专题21 全等三角形综合题（共40道）【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题21 全等三角形综合题（共40道） 1．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连结，．下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的有（      ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，已知在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（  ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，、是的角平分线，，，，垂足分别为，，．下列说法：①平分；②；③当时，；④是的中点；⑤．其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，已知与均为等腰直角三角形，点E在边上，连接，的延长线交于点F，且平分；则下列结论中：①，②；③，④平分，正确的个数有(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，与均为等腰三角形，，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，点、在边上，点在边上，将沿着翻折，使点和点重合，将沿着翻折，点恰与点重合．结论：①；②；③；④其中正确的有（    ） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 9．如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 12．如如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 14．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 17．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①AD平分∠MAC；②；③若，则，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 19．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 21．如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 22．如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有： ．（只填序号）    23．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 24．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 25．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论： ①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有 ． 26．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF ∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正确的有 ． 27．如图，于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，延长至点，若平分，平分，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 （写序号）． 28．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和交于点P，连结．有以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的序号是 ． 29．如图，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为 ． 30．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论： ①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC． 其中结论正确的为 ．（填写结论的编号） 31．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，探究筝形的性质时，得到如下结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积．其中正确的结论有 ．        32．如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有 ．（填序号） 33．如图，为的外角平分线上一点，过作于交的延长线于，且满足，则下列结论：①，②；③．其中正确的结论有 ． 34．如图，在中，，于，平分交于，交于，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． (填序号) 35．如图，和都是等腰直角三角形，，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结下列结论中，正确的结论有 填序号 ；是等腰直角三角形；；； 36．如图，△ABC角平分线AE、CF交于点P，BD是△ABC的高，点H在AC上，AF＝AH，下列结论：①∠APC＝90°+ABC；②PH平分∠APC；③若BC＞AB，连接BP，则∠DBP＝∠BAC﹣∠BCA；④若PH∥BD，则△ABC为等腰三角形，其中正确的结论有 （填序号）． 37．如图，在△ABC中，点P、Q分别是BC、AC边上的点，PSAC，PRAB，若AQPQ，PRPS，则下列结论：①ASAR；②QP∥AR；③△BRP ≌△CPS；④S四边形ARPQ=．其中正确的结论有 （填序号）. 38．如图，AD和BE是△ABC的角平分线且交于点O，连接OC，现有以下论断： ①OD⊥BC；②∠AOC=90°+ ∠ABC；③OA=OB=OC；④OC平分∠ACB；⑤∠AOE+∠DCO=90°其中正确的有 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论： ①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC； ④EF＝AP．上述结论正确的有 ． 40．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，则下列结论中正确的有 ．（将所有正确序号填在横线上） ①平分；②，③；④若，，则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题21 全等三角形综合题（共40道） 1．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连结，．下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的有（      ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用证明，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，据此选择即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等，故①正确； ∵是的中线， ∴，和不一定相等，故②错误； 在和中， ， ∴，故③正确； ∴， ∴，故④正确； 没有条件可以证明，故⑤不一定正确， 综上所述，正确的结论为：①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 2．如图，已知在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（  ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，再逐个去推理即可 【详解】， ， 即． 在和中， ， ， ．故①正确； ， ． ， ， ， ． ；故②正确； ，， ， ． ，故③正确； ∵，，， ∴④，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 3．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于选择题中的压轴题． 4．如图，、是的角平分线，，，，垂足分别为，，．下列说法：①平分；②；③当时，；④是的中点；⑤．其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可 【详解】解： 是的角平分线，，， ，， ， ，即平分，故①正确； 反例：如图，当时，点可以重合，此时，    也不能判断是的中点，故②④错误； 延长交于点，    ，是的角平分线， ， ， ，， 同理可证 ， , ， ， ， 是的角平分线， ， ， ，故③正确； 反例：若 是的角平分线，， ， ， ， ，故⑤不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是本题的关键． 