1.4 用一元二次方程解决问题（第2课时，销售利润与图表问题）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第二课时 销售利润与图表问题 1.4 用一元二次方程解决问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握建立数学模型以解决销售问题和图表问题. （重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. （难点） 情景导入 商场中有一批过季的衣服需要处理，卖场经理要如何在兼顾成本与利润的考虑下定出一个比较合适的价格呢？ 情景导入 我们该如何从这些图表中提取自己需要的信息进行分析运算得出需要的结论呢？ 列一元二次方程解决实际问题的步骤？ ①审题， ②设出未知数， ③找等量关系， ④列方程， ⑤解方程， ⑥验根， ⑦结论作答. 旧知回顾 利用一元二次方程解决销售利润问题 新知探究 问题：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出 2 件. 如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 首先我们先来分析一下， 设衬衫的单价降了x元，则商场平均每天可多售出2x件衬衫，每件衬衫盈利（40-x）元. ①审题 解：设衬衫的单价降了x元. ②设出未知数， 根据题意，得 （20 +2x）（40-x）= 1 250， ④列方程， 即 x²—30x+225 = 0. ⑤解方程， 解这个方程，得 = 15. 答：衬衫的单价降了 15 元. ⑦结论作答. 审题、找等量关系、验根 的过程在草稿纸上作出， 不在答题中说明 例1.小镇花圃用花盆培育郁金香幼苗,在经过试验后发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的比例关系. 当每盆植入3株时,平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株? 典例剖析 这个问题应该设什么为x? 有几种设法呢? 如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？ 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程,得 x1=1, x2=2. 经检验，x1=1 , x2 = 2 都符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株. 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.根据题意,得. (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 1.百货商场某电子产品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，百货商场决定采取适当的降价措施引流．经调查发现，这件商品每降价1元，百货商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答下列问题： (1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？ 2x （50－x） 练一练 解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元．根据题意，得 (50－x)(30＋2x)＝2 100， 化简，得x2－35x＋300＝0， 解得x1＝15，x2＝20. 答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2 100元． 2.电器商城中销售某种智能冰箱,每台冰箱进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.电器商城要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,则这台冰箱的单价应定为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5000元. 练一练 解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得 整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程,得： x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 利润问题常见关系式 (1)利润＝售价－________； (2)利润率＝ ×100%； (3)总利润＝____________×销量 进价 单个利润 概念归纳 利用一元二次方程解决图表问题 新知探究 根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能根据以上信息确定参加这次旅游的人数吗？ 分析：由800×30=24 000<28 000，可知参加这次旅游的人数（x）大于30，人均收费降低10（x-30）元，于是可列出方程求解，但考虑到人均收费应不低于550元，因而必须检验求得的解是否符合题意 解：设参加这次旅游共有x人，由800×30=24000<28 000，可知x>30，人均收费为[800-10（x-30）]元. 根据题意，得 x·[800-10(x-30)]= 28 000. 整理，得 x²-110x+2 800 = 0. 解这个方程，得 40， 70. 当x=40时，800-10（x-30）=800-10（40-30）=700>550. 当x=70时，800-10（x-30）=800-10（70-30） =400<550（不合题意，舍去）. 答：参加这次旅游共有 40 人. Tips：解此类题目要注意审题，理清关系设求未知数，并且一 定要注意解出来的结论需要经过验算是否符合题意. 销售量y/千克 ··· 34.8 32 29.6 28 ··· 售价x/(元/千克) ··· 22.6 24 25.2 26 ··· 典例剖析 A 随堂练 C C 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 D 分层练习-基础 A 分层练习-基础 10% 880 10 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 C 5% 分层练习-巩固 100 25 分层练习-巩固 26 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 建立一元二次方程方程 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程方程解决实际问题的步骤： 答 课堂小结 例2.在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系． 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 由题意得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋80. 当x＝23.5时，y＝－2×23.5＋80＝33. 答：当天该水果的销售量为33千克． 解：根据题意，得(x－20)(－2x＋80)＝150， 解得x1＝35，x2＝25. ∵20≤x≤32， ∴x＝25. 答：该天该水果的售价为25元/千克． 1．(辽阳中考)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( ) A．1000(1＋x)2＝1000＋440 B．1000(1＋x)2＝440 C．440(1＋x)2＝1000 D．1000(1＋2x)＝1000＋440 2．小明在暑假期间参加社会实践活动，他以相同的价格200元卖出两件不同类型的衣服．其中一件赚了20%，另一件亏了20%，那么他( ) A．不赚不亏　　　　　 B．赚了16．7元 C．亏了16．7元 D．亏了20元 3．某服装店将进价为30元的内衣以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件．为实现每月利润8000元，设定价为x元，则可得方程( ) A．300(x－30)＝8000 B．300(x－50)＝8000 C．(x－30)[300－(x－50)]＝8000 D．x－30＝8000 4．将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去边长为x的4个小正方形，剩余部分的面积为12，则剪去小正方形的边长x为　 　． eq \r(2) 5．某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间为一次函数关系，如图所示． (1)求y与x的函数表达式； (2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？ 