专题30 三角函数式的化简与求值（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题30 三角函数式的化简与求值 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、给值求值 4 题型二、给值求角 5 题型三、给角求值 5 题型四、三角恒等变换 6 压轴能力测评（13题） 7 一、同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 二、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 三、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 四、二倍角公式 ①； ②； ③； 五、降幂公式 六、辅助角公式 1.辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2.辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3.常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 七、积化和差与和差化积公式 1.积化和差 2.和差化积 【常用结论】 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ，， ，， ；；； ；；⑤． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 3、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 【题型一 给值求值】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型二 给值求角】 一、单选题 1．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 4．（2024高一上·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 . 5．已知都是锐角，，则 . 【题型三 给角求值】 一、单选题 1．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型四 三角恒等变换】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）若△ABC为斜三角形，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知角满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 7．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则 . 10．（23-24高一上·河北保定·期末）若，，则 ， . 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，则 . 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1） . （2）若，且，，则 . 13．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题30 三角函数式的化简与求值 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、给值求值 4 题型二、给值求角 7 题型三、给角求值 9 题型四、三角恒等变换 10 压轴能力测评（13题） 14 一、同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 二、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 三、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 四、二倍角公式 ①； ②； ③； 五、降幂公式 六、辅助角公式 1.辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2.辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3.常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 七、积化和差与和差化积公式 1.积化和差 2.和差化积 【常用结论】 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ，， ，， ；；； ；；⑤． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 3、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 【题型一 给值求值】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 2．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的余弦公式求，再利用倍角公式运算求解. 【详解】因为 ， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，， 则，所以. 故选：A 4．（2024·辽宁·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，进而可得，再根据两角差的余弦公式化简求出的关系，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：B. 5．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 【题型二 给值求角】 一、单选题 1．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】 根据同角三角函数的关系分别求解，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【详解】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 3．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 二、填空题 4．（2024高一上·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 5．已知都是锐角，，则 . 【答案】/ 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角， ， ， 由于为锐角， 故答案为： 【题型三 给角求值】 一、单选题 1．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可. 【详解】. 故选：C 2．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】将代入，利用凑特殊角的方法，结合两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则 . 故选：C 3．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式. 【详解】原式 . 故选：B. 【题型四 三角恒等变换】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出和的值，利用两角和与差的三角函数公式求出结果即可. 【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，， 则，解得， ， ， 故选：B 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）若△ABC为斜三角形，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】斜三角形中，由，可知，再由三角恒等变换化简即可. 【详解】由，可知或， 又为斜三角形，所以，即， 故选：A. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 4．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由三角恒等变换结合角的范围得，再由三角恒等变换结合商数关系即可求解. 【详解】， 所以，即，即， 由题意，所以解得满足题意， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，进一步将所求式子化成关于的式子即可顺利求解. 5．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD. 【详解】由得，两边平方得：，① 由得，两边平方得：，② ①+②得：， 因为，所以 ， 由可得：，即， 所以， 又，所以， 所以，故A错误； 由，两边平方得，③ 由得，两边平方得：，④     ③+④得：， 因为，所以，故， 由，，可得，故C正确，D错误； 综上不是定值，故B错误.     故选：C 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 一、单选题 1．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得． 故选：B 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和与差的正弦公式化简已知式，再分子分母同时除以，化简即可得出答案. 【详解】因为，则， 再分子分母同时除以可得：， 即，所以. 故选：C. 3．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式化简所给的式子，求得结果． 【详解】因为，则 . 故选：B． 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，即，根据，得到，即. 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 6．（23-24高一下·四川·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式得到，结合平方关系求出，再由两角差的正弦公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 即，即， 所以， 又，所以， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以. 故选：B 7．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【详解】 . 故选：A 8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系求出，再由求出，及可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 可得，， 所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出，是该题的通性通法． 二、填空题 9．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则 . 【答案】 【分析】结合韦达定理与两角和的正切公式，可得，从而得解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以，，因为， 因为，所以， 故答案为： 10．（23-24高一上·河北保定·期末）若，，则 ， . 【答案】 / 【分析】由已知结合二倍角公式可求，利用同角间关系可求，然后所求式子进行化简即可求解. 【详解】因为， 所以，解得，或（舍去）， 又，所以， 所以，则， 则. 故答案为：；. 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，则 . 【答案】/ 【分析】利用正弦的差角公式先计算，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可. 【详解】因为， 且为第三象限角，所以， 所以 . 故答案为： 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1） . （2）若，且，，则 . 【答案】 【分析】（1）通分，利用倍角公式以及利用展开化简计算即可； （2）先通过角的范围求出，，再利用展开计算即可. 【详解】（1） ; （2）因为，所以， 又，所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以 ， 所以. 13．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 【答案】2 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果. 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$