5．如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据，，证明，得到，，，结合，，继而得到，得，判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故①②③都正确． 故选D． 6．如图，已知与均为等腰直角三角形，点E在边上，连接，的延长线交于点F，且平分；则下列结论中：①，②；③，④平分，正确的个数有(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据证明与全等，进而证明，，再利用全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵与均为等腰直角三角形， ∴，， 在与中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分，故④正确； 故选：D 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答． 7．如图，与均为等腰三角形，，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．过点A作于点M，于点N，证明，即可判断①③④正确． 【分析】解：过点A作于点M，于点N， ∵ ∴ 在和中， ∴，故①正确， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴，故③正确， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴平分，故④正确， 在和中，， 由于无法判断， 故无法判断，故与不一定相等．故②错误． 故选：C． 8．如图，在中，点、在边上，点在边上，将沿着翻折，使点和点重合，将沿着翻折，点恰与点重合．结论：①；②；③；④其中正确的有（    ） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．将沿着翻折，可得，，将沿着翻折，可得，，进而得到，，从而判断①②正确，再假设③④成立，得到与题干条件矛盾，从而判断①②不一定正确． 【详解】解：∵将沿着翻折，使点B和点E重合， ∴，， ∵将沿着翻折，点C恰与点A重合， ∴，， ∴，∴④正确； ∵， ∴，故③正确； 当，则， ∴，， ∴为等边三角形，与题干条件矛盾，故①不准确， 同理：当，而，， 则， ∴， 结合三角形的内角和可得：，与题干条件矛盾，故②不准确， 故选：B． 9．如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用证明，得出，，进而可判断③；利用证明，即可判断①；利用可证明，即可判断④，由已知条件可证明，无法证明，即可判断②． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴，， 故①正确； ∵，，， ∴， 故④正确； ∵，， ∴，即， 无法证明，故②错误； 故选：C． 10．如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，平行线的性质，角平分线的判定，由角平分线的判定定理即可判断②；证明即可判断①；由平行线的性质得到，根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断③；由于只有，并不能得到，即可判断④. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平分，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故③错误； ∵， ∴， 由于只有，并不能得到， ∴不成立，故④错误， 故选：B．    11．如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质、角的和差、三角形外角的性质等知识点逐个分析即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即①正确,,即③正确，； ∴, ∴，即②正确； ∵， ∴, ∵ ∴，即④正确； ∴正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键． 12．如如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定①；证明，推出，再证明，推出即可判定②；由，即可证明，可判断③；由，利用等高模型即可判定④，从而可得答案． 【详解】解：在中，， ， 又、分别平分、， ，， ， ，故①正确； ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ，，， ， 在△APH和△FPD中， ， ， ， ，故②正确； ，， ，，， ， ， ，即；故③正确； ， ，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 13．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得 ，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到． 【详解】解：设与的延长线交于点，   ， ∴， ∴，故①正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ，故④正确； 平分， ∴点到的距离相等，都设为， ，故③正确． 故选：B． 14．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正确；进而得，②正确；由得，③正确；点是线段上任意一点，由与不平行，与不平行，得，故，④不正确，所以有3个正确． 【详解】解： 平分 平分 平分,故①正确； ,故②正确； ，故③正确； 如图，点是线段上任意一点 与不平行，与不平行 ，故④不正确， 所以，正确的个数有3个． 故选：C． 15．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵， 故①正确； 如图，过点作于，    又 点F是的中点，故②正确； 故③正确； 故④错误； 故正确的有①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴，故②正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， ∵， ∴． 故③正确． ∵，，， ∴，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①AD平分∠MAC；②；③若，则，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据，利用三角形的面积公式即可判断②；先根据定理证出，，，再根据全等三角形的性质可得，，，设，则，然后根据角的和差可得，最后根据直角三角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断④． 【详解】解：如图，过点作于点， 分别平分，且， ， ， 又点在的内部， 平分，结论①正确； ， ，结论②正确； 在和中，， ， ， 同理可证：，， ，， 设，则， ， ， ，结论③正确； ， ， ， ， ，即， 在和中，， ， ， 由上已证：， ， ，结论④正确； 综上，结论中正确的个数为4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键． 18．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌，所以正确； ， ， ，所以正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ，所以错误； ≌， ， ， ， ， ，所以正确． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 19．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB． 【详解】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE=∠AMF=90°， ∵∠AED=∠MEF， ∴∠DAE=∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC=∠BAC， ∠DAE=90°-∠AED =90°-（∠ACE+∠EAC） =90°-（∠ACE+∠BAC） =（180°-2∠ACE-∠BAC） =（∠ABD-∠ACE）， ∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE； 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°， ∴∠AGH=∠MEF， ∵∠MEF=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题． ②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题． ③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可． ④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP． ⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可． 【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC ∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90° 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC ∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45° ∴∠APB=135°，故①正确 ∴∠BPD=45° 又∵PF⊥AD ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF 在△APH和△FPD中 ∴△APH≌△FPD（ASA） ∴PH=PD ∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确 ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD ∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD ∵∠HPD=90° ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP ∴S△EPH=S△EPD ∴S△APH=S△AED，故⑤正确 ∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD =S△ABP+S△APH+S△PBD =S△ABP+S△FPD+S△PBD =S△ABP+S△FBP =2S△ABP，故④不正确 若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH ∵DH∥BE ∴∠CDH=∠CBE=∠ABE ∴∠CDE=∠ABC ∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 21．如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 过点O作于点M，于点N，证明，得出，可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图，过点O作于点M，于点N， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22．如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有： ．（只填序号）    【答案】①②③④ 【分析】①通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到和，从而证明，根据全等三角形对应边相等得到结论；②过点作于点，通过证明是的垂直平分线就易得出结论；③通过证明和来证明结论；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据，即可得出结论． 【详解】①∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①正确 ②过E作于点G． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即G是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即．故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，， ∵，∴， ∴． ∴，故③正确；    ④如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，     ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， 即 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 【答案】③⑤⑥ 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误； 延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确,④错误；因为，所以，可判断⑤正确；由，且，得，可判断⑥正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等， 故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等， 故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴ 故③正确，⑤正确，④错误； ∵， ∴， 故⑥正确， 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 24．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解. 【详解】①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△ECB ∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△ECB ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∴∠ACP=∠BCQ， ∵AC=BC，∠DAC=∠QBC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确； ④∵BC∥DE， ∴∠CBE=∠BED， ∵∠CBE=∠DAE， ∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°， 同理可得出∠AOE=120°， ∵D，O，C，E四点共圆， ∴∠OCD=∠OED， ∴∠OAC=∠OCD， ∴∠DCE=∠AOC=60°， ∴OC平分∠AOE，故④正确； ⑤∵△ABC、△DCE为正三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°， ∴∠AOB=60°，故本选项正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键． 25．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论： ①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确． 【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点， ∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP． ①在△AEP与△CFP中， ∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF， ∴△AEP≌△CFP， ∴AE=CF．正确； ②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误； ③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE． ∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确； ④根据等腰直角三角形的性质，EF=PE， 所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误； 故答案为①③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP全等是解题的关键，也是本题的突破点． 26．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF ∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误． 【详解】解：在△ABE和△ACF中， ∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C， ∴△ABE≌△ACF， ∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC， ∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM，即∠EAM=∠FAN， 在△AEM和△AFN中， ∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN， ∴△AEM≌△AFN， ∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确； 在△ACN和△ABM中， ∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角）， ∴△ACN≌△ABM，故选项④正确； 若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误， 则正确的选项有：①③④． 