专题05二次函数(真题4个考点+模拟6个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（上海专用）

专题05二次函数(真题4个考点+模拟6个考点） 一．二次函数的性质（共1小题） 1．（2024•上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 　　． 二．二次函数图象与几何变换（共4小题） 2．（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　． 3．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是　　 A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．随的变化情况不变 D．与轴的交点不变 4．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 5．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 6．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　　． 四．二次函数综合题（共3小题） 7．（2022•上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为，． ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围； ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标． 8．（2021•上海）已知抛物线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形． ①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离； ②若在抛物线上，求的坐标． 9．（2020•上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点． （1）求线段的长； （2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围． 一．二次函数的性质（共8小题） 1．（2024•崇明区）在二次函数中，如果，，，那么它的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•闵行区）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是　　 A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 3．（2024•宝山区二模）下列函数中，的值随值的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•虹口区二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2024•闵行区三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 　　． 6．（2024•徐汇区二模）如果二次函数的图象的一部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 7．（2024•闵行区）抛物线的对称轴是直线，如果点、在此抛物线上，那么　　．（填“”、“ ”或“” 8．（2024•杨浦区四模）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，　　； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图象． （4）画直线，由此可知的实数根有 　　个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是 　　． 二．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 9．（2024•杨浦区四模）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点．以下结论正确的是　　 A． B．随的增大而增大 C． D．对于任意实数，总有 10．（2024•浦东新区二模）沿着轴的正方向看，如果抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 三．二次函数图象与几何变换（共7小题） 11．（2024•嘉定区二模）如果将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 12．（2024•崇明区）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 13．（2024•长宁区二模）如果二次函数的图象向右平移3个单位后经过原点，那么的值为 　　． 14．（2024•长宁区三模）如果将抛物线向左平移3个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是 　　． 15．（2024•虹口区二模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 　　． 16．（2024•松江区二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 　　（只需写出一个符合条件的表达式） 17．（2024•浦东新区三模）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数为常数）的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为 　　． 四．二次函数的最值（共1小题） 18．（2024•闵行区三模）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则　　． 五．抛物线与x轴的交点（共4小题） 19．（2024•杨浦区三模）关于抛物线，下列说法错误的是　　 A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是 C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大 20．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线，（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 　　． 21．（2024•黄浦区二模）问题：已知抛物线．抛物线的顶点在抛物线上（非抛物线的顶点）且经过抛物线的顶点．请求出一个满足条件的抛物线的表达式． （1）解这个问题的思路如下：先在抛物线上任取一点（非顶点），你所取的点是 　　；再将该点作为抛物线的顶点，可设抛物线的表达式是 　　；然后求出抛物线的顶点是 　　；再将抛物线的顶点代入所设抛物线的表达式，求得其中待定系数的值为 　　；最后写出抛物线的表达式是 　　． （2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线，请再写出一个抛物线的表达式． （3）如果问题中抛物线和在轴上所截得的线段长相等，求抛物线的表达式． 22．（2024•崇明区）已知二次函数． （1）用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）如果该函数图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点，求四边形的面积． 六．二次函数综合题（共23小题） 23．（2024•宝山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2024•长宁区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点、（点在点左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点、． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点的坐标． 25．（2024•金山区二模）已知：抛物线经过点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，且点在轴右侧． ①若点平移后得到的点在轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与轴相交于点，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 26．（2024•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，联结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 27．（2024•崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）设抛物线与轴的另一个交点为，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线平移，得到抛物线．平移后抛物线的顶点落在轴上的点处，将沿直线翻折，得到，如果点恰好落在抛物线的图象上，求平移后的抛物线的表达式． 