求解. 【详解】由，得：，即，则， 由且，可知、，因此、. 所以 当且仅当，即，结合， 解得，时取等号. 因此，的最小值为. 7．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值、对勾函数求最值 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 8．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 重难点题型5 基本不等式-1的代换法 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 5．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 6．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 7．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.78 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 8．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 9．（2020·西藏山南·一模）已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 10．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【详解】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 11．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【难度】0.76 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 重难点题型6 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 3．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 4．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】将问题转化为，进而根据基本不等式求的最小值即可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为. 故选：C 5．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】先由基本不等式常数代换法求出的最小值情况，再由恒成立即可得解. 【详解】、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 故选：C 6．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 7．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 8．（25-26高一上·天津河北·期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】先利用常数代换，使用基本不等式求得,再根据不等式恒成立的意义得到答案. 【详解】由已知，, 当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以, 因为恒成立，所以,解得, 故答案为： 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】令，则，，，当且仅当时不等式取等号，即时取等号，所以，则. 【详解】令，因为，所以， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当，即时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故的最大值为3. 故答案为：3 11．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】因为，所以根据基本不等式及不等式的性质可得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 重难点题型7 基本不等式的实际应用 1．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 2．（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 4．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 5．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的实际应用 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 7．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 8．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【难度】0.65 【知识点】函数、基本不等式的实际应用 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 重难点题型8 证明不等式 1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明：由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 3．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2） ． 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 4．（25-26高一上·新疆·开学考试）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：的充要条件是； 参考公式： 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式证明； （2）应用充分必要性定义，结合不等式性质判断推出关系，即可证. 【详解】（1），，当且仅当时，等号成立. （2）充分性：因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； 必要性：由， 又，故，即，必要性成立； 综上，的充要条件是. 5．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知正实数，，满足． (1)若，求证：． (2)若对任意的正实数，，恒成立，求正整数的可能取值． (3)将（2）的不等式进行推广，正整数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】(1)证明见解析； (2)或2或3； (3). 【难度】0.4 【知识点】基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式的乘“1”法即可求解， （2）（3）分离常数，然后利用基本不等式，求解最值. 【详解】（1）证明：由于，，均为正数， ． 当目仅当，即时等号成立， 而，显然等号取不到，故； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 可变形为，所以． 又，所以或2或3． （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，即． 所以当正整数满足时，不等式恒成立． 6．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 【答案】（1） ， 将三式相乘得，， 当且仅当，时等号成立． （2）①， 因为，所以， 所以， 即． ②因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又． 所以， 所以原不等式成立． 重难点题型9 综合应用 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 3．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，则的 （　　） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值 【分析】由题可得，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意知，则， 又由， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为. 故选：A. 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 6．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【难度】0.45 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 7．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【难度】0.42 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 由基本不等式比较大小 1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 3．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海宝山·阶段检测）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 6．甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则__车先到达地． 重难点题型2 基本不等式求和的最小值 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为 ________________ ． 7．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）函数的最小值为______． 重难点题型3 基本不等式求积的最大值 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 3．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 5．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 6．（25-26高一上·天津·期末）已知，若，则的最大值为___________． 7．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 8．已知，则的最大值是___________． 9．（25-26高一上·天津·开学考试）已知，求的最大值______． 10．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，则的最大值是______ 11．设，则的最小值为_____________． 重难点题型4 基本不等式-配凑法 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 5．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 6．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，且，则的最小值为_____． 7．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 8．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________. 重难点题型5 基本不等式-1的代换法 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 7．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 8．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 9．（2020·西藏山南·一模）已知，，且，则的最小值是______. 10．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 11．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 重难点题型6 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 6．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 7．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 8．（25-26高一上·天津河北·期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 10．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 11．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 重难点题型7 基本不等式的实际应用 1．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 5．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    7．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 8．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 重难点题型8 证明不等式 1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 3．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 4．（25-26高一上·新疆·开学考试）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：的充要条件是； 参考公式： 5．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知正实数，，满足． (1)若，求证：． (2)若对任意的正实数，，恒成立，求正整数的可能取值． (3)将（2）的不等式进行推广，正整数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 6．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 重难点题型9 综合应用 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 3．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，则的 （　　） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 6．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 7．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $