专题23 全等证明——一题多解【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题23 全等证明——一题多解 1．如图，点在上，，．请用两种方法求证：． 2．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 3．下面是证明定理“等腰三角形两底角相等”的三种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 试证明等腰三角形两底角相等． 已知：中，． 求证：． 方法一： 证明：如图，取中点D，连接． 方法二： 证明：如图，过A作垂线段，交于D． 方法三： 证明：如图，作的角平分线，交于点D． 4．“倒过来想”是我们学好几何的重要思维方式之一．小明同学学完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”后，继续探索，发现“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”． 请你从不同的角度思考并证明． 已知：如图，在中，平分，D为中点．求证：是等腰三角形．（用两种不同的方法证明） 方法一：    方法二：    5．已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 6．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图甲所示的中，，点D在 上，且，求证：．他发现至少有三种方法． 【方法一】设 的度数为x，可以根据题中已知条件，通过计算的方法，用x表示 的度数来证明结论． 【方法二】如图乙，作，垂足为点E． 【方法三】如图丙，作，垂足为点F． 根据阅读材料，解决问题： (1)请你补充完整“方法一”的计算过程； (2)从“方法二”和“方法三”中再选一种方法，证明，并写出其证明过程． 7．下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 8．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，． 求证：． 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点． 方法2：如图③，在上取一点，使，连接、． （1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：． 9．(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 10．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 11．如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）． 12．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：． 13．如图，若为等边三角形，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转得到线段DE，连接BE．求证：在点D运动的过程中，恒有． 14．已知三角形ABC中，AB＝AC，延长CB到点D，延长BC到点E，使得BD＝CE，求证AD＝AE． 15．已知△ABC中，AD是∠A的平分线，D为BC边上的中点，证明AB＝AC 16．在三角形ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE＝OD 17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 18．如图所示，在△ABC中，，P是底边上任意一点，过点P作于点D，于点E，过点B作于点F．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题23 全等证明——一题多解 1．如图，点在上，，．请用两种方法求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，进行解答，即可． 【详解】证明，如下： 方法一： 在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 方法二：连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴． 2．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．下面是证明定理“等腰三角形两底角相等”的三种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 试证明等腰三角形两底角相等． 已知：中，． 求证：． 方法一： 证明：如图，取中点D，连接． 方法二： 证明：如图，过A作垂线段，交于D． 方法三： 证明：如图，作的角平分线，交于点D． 【答案】见解析 【分析】方法一：取中点D，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； 方法二：过A作垂线段，交于D．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； 方法三：作的角平分线，交于点D．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】解：方法一， 证明：如图，取中点D，连接．则， ∵，， ∴， ∴； 方法二： 证明：如图，过A作垂线段，交于D． ∵，， ∴， ∴； 方法三： 证明：如图，作的角平分线，交于点D． ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 4．“倒过来想”是我们学好几何的重要思维方式之一．小明同学学完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”后，继续探索，发现“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”． 请你从不同的角度思考并证明． 已知：如图，在中，平分，D为中点．求证：是等腰三角形．（用两种不同的方法证明） 方法一：    方法二：    【答案】见解析 【分析】方法一：延长至点，使，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，进而得到，即可；方法二：过点作，得到，证明，得到，即可． 【详解】证明：方法一：延长至点，使，    ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 方法二：过点作，则：，    ∵平分， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 5．已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等等： 方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵点D是中点， ∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴． 6．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图甲所示的中，，点D在 上，且，求证：．他发现至少有三种方法． 【方法一】设 的度数为x，可以根据题中已知条件，通过计算的方法，用x表示 的度数来证明结论． 【方法二】如图乙，作，垂足为点E． 【方法三】如图丙，作，垂足为点F． 根据阅读材料，解决问题： (1)请你补充完整“方法一”的计算过程； (2)从“方法二”和“方法三”中再选一种方法，证明，并写出其证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． （2）方法2，作，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出． 方法3，作，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到，再根据同角的余角相等，即可得到 ，进而得出． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴中， ； ∴ （2）方法2：如图2，作，垂足为点E． ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 方法3：如图3，作，垂足为点F． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等． 7．下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 【答案】证明见解析 【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法二：∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法三：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 8．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，． 求证：． 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点． 方法2：如图③，在上取一点，使，连接、． （1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：． 【答案】（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据线段的和差即可得证； 方法2：先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得，最后根据平行线的性质、平角的定义可得，由等腰三角形的定义可得，由此根据线段的和差即可得证； （2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出平分，从而有，再根据平行线的性质、角的和差得出，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】（1）方法1：如图②，延长、交于点 是的平分线 是边的中点 在和中， ； 方法2：如图③，在上取一点，使，连接、 是的平分线 在和中， 是边的中点 ，即 ，即 又 ； （2）如图，过点C作，交AE延长线于点G，延长GC交AB于点F，连接EF 由方法1可知： 是等腰三角形 平分 ， ，即 在和中， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 9．(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可； 方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可． 【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G． ∴∠F=∠CGE=90°， 在△BFE和△CGE中，， ∴△BFE≌△CGE（AAS）， ∴BF=CG， 在△ABF和△DCG中，， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB=CD； 方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F． ∴∠F=∠BAE． 又∵∠BAE=∠D， ∴∠F=∠D， ∴CF=CD， 在△ABE和△FCE中，， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=CF， ∴AB=CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 11．如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）． 【答案】见解析 【分析】解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质证明∠B+∠BDF=90°即可得到答案； 解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，根据三角形内角和定理和平行线的性质证明∠ADF+∠EDA=90°，即可得到答案． 【详解】解：ED⊥BC，证明如下： 解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F， ∵AB=AC，AD=AE， ∴∠E=∠ADE，∠C=∠B， ∵∠ADE=∠BDF， ∴∠E=∠BDF， ∵∠E+∠C=∠BFD，∠B+∠BFD+∠BDF=180° ∴∠E+∠B+∠C+∠BDF=180°即2∠B+2∠BDF=180°， ∴∠B+∠BDF=90°， ∴ED⊥BC； 解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F， ∵AB=AC，AD=AE， ∴∠E=∠ADE，∠C=∠B， ∵DF∥BC， ∴∠B=∠ADF，∠C=∠AFD ∴∠AFD=∠ADF， ∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，即∠E+∠EDA+∠ADF+∠EFD=180°， ∴2∠ADF+2∠EDA=180°， ∴∠ADF+∠EDA=90°， ∴∠EDF=90°， ∴ED⊥DF， ∴ED⊥BC． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，垂直的判定，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证； 方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得； 方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证． 【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使， 连接DE， 因为BD是的平分线， 所以． 在和中， 因为 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 方法2  补短 如图，延长BA到点E，使． 