解：(1)当0＜x＜20时，y＝60；当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，将(20,60)、(80,0)代入，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(60＝20k＋b,0＝80k＋b))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝80))∴y＝－x＋80， ∴y与x的函数表达式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(60 0＜x＜20,－x＋80 20≤x≤80))； (2)若销售利润达到800元，则(x－20)(－x＋80)＝800，解得x1＝40，x2＝60． 答：要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元． 6．(安徽中考)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( ) A．16(1＋2x)＝25　　　　 B．25(1－2x)＝25 C．16(1＋x)2＝25 D．25(1－x)2＝16 7．如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果道路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( ) A．(20－x)(32－x)＝540 B．(20＋x)(32－x)＝540 C．(20－x)(32－x)＝100 D．(20－x)(32＋x)＝540 8．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32．4元．若该商店两次调价的降价率相同，则这个降价率为 ．经调查，该商品每降价0．2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品 件． 9．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n＝ ． 10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的25%，商品计划要赚400元．需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？ 解：根据题意，得(a－21)·(350－10a)＝400，整理得a2－56a＋775＝0，解得a1＝25，a2＝31，∵a≤21×125%＝26.25，∴a＝25，此时350－10a＝100(件)． 答：需要卖出100件商品，每件商品售价为25元． 11．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 解：(1)若降价3元，则平均每天销售数量为20＋2×3＝26(件)； (2)设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x＝20应舍去，∴x＝10． 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 1．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡72张，则这个小组共(　　) A．12人　 B．18人　 C．9人　 D．10人 2．李先生将10000元存入银行，存期为一年，到期后取出2000元购买电脑，余下的8000元及利息又存入银行，到期一年后本息和是8925元．如果存款利率不变，则年利率是 (不考虑利息税)． 3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.若商店计划要赚400元，需要卖出 件商品，每件商品应售价为 元． 4．(盐城中考)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 解：(1)若降价3元，则平均每天销售数量为20＋2×3＝26件．故答案为26；　 (2)设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得 (40－x)(20＋2x)＝1200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，解得x＝10.答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 5．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 解：(1)设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，根据题意得10 000(1＋x)2＝12 100，解得x1＝10%，x2＝－2.1(舍)； (2)第四天收到的捐款为12 100×(1＋10%)＝13 310(元)． 6．(眉山中考)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 解：(1)(14－10)÷2＋1＝3． 答：此批次蛋糕属第三档次产品； (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得(2x＋8)×(76＋4－4x)＝1080，整理得，x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 7．(重庆中考)在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍． (1)按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？ (2)到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1∶2.为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%、5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%、8a%，求a的值． 解：(1)设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建(50－x)个垃圾集中处理点，根据题意，得x≥4(50－x)，解得x≥40.答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池；　 (2)修建每个沼气池的平均费用为78÷[40＋(50－40)×2]＝1.3(万元)，修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2＝2.6(万元)．根据题意，得1.3×(1＋a%)×40×(1＋5a%)＋2.6×(1＋5a%)×10×(1＋8a%)＝78×(1＋10a%)，设y＝a%，整理得50y2－5y＝0，解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝0.1，∴a的值为10. 会运用一元二次方程解决销售利润问题． 【例2】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了尽快销完，更换经营项目，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租成本是24元，该经营户要想每天赢利200元，应定价多少元？ 【思路分析】　本题考查用一元二次方程解决实际问题，题中的相等关系为：每千克小型西瓜的盈利额×售出数量－每天成本＝每天盈利额(200元) 运用一元二次方程解决复杂图表问题． 【例】天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)： 某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？ 【思路分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围(即是否超过25人)，然后根据“每人的旅游费用×人数＝总费用”，列出方程求解． 【规范解答】设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游人数为x人．∵人均费用为1000元，人数为25人时，25×1000＝25000，而25000＜27000，∴x＞25.∴人数超过25人，此时人均费用为[1000－20(x－25)]元．由题意可得x[1000－20(x－25)]＝27000.整理得x2－75x＋1350＝0，解得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，人均旅游费用为1000－20(45－25)＝600＜700，不符合题意，应舍去．当x＝30时，人均旅游费用为1000－20(30－25)＝900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游． 【方法归纳】列方程解应用题的关键是建立数学模型，即把实际问题转化为数学问题． $$