28．（2024•杨浦区三模）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点与点重合时，求平移的距离； （3）联结，如果与互补，求点的坐标． 29．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点为圆心的圆记作圆，如果圆与圆外切，试判断对称轴直线与圆的位置关系，请说明理由； （3）已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 30．（2024•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ①当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ②当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 31．（2024•奉贤区二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； （3）设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 32．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线（其中，我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． （1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值． 33．（2024•青浦区二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图，过点作轴，交该抛物线于点，当时，求的面积； （3）点为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点的坐标． 34．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、两点，顶点为点． （1）求、的值； （2）如果点在抛物线的对称轴上，射线平分，求点的坐标； （3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点在射线上，抛物线与轴交于点，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 35．（2024•崇明区）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、、三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是点关于抛物线对称轴对称的点，联结、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 36．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结、、，求的值； （3）如果点在对称轴右方的抛物线上，且，过点作轴，垂足为，请说明，并求点的坐标． 37．（2024•黄浦区三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； （3）如果，求抛物线的表达式． 38．（2024•宝山区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）如果将绕点逆时针旋转，点落在抛物线上的点处，求抛物线的表达式； （3）将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为，与轴交于点．如果，求的值． 39．（2024•长宁区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过、两点． （1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； （2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标； （3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围． 40．（2024•普陀区校级三模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． （1）求顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至，如果锐角的正切值为，求的值． 41．（2024•徐汇区三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． （1）求抛物线与直线的表达式； （2）如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 42．（2024•闵行区三模）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 43．（2024•闵行区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴相交于、两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点是轴正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点和点的坐标（不需要说明理由）； （3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”． 如果点是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围． 44．（2024•普陀区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． （1）当点的坐标为时，求这个抛物线的表达式； （2）抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数与之间的数量关系； （3）以点为圆心，为半径作，与直线相交于点、，当点在直线上时，用含的代数式表示的长． 45．（2024•闵行区） 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． 已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． （1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴； （3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05二次函数(真题4个考点+模拟6个考点） 一．二次函数的性质（共1小题） 1．（2024•上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 　4　． 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线 “开口大小”． 【解答】解：抛物线， ， 解得， 抛物线 “开口大小”为， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 二．二次函数图象与几何变换（共4小题） 2．（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　． 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解． 【解答】解：抛物线向上平移3个单位得到． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是　　 A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．随的变化情况不变 D．与轴的交点不变 【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变． 【解答】解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意． 、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意． 、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则随的变化情况不变，故不符合题意． 、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变． 4．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线 即可求得； （2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将代入可求得 ，进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得，； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，列式求得，，然后得到抛物线解析式为：，将代入可得 ，即可得到答案． 