专题02 常用逻辑用语（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题02 常用逻辑用语 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、充分必要条件的判断及参数问题 2 题型二、充要条件的证明 3 题型三、常用逻辑用语与集合的综合考查 4 压轴能力测评（12题） 5 说明：试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 一、充分条件、必要条件、充要条件 1.定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2.从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 注：对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 二、全称量词与存在童词 1.全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. 2.存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三、含有一个量词的命题的否定 1.全称量词命题的否定为，. 2.存在量词命题的否定为. 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型一 充分必要条件的判断及参数问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南新乡·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高三上·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 6．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 7．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 8．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【题型二 充要条件的证明】 一、解答题 1．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 2．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知 ，求证：是的充要条件. 3．（22-23高一上·广东揭阳·阶段练习）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【题型三 常用逻辑用语与集合的综合考查】 一、解答题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：，命题：，则命题是命题的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 二、多选题 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B．，都有 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 5．（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A．的充要条件是“” B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 三、填空题 6．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 7．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）． 8．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 11．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 12．（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、充分必要条件的判断及参数问题 2 题型二、充要条件的证明 6 题型三、常用逻辑用语与集合的综合考查 7 压轴能力测评（12题） 11 说明：试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 一、充分条件、必要条件、充要条件 1.定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2.从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 注：对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 二、全称量词与存在童词 1.全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. 2.存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三、含有一个量词的命题的否定 1.全称量词命题的否定为，. 2.存在量词命题的否定为. 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型一 充分必要条件的判断及参数问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 2．（22-23高一上·河南新乡·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解. 【详解】由，得， 即，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A 3．（2024高三上·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 二、填空题 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可. 【详解】由题设得或，设{或}， 同理可得，设， 因为是的充分不必要条件，所以，因此. 故答案为：. 6．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 7．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，，，解集为； 综上所述，实数的取值范围. 故答案为：②，③. 8．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 【题型二 充要条件的证明】 一、解答题 1．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 2．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知 ，求证：是的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】先由推得，再由推得，即可得证. 【详解】设，， 先证充分性： ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即； 再证必要性： ∵， ∴， ∴； 综上：是的充要条件. 3．（22-23高一上·广东揭阳·阶段练习）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【答案】证明见解析 【分析】利用二次方程根与系数的关系结合充分条件、必要条件的定义即可证得结论成立. 【详解】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意； 若时，，设方程的两根分别为、，则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得， 设方程的两根分别为、，则， 则、均为负数，由题意可知，可得. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”. 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【题型三 常用逻辑用语与集合的综合考查】 一、解答题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或解得． 即实数的取值范围是． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解； （2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可. 选②，由，可得，再分两种情况讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或 (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得； （2）选①可得，结合子集性质即可得；选②可得，结合真子集性质即可得；选③可得或，计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是. 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：，命题：，则命题是命题的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用命题概念、充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义分析运算判断即可得解. 【详解】已知命题：成立，则且，故， 即命题：成立； 已知命题：成立，则或，比如，，则， 即命题：不一定成立； 综上，命题是命题的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可. 【详解】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，， 因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以， 所以由，，可得， 则是的充要条件，命题①错误； 则是的充要条件，命题②错误； 因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确； 易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误， 故选：C. 3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 二、多选题 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B．，都有 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据特称命题真假判断判断A；全称命题真假判断和特殊值判断B；根据充分条件和必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，且则，则，则且能推出“”， 反之，当时，例，符合要求，不能推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，等价于且，所以不能推出， 反之能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确， 故选：AD. 5．（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A．的充要条件是“” B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】A. 由得到集合A，B没有公共元素判断；B.由得到集合A的元素都是集合B中的元素判断；C.由包含判断；D.由得到集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同判断. 【详解】A. 即集合A，B没有公共元素，故正确； B. 即集合A的元素都是集合B中的元素，则，反之由元素个数不能判断，故错误； C. 包含，故错误； D. 即集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同，但个数相同，元素不一定相同，故错误， 故选：BCD 三、填空题 6．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可. 【详解】设集合，集合， 因为p是q的充分不必要条件， 所以， 即. 所以实数a的取值范围为 故答案为：. 7．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）． 【答案】充要 【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则，故，充分性成立； 由，则，故，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 8．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可. 【详解】由方程有实数根可得，即， 为真命题，即为假命题， 所以 ， 根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， ，即，又， ，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 11．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合. （2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得， 由是假命题，则是真命题， 所以实数的取值集合. （2）由（1）知，，由集合非空，得，解得， 选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件. 选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得， 所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是. 12．（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1）由于，所以， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$