故答案为①③④ 27．如图，于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，延长至点，若平分，平分，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 （写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据三角形三条高交于一点可得，即可利用三角形内角和定理证明，则①正确；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，再由三角形外角的性质得到，进而得到，则，则②正确；证明，得到，则③正确；证明，得到，得到，再由，得到，则④错误；根据全等三角形的性质即可证明，则⑤正确． 【详解】解：于点，于点，与交于点，连接并延长交于点， ， ，， ； 故①正确． ，，平分，平分， ，， ， ， ， ， ； 故②正确． 在和中， ， ， ； 故③正确． ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故④错误． ， ， ， ， ， ； 故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 28．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和交于点P，连结．有以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的序号是 ． 【答案】 【分析】首先由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，由此判断①；由全等三角形的判定定理可得出，由此判断②；由三角形全等的判定定理可得出，，然后根据全等三角形推出，由此判断③，根据全等可得、和的关系，由此判断④，由此即可解答本题． 【详解】∵，分别是和的平分线，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于F点，PG⊥AC于G点，PH⊥BC于H点， ∵，分别是和的平分线，，，， ∴， ∴平分， 故①正确； 由①可知：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 又∵，， ∴， 同理：， ∴，， 两式相加得：， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴，，，的高相等， ∵， ∴， 故④正确； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，角平分线的性质定理以及四边形内角为360°等知识，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 29．如图，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确．④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．③利用②的结论得出∠FGD=∠FEB，从而证明错误的．②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F，故①正确； ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∠BAF=∠ABC+∠C， ∴2∠BEF=∠BAF+∠C，即∠BEF=（∠BAF+∠C），故④正确； ∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠FGD=∠CBE+∠C=∠ABE+∠C，故③错误， ∵∠ABD=90°-∠BAC，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，∠CBD=90°-∠C， ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， ∵∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE， ∴∠F=（∠BAC-∠C）；故②正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 30．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论： ①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC． 其中结论正确的为 ．（填写结论的编号） 【答案】①②③ 【分析】①过点P做PD⊥AC，因为AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明即可得出结论； ②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，即可得到结论； ③由①可得，，故∠APC=∠MPN，因为∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣∠ABC，即可得出结论； ④由①可得，，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论． 【详解】解：①过点P做PD⊥AC，如图所示： ∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE ∴PM=PD ∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF ∴PM=PN ∴PD=PN ∵PC=PC ∴ ∴∠PCD=∠PCN，故①正确； ②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180° ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN） =-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN ∵外角定理 ∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确； ③由①可得，，且 ∴∠APC=∠MPN ∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360° ∴∠MPN=180°-∠ABC ∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确； ③由①可得，，且 ∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算，熟练各性质以及严谨的推理是解决本题的关键． 31．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，探究筝形的性质时，得到如下结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积．其中正确的结论有 ．        【答案】①②③ 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质．先证明与全等，再证明与全等即可判断． 【详解】解：在与中， ， ∴，故③正确； ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故①②正确； 四边形的面积， 故④错误； 故答案为：①②③． 32．如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余等知识，证明是解答本题的关键．根据可证明可判断①；求出可判断②；利用全等三角形的性质可判断③；无法判断④正确；利用三角形的面积公式可判断⑤． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 无法证明，故④不正确； ∵， ∴四边形的面积 ，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 33．如图，为的外角平分线上一点，过作于交的延长线于，且满足，则下列结论：①，②；③．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】由角平分线的性质得，再由，得，从而得，即可判断①正确；证明得，从而由，得可判断②正确；由邻补角及四边形的内角和可判断③正确；从而可以解答本题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 又 ∵ 故③正确； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂线定义、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． 34．如图，在中，，于，平分交于，交于，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． (填序号) 【答案】①②③④ 【分析】只要证明∠AFE＝∠AEF，四边形FGCH是平行四边形，△FBA≌△FBH即可解决问题． 