专题01 集合（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、集合的子集、真子集及参数问题 2 题型二、集合的交、并、补运算及参数问题 3 题型三、韦恩图及容斥原理的应用 4 题型四、集合中的结构不良问题 5 题型五、集合中的新定义问题 6 压轴能力测评（12题） 8 说明：试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 一、集合的有关概念 1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． 4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 二、集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 三、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A} 四、集合中的新定义问题 1.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 2.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 3.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 4.集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． 【题型一 集合的子集、真子集及参数问题】 一、单选题 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 3．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合，对它的非空子集，将中的每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，试对的所有非空子集，求这些和的总和 . 5．（22-23高二下·北京·期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 【题型二 集合的交、并、补运算及参数问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 三、解答题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【题型三 韦恩图及容斥原理的应用】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论： ①同时报名舞蹈和报名太极的有3人； ②只报名舞蹈的有36人； ③只报名声乐的有20人； ④报名两门课程的有14人. 其中，所有正确结论的序号是 . 【题型四 集合中的结构不良问题】 一、解答题 1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合. (1)若集合的子集有2个，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知. (1)若，求； (2)在①“”是“”的充分不必要条件；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值范围构成的集合. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分. 3．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【题型五 集合中的新定义问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1），；（2）对于X的任意子集A，B，当且时，有；（3）对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M——集合类”，例如：是集合的一个“M——集合类”．已知，则所有含{b，c}的“M——集合类”的个数为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 2．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 二、填空题 3．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 三、解答题 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 5．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 7．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； (1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； (2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数. 8．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三、填空题 6．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ． 7．（2023高一·全国·专题练习）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 四、解答题 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 9．设全集为，或，． (1)若，求，. (2)已知________，求实数的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. ①；②；③. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 10．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 11．（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 12．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、集合的子集、真子集及参数问题 2 题型二、集合的交、并、补运算及参数问题 5 题型三、韦恩图及容斥原理的应用 10 题型四、集合中的结构不良问题 14 题型五、集合中的新定义问题 17 压轴能力测评（12题） 25 说明：试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 一、集合的有关概念 1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． 4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 二、集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 三、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A} 四、集合中的新定义问题 1.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 2.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 3.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 4.集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． 【题型一 集合的子集、真子集及参数问题】 一、单选题 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合间的关系求解即可. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 因为， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 故选：B. 二、填空题 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 3．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合，对它的非空子集，将中的每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，试对的所有非空子集，求这些和的总和 . 【答案】 【分析】考虑集合中的元素在总和中出现的次数，根据不含“”的子集共有个，则可得含“”的子集共有个，从而可根据题意可求得结果. 【详解】考虑集合中的元素在总和中出现的次数， 因为的子集共有个，其中不含“”的子集共有个， 所以含“”的子集共有个， 所以，由题意得这些和的总和为 ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查集合非空子集的应用，解题的关键是求出含“”的子集的个数，考查计算能力，属于较难题. 5．（22-23高二下·北京·期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断； ②若，则中至少有4个元素，故错误； ③若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数； ④根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可． 【详解】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称. 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，也能确定8个所以， 则中元素的个数一定为偶数，故③错误； ④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知， 则，，，即， 即，故④正确， 综上：①④正确. 故答案为：①④. 【题型二 集合的交、并、补运算及参数问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项. 【详解】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的. 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【分析】依题意有，即，且，分类讨论求的值. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 三、解答题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【答案】(1)，， (2)7个，，，，，，， 【分析】（1）根据的形式，先确定的取值，再代入验证； （2）根据（1）的结果，列举满足条件的集合. 【详解】（1）∵只有2个元素，且且， ∴可取2或3或4或5或7或13，代入， 当代入，得13，将13再代入，得2，满足双元素集合， 当代入，得7，将7再代入，得3，满足双元素集合， 当代入，得5，将5再代入，得4，满足双元素集合， 都是对应上述双元素集合中的元素，不需再代入，不合要求， 所以双元素集，，． （2）满足题设条件的集合共有（个），分别是，，，，，，． 【题型三 韦恩图及容斥原理的应用】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题意先分别把集合求出来，然后对比集合，观察它们所具有的关系即可求解. 【详解】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6， 所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系. 故选：A. 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，观看过田径类与游泳类比赛的有人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，画出图结合题意求解即可. 【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人， 观看过田径类与游泳类比赛的有人，则， 只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①， 因为有18人没看过球类比赛，所以， 因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，， 所以②，由①②得，则． 故选：A． 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项 【详解】如图， 因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 二、填空题 5．