【解答】解：（1）在 中，令得：， ， 令得：， ； （2）设，设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， 将代入得：， ， ，即 ， 将 代入， 整理得：， ，； （3）如图： 轴，点在轴上， 设，， 点，分别平移至点，， 点，点向下平移的距离相同， ， 解得：， 由（2）知 ， ， 抛物线的函数解析式为：， 将代入可得：， 抛物线的函数解析式为：或 ． 【点评】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图象性质等，解题的关键是根据的平移性质求出和的值． 5．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入，可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； ②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明△，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入， 可得：，解得：， 新抛物线为； （2）①如图，设，则， ， 小于3， ， ， ， ； ②， 平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则，过作于， ， △， ， 设，则，，， ， 解得：或3（不符合题意舍去）； 综上：． 【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 6．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　　． 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）． 【解答】解：由题意得：，，， 这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 四．二次函数综合题（共3小题） 7．（2022•上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为，． ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围； ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标． 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线，开口向上，由二次函数的性质可得出答案； ．，证出，由等腰三角形的性质求出，由直角三角形的性质可求出答案． 【解答】解：（1）将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）．， 抛物线的顶点坐标为， 即点是原抛物线的顶点， 平移后的抛物线顶点为， 抛物线平移了个单位， ， ， ， 即平移后的抛物线的对称轴为直线， 在的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为轴，开口向上， ； ．把代入， ， ， 由题意得，新抛物线的解析式为， ， ， ，，， ， 如图，过点作轴于，则， ，， ，， ， 或（舍， ， 点的坐标为，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 8．（2021•上海）已知抛物线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形． ①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离； ②若在抛物线上，求的坐标． 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【解答】解：（1）、代入得： ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）①过作于，交轴于，如图： 当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图： 设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 9．（2020•上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点． （1）求线段的长； （2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围． 【分析】（1）先求出，坐标，即可得出结论； （2）设点，则，进而求出点，最后将点，代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点坐标代入抛物线解析式中得出，代入抛物线解析式中得出顶点坐标为，即可得出结论． 【解答】解：（1）针对于直线， 令，， ， 令，则， ， ， ； （2）设点， ， ， ， ， ， 点在线段上， ， ， 将点，代入抛物线中，得， ， 抛物线； （3）点在抛物线中，得， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 将代入中，得， 顶点位于内， ， ； 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点的坐标是解本题的关键． 一．二次函数的性质（共8小题） 1．（2024•崇明区）在二次函数中，如果，，，那么它的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数，，，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【解答】解：二次函数，，，， 该函数图象的对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，开口向下， 该函数图象存在三种情况，如右图所示， 它的图象一定不经过第二象限， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（2024•闵行区）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是　　 A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 【分析】依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【解答】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024•宝山区二模）下列函数中，的值随值的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，对于选项，是二次函数，对称轴是轴，开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故错误． 对于选项，是二次函数，对称轴是轴，开口向上， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故错误． 对于选项，是一次函数，， 随的增大而增大，故错误． 对于选项，是一次函数，， 随的增大而减小，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键 4．（2024•虹口区二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数，再结合，从而当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再由函数值随自变量的增大而减小，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，二次函数， 又， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由函数值随自变量的增大而减小， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•闵行区三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 　　． 【分析】依据题意，由，又抛物线开口向上，从而当时，随的增大而减小，图象逐渐下降，当时，随的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数的图象的一部分是下降的，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，，且抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，图象逐渐下降，当时，随的增大而增大，图象逐渐上升． 二次函数的图象的一部分是下降的， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024•徐汇区二模）如果二次函数的图象的一部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 【分析】依据题意，由，又抛物线开口向上，从而当时，随的增大而减小，图象逐渐下降，当时，随的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，， 又抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，图象逐渐下降，当时，随的增大而增大，图象逐渐上升． 