【详解】∵∠FBD＝∠ABF，∠FBD＋∠BFD＝90°，∠ABF＋∠AEB＝90° ∴∠BFD＝∠AEB ∴∠AFE＝∠AEB ∴AF＝AE,故①正确 ∵FG∥BC，FH∥AC ∴四边形FGCH是平行四边形 ∴FH＝CG，FG＝CH，∠FHD＝∠C ∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90° ∴∠BAF＝∠BHF ∵BF＝BF，∠FBA＝∠FBH ∴△FBA≌△FBH（AAS） ∴FA＝FH，AB＝BH，故②正确 ∵AF＝AE，FH＝CG ∴AE＝CG ∴AG＝CE，故③正确 ∵BC＝BH＋HC，BH＝BA，CH＝FG ∴BC＝AB＋FG，故④正确 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是选择恰当的判定条件，同时要注意利用公共边、公共角进行全等三角形的判定． 35．如图，和都是等腰直角三角形，，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结下列结论中，正确的结论有 填序号 ；是等腰直角三角形；；； 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断正确；根据全等三角形对应角相等可得，从而求出，再求出，从而得到，根据四边形的面积判断出正确；再求出时，，判断出错误；与不一定相等判断出错误． 【详解】和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ≌， ，故正确； ， ， 在中，， ， ，故正确； 只有时，， ， 无法说明，故错误； ≌， ， 与相等无法证明， 不一定成立，故错误； 综上所述，正确的结论有共2个． 故答案为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 36．如图，△ABC角平分线AE、CF交于点P，BD是△ABC的高，点H在AC上，AF＝AH，下列结论：①∠APC＝90°+ABC；②PH平分∠APC；③若BC＞AB，连接BP，则∠DBP＝∠BAC﹣∠BCA；④若PH∥BD，则△ABC为等腰三角形，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】①利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可判断． ②利用反证法进行判断． ③根据∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），由此即可判断． ④利用全等三角形的性质证明CA＝CB即可判断． 【详解】解：∵△ABC角平分线AE、CF交于点P， ∴∠CAP＝∠BAC，∠ACP＝∠ACB， ∴∠APC＝180°﹣（∠CAP+∠ACP）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝90°+∠ABC，故①正确， ∵PA＝PA，∠PAF＝∠PAH，AF＝AH， ∴△PAF≌△PAH（SAS）， ∴∠APF＝∠APH， 若PH是∠APC的平分线，则∠APF＝60°，显然不可能，故②错误， ∵∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），故③错误， ∵BD⊥AC，PH∥BD， ∴PH⊥AC， ∴∠PHA＝∠PFA＝90°， ∵∠ACF＝∠BCF，CF＝CF，∠CFA＝∠CFB＝90°， ∴△CFA≌△CFB（ASA）， ∴CA＝CB，故④正确， 故答案为①④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 37．如图，在△ABC中，点P、Q分别是BC、AC边上的点，PSAC，PRAB，若AQPQ，PRPS，则下列结论：①ASAR；②QP∥AR；③△BRP ≌△CPS；④S四边形ARPQ=．其中正确的结论有 （填序号）. 【答案】①② 【详解】连接AP. ∵PR=PS，AP=AP，PR⊥AB，PS⊥AC， ∴△APR≌△APS， ∴AS=AR，①正确. ∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC， ∴AP是∠BAC的平分线， ∴∠BAP=∠QAP. ∵AQ=PQ， ∴∠QAP=∠QPA， ∴∠BAP=∠QPA， ∴QP∥AR，②正确. 点P是BC的上的点，并没有固定，明显△BRP≌△CSP不成立，故③不正确; ∵ 根据已知条件不能得出AR+AQ=(AB+AC)，故④错误；故答案为①②. 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用. 38．如图，AD和BE是△ABC的角平分线且交于点O，连接OC，现有以下论断： ①OD⊥BC；②∠AOC=90°+ ∠ABC；③OA=OB=OC；④OC平分∠ACB；⑤∠AOE+∠DCO=90°其中正确的有 【答案】②④⑤ 【详解】∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD不一定垂直BC，所以①错误； ∵AD和BE是△ABC的角平分线， ∴CO平分∠BOC，所以④正确； ∴∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=180°− ∠BAC− ∠BCA=180°− (180°−∠ABC)=90°+ ∠ABC，所以②正确； ∵点O为△ABC的内心， ∴OB、OC、OD不一定都相等，所以③错误； ∵∠AOE=∠OBA+∠OAB， ∴∠AOE+∠DCO=∠OBA+∠OAB+∠DCO= ∠ABC+ ∠BAC+ ∠ACB= ×180°=90°，所以⑤正确． 故答案为②④⑤． 点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键. 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论： ①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC； ④EF＝AP．上述结论正确的有 ． 【答案】①② 【分析】①在△APE和△CPF中，根据∠APE=∠CPF，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，证明APE≌△CPF（ASA），可知①正确；②根据①可得△EFP是等腰直角三角形，故②正确；③根据全等三角形面积相等得：S△APE=S△CPF，利用割补法得：S四边形AEPF=S△APC= S△ABC，故③错误；④EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误. 【详解】①∵AB=AC，P是BC的中点，∠BAC=90°， ∴AP⊥BC，AP=BC=PC， ∴∠CPF+∠APF=90°，∠BAP=∠C=45°， ∵∠EPF=90°， ∴∠APE+∠APF=90°， ∴∠APE=∠CPF， 在△APE和△CPF中， ∵， ∴△APE≌△CPF（ASA）， ∴AE=CF， 故①正确； ②∵△APE≌△CPF， ∴EP=FP， ∴△EFP是等腰直角三角形， 故②正确； ③∵△APE≌△CPF， ∴S△APE=S△CPF， ∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=S△ABC， 故③错误； ④由等腰直角三角形的性质，EF=PE， 所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①② 故答案为①② 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键，本题也可以看作是△APE绕点P顺时针旋转90°得到△CPF． 40．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，则下列结论中正确的有 ．（将所有正确序号填在横线上） ①平分；②，③；④若，，则． 【答案】①②③④ 【分析】①作PD⊥AC于D．由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确；即可得出答案． 【详解】解：①作PD⊥AC于D． ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PN，PM=PD， ∴PM=PN=PD， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， ∴∠ABC+∠MPN=180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM=∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD=∠CPN， ∴∠MPN=2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE=2∠PAM， ∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB， ∴∠ACB=2∠APB，③正确； ④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证）， ∴AD=AM， ∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证）， ∴CD=CN， ∴AM+CN=AD+CD=AC，④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$