因为BD是的平分线， 所以 在和中， 因为， 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 方法3  构造直角三角形全等 作于点E．交BA的延长线于点F 因为BD是的平分线， 所以． 因为，， 所以， 在和中， 因为， 所以， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 13．如图，若为等边三角形，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转得到线段DE，连接BE．求证：在点D运动的过程中，恒有． 【答案】见解析 【分析】方法1：连接AE．易证△ADE为等边三角形，利用SAS证明△EAB≌△DAC，即可证明CD=BE； 方法2：过点D作DF//AB交AC于点F．易证△FDC为等边三角形，利用SAS证明△ADF≌△DEB，即可证明CD=BE． 【详解】证明：方法1： 如图，连接AE． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB= AC， ∵连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠EAD=∠BAC=60°， ∴∠EAB=∠DAC， 又AE=AD，AB=AC， ∴△EAB≌△DAC(SAS)， ∴CD=BE． 方法2： 如图，过点D作DF//AB交AC于点F． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，AB= AC=CB， ∵DF//AB， ∴∠BAC=∠FDC=∠ABC=60°， ∴∠C=∠FDC=60°， ∴△FDC为等边三角形， ∴CF=CD=DF， ∴AF=DB， ∵连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE， ∴AD=DE，∠ADE=∠C=60°， 由三角形的外角性质得∠ADE+∠EDB=∠C+∠CAD， ∴∠EDB=∠CAD， ∴△ADF≌△DEB(SAS)， ∴DF=BE，即CD=BE． 14．已知三角形ABC中，AB＝AC，延长CB到点D，延长BC到点E，使得BD＝CE，求证AD＝AE． 【答案】见解析 【分析】方法1：证明（SAS），即可得； 方法2：证明（SAS），即可得； 方法3：过点A作AH⊥DE，先证明（HL），得BH=CH，即可得出DH=EH，再证明（SAS），即可得． 【详解】证明：方法1：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABC和△ACE中， ∴（SAS） ∴AD＝AE； 方法2：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD＝CE， ∴BD＋BC＝BC＋CE， 即CD＝BE， 在△ACD和△ABE中， ∴（SAS）， ∴AD=AE； 方法3：如图所示，过点A作AH⊥DE ∵AH⊥DE， ∴∠AHD＝∠AHE＝90°， 在和中， ∴（HL）， ∴BH＝CH， ∵BD＝CE， ∴BD＋BH＝CE＋CH， 即DH＝EH， 在和中， ∴（SAS） ∴AD＝AE． 15．已知△ABC中，AD是∠A的平分线，D为BC边上的中点，证明AB＝AC 【答案】见解析 【分析】方法1：根据中点，构造倍长中线的全等即可证明； 方法2：利用角平分线的性质做高，再结合中线平分面积证明即可； 【详解】方法1：见中点，倍长中线构造全等，运用等角对等边证线段相等； 证明：延长AD至点E使得AD＝DE，连接BD ∵D是BC的中点 ∴BD＝AC 在△ADC和△EDB中 AE＝DE ∠BDE＝∠ADC BD＝CD ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE＝AC，∠CAD＝∠E ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠DAC ∴∠BAD＝∠E ∴BA＝BE 方法2：面积法 证明：过点D作DE⊥AB，过点F作DF⊥AC ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴DE＝DF ∵D是BC的中点 ∴S△ABD＝S△ADC ∴×AB×DE＝×AC×DF ∴AB＝AC 16．在三角形ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE＝OD 【答案】见解析 【分析】方法1：利用角平分线截取等线段SAS全等，通过OD、OE都与第三边相等证明OE＝OD； 方法2：利用角平分线上的点到两边距离相等作垂直构造与OD、OE有关的三角形全等； 【详解】方法1：截取等线段得全等； 在AC上截取CF＝CD，连接OF ∵CE，AD分别是∠BCA，∠BAC的角平分线 ∴∠DCO＝∠OCF，∠FAO＝∠EAO 在△ODC和△OFC中 OC＝OC ∠DCO＝∠OCF CD＝CF ∴△ODC ≌ △OFC(SAS) ∴∠DOC＝∠FOC，OF＝OD ∵∠B＝60° ∴∠BAC＋∠ACB＝120° ∴∠OAF＋∠FCO＝60° ∴∠AOE＝∠OAF＋∠FCO＝60° ∴∠DOC＝∠EOA＝60° ∴∠FOC＝∠DOC＝60° ∴∠AOF＝180°－∠COF－∠DOC＝180°－60°－60°＝60° 在△AEO和△AFO中 ∠EAO＝∠FAO AO＝AO ∠EOA＝∠AOF ∴△AEO  ≌  △AFO(ASA) ∴ OE ＝ OF ∴OE＝OD 方法2：角平分线上的点到两边距离相等； 过点O分别向AB，BC，CD作垂线，垂直分别是J，H，I ∵CE，AD是三角形ABC的角平分线， ∴OH＝OI＝OJ ∵CE，AD分别是∠BCA，∠BAC的角平分线 ∴∠DCO＝∠OCI，∠IAO＝∠EAO ∵∠B＝60° ∴∠BAC＋∠ACB＝120° ∴∠OAI＋∠ICO＝60° ∴∠AOE＝∠OAI＋∠ICO＝60° ∴∠EOD＝120° 在四边形BJOH中 ∠HOJ＝360°－60°－90°－90°＝120° ∴∠EOJ＝∠HOD 在△OEJ和△OHD中 OJ＝OH ∠EOJ＝∠HOD ∠EJO＝∠OHD ∴△OEJ ≌ △OHD（ASA） ∴OE＝OD 17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】见解析 【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【详解】方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 18．如图所示，在△ABC中，，P是底边上任意一点，过点P作于点D，于点E，过点B作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】方法1: 过点P作于点H，证四边形PEFH是矩形和即可； 方法2：连接AP，利用等积法证明即可． 【详解】方法1　如图5－50所示，过点P作于点H，易证四边形PEFH是矩形． ，∥， ． ， ， ． 于点D， ． 在△BDP和△PHB中， ， ． ． ． 方法2　如图5－51所示，连接AP． 于点D，于点E，于点F， ，，． ， ． 又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$