二次函数的图象的一部分是上升的， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．（2024•闵行区）抛物线的对称轴是直线，如果点、在此抛物线上，那么　　．（填“”、“ ”或“” 【分析】依据题意，首先利用对称轴和二次项系数的符号确定增减性，然后写出答案即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，， 当时，随着的增大而增大． ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能理解函数的增减性是关键． 8．（2024•杨浦区四模）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，　　； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图象． （4）画直线，由此可知的实数根有 　　个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是 　　． 【分析】（1）函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可； （3）通过描点，连线，画出当时的函数图象即可； （4）根据图象即可求得； （5）根据图象分析即可求得． 【解答】解：（1）函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）当时，， 故答案为； （3）画出函数的图象如图： （4）由图象可知，直线与函数图象有3个交点， 所以，的实数根有3个， 故答案为3． （5）由图象可知：直线在轴的上方且，与函数的交点的横坐标，且，， ， ， 关于的方程即有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是， 故答案为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象以及一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 二．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 9．（2024•杨浦区四模）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点．以下结论正确的是　　 A． B．随的增大而增大 C． D．对于任意实数，总有 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【解答】解：、二次函数开口向下，；对称轴在轴右侧，得出，、异号，；与轴交点在轴正半轴，；因此，故错误； 、二次函数图象开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随的增大而减小，错； 、由题可知对称轴，得；代入得；两式联立，解得，正确； 、由函数图象可知，当时，二次函数取得最大值，即对于任意实数，都有，因此对于任意实数，，即，错． 故选：． 【点评】本题考查根据二次函数图象和特殊的点，判断系数、、与0的关系、函数图象的增减性和最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象与系数的关系，解题难点在于补全二次函数取最大值时系数之间的关系式． 10．（2024•浦东新区二模）沿着轴的正方向看，如果抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则，然后解不等式即可． 【解答】解：抛物线在轴左侧的部分是上升的， 抛物线开口向下， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 三．二次函数图象与几何变换（共7小题） 11．（2024•嘉定区二模）如果将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出抛物线向下平移2个单位后的表达式，再令，求出的值即可． 【解答】解：抛物线向下平移2个单位的表达式为， 当时，， 平移后抛物线与轴的交点坐标是． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 12．（2024•崇明区）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用顶点式得到顶点坐标为，再利用点平移的坐标规律得到点平移后的对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的表达式． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点先向左平移3个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的表达式为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 13．（2024•长宁区二模）如果二次函数的图象向右平移3个单位后经过原点，那么的值为 　　． 【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出的值． 【解答】解：二次函数的图象向右平移3个单位后的解析式为， 二次函数的图象向右平移3个单位后经过原点， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键． 14．（2024•长宁区三模）如果将抛物线向左平移3个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是 　　． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题． 【解答】解：将抛物线向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为， 故答案为：． 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 15．（2024•虹口区二模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 　　． 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 16．（2024•松江区二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 　（答案不唯一）　（只需写出一个符合条件的表达式） 【分析】由平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为，由平移后的抛物线经过原点，得，即，符合顶点在第四象限，故所求为（答案不唯一）． 【解答】解：由平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限， 设平移后抛物线为， 由平移后的抛物线经过原点， 得，即， 符合顶点在第四象限， 故所求为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了抛物线，解题关键是待定系数法的应用． 17．（2024•浦东新区三模）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数为常数）的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为 　或　． 【分析】根据关于轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解． 【解答】解：函数为常数）的“函数”图象与轴只有一个交点， 函数为常数）的图象与轴也只有一个交点， 当时，函数解析式为，它的“函数”解析式为，它们的图象与轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在轴上， ， 解得：， 原函数的解析式为， 它的“函数”解析式为， 综上，“函数”的解析式为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 四．二次函数的最值（共1小题） 18．（2024•闵行区三模）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则　或　． 【分析】根据题意求得点，，，然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可． 【解答】解：由，当时，， ， ，四边形是矩形， ， ①当抛物线经过、时，将点，代入得 ， 解得； ②当抛物线经过、时，将点，代入得 ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或， 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 五．抛物线与x轴的交点（共4小题） 19．（2024•杨浦区三模）关于抛物线，下列说法错误的是　　 A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是 C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大 【分析】依据题意，由抛物线，从而对称轴是直线，故可判断；又当时，，则顶点坐标是，故可判断；又△，再结合， 可得△，进而判断；又抛物线开口向下，从而在对称轴左侧，随的增大而增大，故可判断． 