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论： ①同时报名舞蹈和报名太极的有3人； ②只报名舞蹈的有36人； ③只报名声乐的有20人； ④报名两门课程的有14人. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】画出图，结合图形求出同时报名舞蹈和报名太极的人数，再逐一分析即可得解. 【详解】如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人， 则，解得， 所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人， 只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人， 报名两门课程的有人. 故答案为：②③④.    【题型四 集合中的结构不良问题】 一、解答题 1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合. (1)若集合的子集有2个，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）根据子集确定集合元素个数，即可得实数的值； （2）根据集合与集合的关系确定集合中的元素情况，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）集合的子集有2个，集合元素个数为1 ，即解得： （2）选①：集合 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选②：集合， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数的取值范围是. 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知. (1)若，求； (2)在①“”是“”的充分不必要条件；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值范围构成的集合. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用集合补集和交集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系分情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以，或， . （2）选①“”是“”的充分不必要条件，则⫋ 若，此时，解得； 若，此时，只需（且等号不同时成立） 解得， 所以满足条件的实数构成的集合. 选②，则； 若，此时，解得； 若，此时，只需，解得； 综上所述，满足条件的实数构成的集合. 选③， 若，此时，解得； 若，此时，只需或， 显然即无解，解得； 综上，满足条件的实数构成的集合或. 3．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 【题型五 集合中的新定义问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1），；（2）对于X的任意子集A，B，当且时，有；（3）对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M——集合类”，例如：是集合的一个“M——集合类”．已知，则所有含{b，c}的“M——集合类”的个数为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 二、填空题 3．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 三、解答题 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可设，满足条件即可得解； （2）根据满足任意，要证的形式，考虑反证法即可证明. 【详解】（1）令，满足， 当时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． 【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点. 5．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 【答案】(1)不具有性质具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； （2）由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. 6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 7．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； (1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； (2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数. 【答案】(1)集合和都不是 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）依次去掉，可得，进而可得出结论； （3）设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数，分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析即可得证. 【详解】（1）对于集合， 去掉时，， ， 所以集合不是“可分集合”； 对于集合，所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为， 则剩下元素可以构成的两个集合，每个集合中元素之和为， 因此这两个集合中元素的个数为偶数， 而两个元素之和的最大值为， 四个元素之和的最小值为， 所以集合不是“可分集合”； （2）不妨设， 去掉，则， 去掉，则， 所以，显然与矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）设集合所有元素之和为， 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数， 如果为奇数，则也均为奇数， 由于，所以为奇数， 如果为偶数，则均为偶数，此时设， 则也是“可分集合”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”， 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数， 综上所述，为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 8．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 2．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 3．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    二、多选题 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 三、填空题 6．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意设，进一步得，分析得到与必然都是偶数，从而考虑80的分解方式得数组的可能情况即可进一步求解. 【详解】由题意设，则， 注意到是偶数，所以与的奇偶性相同， （否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾）， 注意到是偶数，所以与必然都是偶数， 考虑80的分解方式， 满足题意的数组只可能是三种情况， 所以x的取值可能是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得出得到与必然都是偶数，从而即可顺利得解. 7．（2023高一·全国·专题练习）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】举特例判断①；利用反证法判断②，元素0是关键；利用性质P的定义证明③即可；举反例说明④错误； 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以，而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 四、解答题 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 9．设全集为，或，． (1)若，求，. (2)已知________，求实数的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. ①；②；③. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）根据集合的交集、并集、补集直接运算即可； （2）选①根据建立不等式组求解，选②，分与讨论，建立不等式求解，选③，分，两种情况讨论，建立不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， . （2）选①. 因为， 所以， 得. 选②. 当时，满足， 所以， 得； 当时， 因为，所以 ， 解得. 综上：.    选③. 当时，满足， 所以， 得； 当时， 因为， 所以或， 此时两不等式组均无解. 综上：. 10．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3)32. 【分析】（1）根据性质可得答案； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，记“对任意不相等的，，都有”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案； （3）一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案. 【详解】（1）所有的集合为，，； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即 （3）的最大值为32．证明如下： 一方面，当时，可构造集合， 具有性质； 另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，． 证明如下： 由（2）知，，且当，时，， 此时不存在具有性质的集合，． 由条件①得2，3不能同时属于集合． 下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况： （1）当，时，由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即，． 因为，，，， 由条件②得，， 即，． 由条件①得，，即，． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． （2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合， 下面分三种情形： 情形一：若，，由条件①得，即． 由条件②得，，即，． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形二：若，，由条件①得，， 即，． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形三：若，，由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合， 综上，的最大值为32． 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 11．（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或． 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． （2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． （3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 12．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不一定是数域，证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明； （2）根据题中数环和数域的定义分析证明； （3）举特例，取，举例数列即可. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$