精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度（下）沈阳市五校协作体期末考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1―11题58分） 第二部分：非选择题型（12-19题92分） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 4. 已知数列的通项公式为，则此数列的最大项为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为 A. B. C D. 6. 已知是数列的前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为7 B. 若，则． C. 在一组样本数据，（，，不全相等）散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4 10. 数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 可能为常数列 B. 数列可能为公差不为0的等差数列 C. 若，则 D. 若，则的最大项为 11. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 第Ⅱ卷（选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是与等差中项，2是与的等比中项，则_________． 13. 若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为__________. 14. 已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和，数列满足 ，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 18. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 19. 定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"． （1）若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)； （2）若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围； （3）若“跳动数列”满足，证明：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度（下）沈阳市五校协作体期末考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1―11题58分） 第二部分：非选择题型（12-19题92分） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围 【详解】解：因为集合中至少有2个元素， 所以，解得， 故选：D 2. 已知命题，，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得命题的充要条件，再结合选项进行选择即可. 【详解】命题，，等价于恒成立； 又在单调递减，在单调递增， ，故在上的最大值为； 故恒成立，即，也即命题的充要条件为； 结合选项，的一个充分不必要条件是. 故选：B. 3. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件概率公式和互斥事件概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 4. 已知数列的通项公式为，则此数列的最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：利用作差法求解；法二：设数列第n项最大，由求解. 【详解】解：方法一：－＝·， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 所以数列有最大项，为第8项和第9项，且. 方法二：设数列的第n项最大，则， 即， 解得，又，则或， 故数列有最大项，为第8项和第9项，且. 故选：D 5. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案． 【详解】∵f（﹣x）f（x）， ∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D； 又x=1时，<0， ∴排除B， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题． 6. 已知是数列的前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出，再利用等比数列求出通项公式即得. 【详解】数列的前项和，由，，得，解得， 因此数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 所以. 故选：A 7. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，则即构造，由的单调性可知，，构造，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围. 【详解】解法一：不等式，即 ， 设，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故只需， 所以，即. 设，则在上单调递增，又， 所以，设，则， 所以在上单调递增，所以的值域为，即的取值范围为. 解法二：由题意将原不等式变形可得， 即，令，则有，即 因为，所以有对于任意的恒成立， 令，则 因为，且当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取极大值，也是的最大值 所以 又因为，所以 故选：C 【点睛】关键点点睛： 1、构造，原不等式恒成立转化为有成立； 2、由导数知在使得，此时保证即原不等式恒成立； 3、由上得，构造讨论单调性，求得的值域. 8. 设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 【详解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点； 时，若，对称轴为，函数的大致图象如图： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得（舍去）， 显然在上存在唯一负解， 所以要使恰有5个零点， 需，即，解得， 所以． 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决; （3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据方差为2，则数据的方差为7 B. 若，则． C. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4 【答案】BD 【解析】 【分析】利用方差的概念，条件概率公式，线性回归分析等知识分别对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A不正确； 对于选项B：若，则 ，故B正确； 对于选项C：在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确； 对于选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和4，故D正确. 故选：BD. 10. 数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 可能为常数列 B. 数列可能为公差不为0的等差数列 C. 若，则 D. 若，则的最大项为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，确定方程的解判断A；利用等差数列定义计算判断BCD. 【详解】对于A，令，由，可得，解得，A正确； 对于B，若数列为公差不为0的等差数列，由，得， 则不会非零常数，B错误； 对于C，， 因此数列是首项为1，公差为的等差数列， 则，C错误； 对于D，，则，即， 当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断. 【详解】对于A，因为， 令，则，故，则，故A正确； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 令，则，又不恒为0，故， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，因为为偶函数，所以， 令，则，故， 令，则，故， 又为奇函数，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知， 所以，故的一个周期为6， 因为，所以， 对于， 令，得，则， 令，得，则， 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 又， 所以由的周期性可得： ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性，再结合题设条件推得为周期函数，从而得解. 第Ⅱ卷（选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是与的等差中项，2是与的等比中项，则_________． 【答案】17 【解析】 【分析】利用等比中项和等差中项的性质结合完全平方公式求解即可. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 因为2是与的等比中项，所以，而. 故答案为：17 13. 若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑函数，判断得是奇函数，根据奇函数对称性，结合在上的最值情况即可得解. 【详解】考虑函数，定义域为R， 又 ， 所以是奇函数，则， 设的最大值为，最小值为，则， 又， 所以，， 所以， 则，所以， 故答案为：9. 14. 已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把转化为，设，原问题就转化成在上单调递减，然后利用在上，恒成立，分离参数，结合基本（均值）不等式，可求的取值范围. 【详解】由，且， 所以. 设，， 则原问题转化为在上单调递减. 所以在上恒成立， 即，恒成立. 因为（当且仅当即时取“”） 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题的关键是把转化为，设，原问题就转化成在上单调递减，然后利用函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和，数列满足 ，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对于 ，通过 与 的关系解决，对于 ，转换为等比数列解决； （2）运用错位相减法求和. 【小问1详解】 当时，； 当时，， ， ， 由题可得 ，得 ， 是首项为，公比为2的等比数列， ； 【小问2详解】 ，①，②， ①-②得：， . 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导可得，可求单调区间； （2）分离变量，可得，令，求得的最大值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，所以， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 综上所述：在上为减函数，在上为增函数； 【小问2详解】 若，不等式恒成立， 则对均成立，所以 令， 则， 令，显然为上的减函数， 又， 所以，，则在上为增函数， 当时，，则在上为减函数， 所以，所以，所以， 所以实数取值范围为. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 【小问2详解】 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 18. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 19. 定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"． （1）若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)； （2）若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围； （3）若“跳动数列”满足，证明：或． 【答案】（1），是“跳动数列” （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，从而有是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式，由，即可判断； （2）依题意是“跳动数列”，再由等比数列的通项公式得到关于的不等式，解得即可； （3）由是“跳动数列”，得到，即可得到，再代入，得到关于的不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为且， 当时，解得， 当时，所以， 即，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为 ， 所以位于与之间，所以是“跳动数列”； 【小问2详解】 由 “跳动数列”的定义可知：是“跳动数列”， 若公比为的等比数列是“跳动数列”， 则， 即，所以， 即，解得， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由，可得， 所以 ， 则 ， 由是“跳动数列”， 可得， 即， 即， 即， 所以，又， 所以， 即，解得或，故命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$