【解答】解：由题意，抛物线， 对称轴是直线，故正确，不合题意． 由题意，当时，， 顶点坐标是，故正确，不合题意． 又△， ， △． 该抛物线与轴没有交点，故错误，符合题意． 抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大，故正确，不合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 20．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线，（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 　　． 【分析】易得的解析式，可判断出的顶点坐标，进而可得点的坐标．根据四边形是正方形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点的坐标，代入的解析式可得的值，代入即可得到所求的函数解析式． 【解答】解：抛物线的“关联抛物线”为， 的解析式为：． 对称轴为：． 顶点坐标为． 点关于轴的对称点为， 点坐标为：． 四边形是正方形，抛物与轴相交于、两点， ，与互相平分，的中点坐标为． 设点在点的右边． 点的横坐标为：． 点的坐标为． ． 解得：． 抛物线的表达式为：． 【点评】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等． 21．（2024•黄浦区二模）问题：已知抛物线．抛物线的顶点在抛物线上（非抛物线的顶点）且经过抛物线的顶点．请求出一个满足条件的抛物线的表达式． （1）解这个问题的思路如下：先在抛物线上任取一点（非顶点），你所取的点是 　　；再将该点作为抛物线的顶点，可设抛物线的表达式是 　　；然后求出抛物线的顶点是 　　；再将抛物线的顶点代入所设抛物线的表达式，求得其中待定系数的值为 　　；最后写出抛物线的表达式是 　　． （2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线，请再写出一个抛物线的表达式． （3）如果问题中抛物线和在轴上所截得的线段长相等，求抛物线的表达式． 【分析】（1）按照题干中的思路求解即可； （2）根据（1）的方法解答即可； （3）设在抛物线上所取非顶点的一点的坐标为，设出抛物线的解析式，再把抛物线的顶点代入求出，然后抛物线与轴的交点坐标为，，，，由根与系数的关系和抛物线和在轴上所截得的线段长相等求出的值，从而得出抛物线的表达式． 【解答】解：（1）对于抛物线，当时，， 在抛物线上所取的点是， 设抛物线的表达式是， ， 抛物线的顶点是， 将代入得，， 解得， 抛物线的表达式是， 故答案为：，，，，； （2）对于抛物线，当时，， 在抛物线上所取的点是， 设抛物线的表达式是， ， 抛物线的顶点是， 将代入得，， 解得， 抛物线的表达式是（答案不唯一）； （3）设在抛物线上所取非顶点的一点的坐标为， 设抛物线的表达式是， 将抛物线的顶点代入得， ， 解得， 令抛物线中的，即， 解得，， 抛物线上在轴上所截得的线段长为2， 抛物线与轴的交点坐标为，，，， 方程的两个根为，， 把方程整理并把代入得：， ，， ， 抛物线和在轴上所截得的线段长相等， ， ， 解得， 点坐标为，或，， 抛物线的表达式为或． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点以及待定系数法求函数解析式，关键是掌握抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系． 22．（2024•崇明区）已知二次函数． （1）用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）如果该函数图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点，求四边形的面积． 【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． （2）求出当时对应的值，即可写出点的坐标，求出当时对应的值，即可求出点的坐标，然后根据即可求出四边形的面积． 【解答】解：（1）二次函数， 该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． （2）当时，即，解得：，， 函数图象与轴负半轴交于点， ， ， 当是，， 点的坐标为， ， ， 四边形的面积为15． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题关键是掌握二次函数顶点式． 六．二次函数综合题（共23小题） 23．（2024•宝山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； ②延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． 【解答】解：（1）， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ； （2）①设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ，， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ， 和等高， ； ②存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ，． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． 24．（2024•长宁区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点、（点在点左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点、． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式得，点、， 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， ①当时，则点在的中垂线上， 则， 解得：（舍去）或5， 则； ②由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由点的坐标得，， 的面积是面积的3倍， 则 过点作轴，作，过点作轴， 则， 则， 则， 解得：（舍去）或4， 即点． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中． 25．（2024•金山区二模）已知：抛物线经过点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，且点在轴右侧． ①若点平移后得到的点在轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与轴相交于点，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，由平移的性质知，，即可求解； ②如果，即轴不合题意；如果，证明，得到，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， ， 故抛物线的解析式为， 顶点的坐标是； （2）①设直线的解析式是， 则，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， 点平移后得到的点在轴上， 抛物线向上平移了3个单位， ，即， 此时抛物线的解析式是； ②抛物线与轴的交点是， 如果，即轴不合题意， 如果， ，， ， ， ， 作轴于点，则， ， ，， ， 解得：（不合题意，舍去）或1， ， 则此时抛物线的解析式是． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到图象的平移、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． 26．（2024•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，联结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【解答】解：（1）设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点，在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，； （2）①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得： 解得：，， 的表达式为：， ，， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ，， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：，， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键． 27．（2024•崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）设抛物线与轴的另一个交点为，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线平移，得到抛物线．平移后抛物线的顶点落在轴上的点处，将沿直线翻折，得到，如果点恰好落在抛物线的图象上，求平移后的抛物线的表达式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即，即可求解； （3）证明为等边三角形，得到点，，将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解． 【解答】解：（1）直线与轴相交于点，与轴相交于点， 则点、的坐标分别为：，、， 将点、的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点； （2）由抛物线的表达式知，点，， 过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交过点和轴的抛物线于点， 则，，， ， ， ， ， ，即， ， 解得：， 即点； （3）由直线的表达式知，， 当将沿直线翻折，得到时， ， ， 为等边三角形， 设点，则， ， 点，， 新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 抛物线的表达式为：． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 28．（2024•杨浦区三模）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点与点重合时，求平移的距离； （3）联结，如果与互补，求点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题； （2）设平移的距离为，对称轴直线交轴于点，则抛物线的表达式为，由，得，即，即可求得； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于，由平移可证得四边形是平行四边形，可得，即，推出，进而求得，在中，，则，再结合与互补，得出，证得，得出，即可求得答案． 【解答】解：（1）抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 抛物线的对称轴直线，顶点为， 由题意，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合时，设平移的距离为，对称轴直线交轴于点，如图， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点为，， ，， 当时，， ， ，， ，， ， ，即， 解得：， 当点与点重合时，平移的距离为3； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于，如图， ，，，对称轴为直线， ，，，，四边形是矩形， ，，， ，即， 抛物线与轴交于点和点， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， 把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴交于点， ， 抛物线的对称轴与轴平行，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 轴， 轴， ，， ， 与互补，即， ， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键． 29．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点为圆心的圆记作圆，如果圆与圆外切，试判断对称轴直线与圆的位置关系，请说明理由； （3）已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设圆的半径为，又圆与圆外切，所以，得到，即可求解； （3）求出，在中，，在中，，由，得到，，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线经过点、两点， ， 解得：， 此抛物线的表达式是； （2）答：对称轴直线与圆的位置是相离， 根据（1）得，抛物线的对称轴是直线， 则抛物线与轴的交点点坐标为， 则， 圆的半径是2， 设圆的半径为，又圆与圆外切，所以， 又，所以， 对称轴与轴垂直，设垂足为， 则的长就是圆到对称轴的距离， 对称轴是直线， 点的坐标为，所以， ，即， 对称轴直线与圆的位置是相离； （3）过点作，垂足为，过点作轴，垂足为， 则，，， 点坐标为，点坐标为， 轴， ，， 由勾股定理得， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， 点的坐标为． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形等，综合性强，难度适中． 30．（2024•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ①当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ②当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）①在中，，则，在中，，即可求解； ②当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图所示，取的中点，以为直径作圆，则点、在圆上，由，即可求解；当时，可得：，所以符合题意的不存在． 【解答】解：（1）由题意，得：， 解得：， 抛物线的表达式为； 则抛物线的对称轴是直线， 点； （2）①由题意，得、， 则， 四边形是平行四边形， ， 又点在轴上， ， ， 在中，， 则，则， 在中，， 则， 过点作，垂足为， 在中，， 则， 故点，； ②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意； 当时，如图所示，取的中点，以为直径作圆，则点、在圆上， 此时圆和轴有唯一切点，符合题设条件， 则， ， 由①知，则， 则， 而， 由得：， 解得：； 当时，可得：，所以符合题意的不存在， 综上，符合题意的的值为0或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 31．（2024•奉贤区二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； （3）设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 【分析】（1）根据点在正半轴判断的正负，再将点坐标代入抛物线，求出和的关系，从而可以求出的正负，即可判断开口方向，将抛物线化为顶点式即可求出点坐标； （2）根据平移后的点，判断平移距离，从而表示出的坐标，然后根据正切值的定义求解的值即可； （3）先求出点坐标，然后用待定系数法求出所在直线的坐标，从而可以求出点坐标，然后根据三角形相似的判定与性质，求出的长度，最后根据勾股定理求出的值即可． 【解答】解：（1）令，则， ， 将点坐标代入抛物线解析式得：， ， 抛物线开口向下， 将代入抛物线解析式：， 对称轴直线为：， 令，则， ， （2）由（1）知，， ， ， 平移距离为：， ， 点，，位置如图，作于， ，， ， ； （3）如图： 令，解得：或3， ， 设所在直线的解析式为：， 可得：， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，综合运用平移的坐标变换、三角函数值的定义以及相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 32．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线（其中，我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． （1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值． 【分析】（1）将点的坐标代入得：，即可求解； （2）当四边形为平行四边形，则，即，即可求解； （3）由得到，即，即可求解． 【解答】解：（1）将点的坐标代入得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 则的表达式为：． 则和轴的交点， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即的顶点的坐标为：， 当时，， 故抛物线的对称轴和的交点， 点在点的上方， 故， 解得：， 则， 四边形为平行四边形， 则，即， 解得：， 即点； （3）点在抛物线上， 当时，， 即点， 点、点、、， 则， 同理可得：， ，， ， 则，即， 解得：或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 33．（2024•青浦区二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图，过点作轴，交该抛物线于点，当时，求的面积； （3）点为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则直线和关于对称，即可求解； （3）利用，求出，利用，得到，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 故抛物线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点； （2）设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得：直线的表达式为：， 当时， 则直线和关于对称， 故， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交于点，则点，， 则， 则的面积； （3）由点、、的坐标得，， 过点作于点，设交于点， 而， 即， 则， ，即， 则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点，， 由点、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 34．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、两点，顶点为点． （1）求、的值； （2）如果点在抛物线的对称轴上，射线平分，求点的坐标； （3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点在射线上，抛物线与轴交于点，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明△为等腰直角三角形，则点在上，点代入上式得：，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于点、点， 则点、的坐标分别为：、， 则，解得：， 即，； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线， 作点关于直线的对称点，交于点， 平分， 则， 过点作轴的平行线交于点，连接， ， 则，则为等腰直角三角形， 同理可得：△为等腰直角三角形， 则△为等腰直角三角形，则点在上， 设点，，则， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达， 将点代入上式得：， 解得：， 则点，； （3）设点， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点， 由点、、的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； 当或时， 则或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：， 综上，抛物线的表达式为：或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、解直角三角形、等腰三角形的性质等，分类求解是解题的关键． 35．（2024•崇明区）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、、三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是点关于抛物线对称轴对称的点，联结、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①在中，，，，则可解，即可求解； ②如上图，当与相似时，证明，得到，参考①的方法，同理可解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）点是点关于抛物线对称轴对称的点，则点， 由、的坐标得，，，则， 过点作交于点， ①当时，即， 设，则， 则， 则， 则， 则； ②如上图，当与相似时， ，， ， 则， 设：，则， 则， 解得：， 则， 即． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，综合性强，难度适中． 36．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结、、，求的值； （3）如果点在对称轴右方的抛物线上，且，过点作轴，垂足为，请说明，并求点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【解答】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入，得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 37．（2024•黄浦区三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； （3）如果，求抛物线的表达式． 【分析】（1）求出抛物线顶点，由，得直线解析式为，故； （2）求出，知与不重合，根据抛物线与坐标轴共有两个不同的交点，可得有两个相等的实数解，从而；可得，，即可得； （3）由，有，即，解得（舍去）或，即可得． 【解答】解：（1）抛物线顶点， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为， 在中，令得， ； （2）在中，令得， ， 无实数解， 与不重合， 抛物线与坐标轴共有两个不同的交点， 抛物线与轴只有一个交点， 有两个相等的实数解， ， 解得； ，， ，， ， ， ； （3）， ， ， ，，， ， 整理得：， 解得（舍去）或， ． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，直角三角形判定知识，解题的关键是用含的式子表示，的坐标和相关线段的长度． 38．（2024•宝山区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）如果将绕点逆时针旋转，点落在抛物线上的点处，求抛物线的表达式； （3）将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为，与轴交于点．如果，求的值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由旋转的性质得，点，，将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （3）求出点的坐标为：，由，求出，进而求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点，， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：； （2）由旋转的性质得，点，， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； （3）由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，点， 设将（2）中得到的抛物线沿射线平移个单位，则相当于向左、向上个平移了个单位， 则平移后的抛物线表达式为：， 当时，，即点的坐标为：， 则， 而， 解得：， 则点，即点、重合， 由点的坐标得到点， 在中，，，， 过点作于点， 则， 即，则， 则， 则． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 39．（2024•长宁区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过、两点． （1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； （2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标； （3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，可得抛物线的解析式； （2）先根据点和的坐标证明是等腰直角三角形，得，根据等式的性质得：，利用三角函数列式可得的长，利用待定系数法求的解析式，联立抛物线和直线的解析式组成方程组可得点的坐标即可； （3）先确定抛物线的对称轴，计算边界点的坐标和对应的值，根据图形可知：符合条件的一定是负数，从而得解． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为． 将点的坐标代入得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图1，设交轴于点， ，， ， ， ， 又， ，即， ，即， ， ， 点在第三象限， ， 设的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， 的解析式为：， 则，解得：或， ，； （3）抛物线经过、两点， 对称轴是：直线， 、， 同理得的解析式为：， 当时，， 当顶点时，设抛物线的解析式为， 把顶点代入得：， 抛物线的顶点位于内，的取值范围是． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角函数，对称的性质，二次函数的性质等知识，熟知利用方程组的解确定两函数的交点坐标是本题的关键． 40．（2024•普陀区校级三模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． （1）求顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至，如果锐角的正切值为，求的值． 【分析】（1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点， ， ， 抛物线与轴正半轴交于点， ， ， 抛物线开口向下， 抛物线解析式为， ． （2）如图所示，过点作于点， 设向下平移个单位，平移后的抛物线为， ，锐角的正切值为， ， 则，， 当时，， ①， 将点代入， 得②， 联立①②，解得， ． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，角度问题，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 41．（2024•徐汇区三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． （1）求抛物线与直线的表达式； （2）如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【分析】（1）根据抛物线 顶点为坐标原点得，，可得，抛物线表达式为；设直线的表达式为 ，由直线经过点和点，可得直线的表达式为； （2）设直线交轴于，可知，设点的坐标为，则点的坐标为，而，①当点在线段上时，，可得，即得，故，解出的值得点的坐标为 ，新抛物线的表达式为；②当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接，证明，有，故，解出知点的坐标为 ，故新抛物线的表达式为． 【解答】解：（1）抛物线 顶点为坐标原点， ，， 点在二次函数图象上， ， 解得， 抛物线表达式为； 设直线的表达式为 ， 直线经过点和点， ， 解得， 直线的表达式为； （2）设直线交轴于， 在 中，令得， ， ， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， 轴， ， ①当点在线段上时，， 如图： ， ， ， ，， ， ， ， 解得（舍去）或， 点的坐标为 ， 新抛物线的表达式为； ②当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接，如图： ， ，， ， ； ， ， ， ， ， （正值不符合题意，舍去）， 点的坐标为 新抛物线的表达式为； 综上所述，新抛物线的表达式为或． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 42．（2024•闵行区三模）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【分析】（1）根据题意得到的坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据正方形性质得到，求出时，对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）设直线的解析式为，根据题意求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【解答】解：（1）由题知，点为抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 四边形为矩形，为的中垂线，， ，， ， ， 将其代入中， 有， ， 抛物线的解析式为； （2）四边形和为正方形，， ， 延长交于点，延长交于点，易知四边形和为矩形， ，， ， ， 当时，， 解得， ，， ， ； （3）为的中垂线，， ， ，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 太阳光为平行线， 设过点且平行于直线的解析式为， 由题意得与抛物线相切，即只有一个交点， 联立， 整理得， 则， 解得， ， 当时，， ， ， ． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，坐标与图形，中垂线性质，待定系数法求出函数解析式，正方形的性质，矩形的性质和判定．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 43．（2024•闵行区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴相交于、两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点是轴正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点和点的坐标（不需要说明理由）； （3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”． 如果点是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围． 【分析】（1）把，代入可解得，的值，即可得到抛物线的表达式为； （2）求出，而，，可得，，即得，而，故，可得，即可推得，为的中点，从而的坐标为，，由菱形性质，平移性质得的坐标为，； （3）由可得抛物线的对称轴为直线，求出直线的解析式为，直线与对称轴的交点坐标为，，直线的解析式为：，直线与抛物线对称轴的交点坐标为，，由图可得 或． 【解答】解：（1）把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图： 在中，令得， 解得：，， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 为的中点， 的坐标为，， 四边形是菱形， ， 把点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点， 把点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点， 的坐标为，； （3）如图： 由可得抛物线的对称轴为直线， 抛物线对称轴与轴的交点坐标为，， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与对称轴的交点坐标为，， 同法可得直线的解析式为：，直线与抛物线对称轴的交点坐标为，， 点是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形， 当点在，之间或点在点下方时，满足题意， 或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，菱形性质及应用，凹四边形等知识，解题的关键是画出图形，运用数形结合思想解决问题． 44．（2024•普陀区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． （1）当点的坐标为时，求这个抛物线的表达式； （2）抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数与之间的数量关系； （3）以点为圆心，为半径作，与直线相交于点、，当点在直线上时，用含的代数式表示的长． 【分析】（1）过作轴于，由为抛物线的顶点，，可得，而抛物线的顶点，故，，且，可得，代入得，从而可求出抛物线的表达式为； （2）过作轴于，由抛物线的顶点坐标为，可得，，即得的坐标为，代入得：，又在第一象限，，可得； （3）延长交于，连接，过作轴于，设直线交轴于，由可知，，有，，可得是等腰直角三角形，而在直线上，可得，，同（2）可知，，，，故，，，求出，，可得，，从而，由勾股定理得，由垂径定理可知，，结合（2）知． 【解答】解：（1）过作轴于，如图： 为抛物线的顶点， ， ，轴， ， 抛物线的顶点， ，，且， ， ， 把代入得： ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； （2）过作轴于，如图： 为抛物线的顶点， ， ，轴， ， 抛物线的顶点坐标为， ，， ， 的坐标为， 把代入得：， 在第一象限， ， ； （3）延长交于，连接，过作轴于，设直线交轴于，如图： 由可知，， ， ， 是等腰直角三角形， 在直线上， ， ， ， 同（2）可知，，，， ，， ， 在中，令得， ，， ， ， ， ， 由垂径定理可知，， 由（2）知， ， ； 的长为． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上电坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 45．（2024•闵行区） 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． 已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． （1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴； （3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分． 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值； （2）通过题意求出抛物线的解析式，假设点的坐标，代入抛物线求出的值，从而得到抛物线的对称轴； （3）过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，利用表示点、点的坐标，得到各边的数量关系，通过证明，得到平分． 【解答】解：（1）将点代入抛物线， 得，解得， 得抛物线得表达式为； （2）由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为， 把代入抛物线，得， 则抛物线得表达式为， 由点在抛物线上，设点的坐标为， 由点是抛物线的顶点，得，解得， 得点的坐标为， 即抛物线的对称轴为直线； （3）由点是抛物线的顶点，得， 过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，即， 设直线表达式为， 代入，，得， 直线表达式为， 把代入，得， 得点的坐标为， ， ，， ， ， 平分． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$