专题06 集合与常用逻辑用语54道必考压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题06 集合与常用逻辑用语54道必考压轴题型专训（9大题型） 题型一 元素与集合的关系压轴题 题型二 根据集合间的关系求参数 题型三 交、并、补集的混合运算 题型四 根据集合的运算结果求参数 题型五 集合新定义压轴题 题型六 充分条件与必要条件压轴题 题型七 根据命题的真假求参数 题型八 全称量词与必要量词压轴题 题型九 集合与常用逻辑用语综合 【经典例题一 元素与集合的关系压轴题】 1．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，则实数的所有可能取值是 3．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合； (1)判断元素7是否属于，并说明理由； (2)已知实数，证明：； (3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论； 4．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)①求证：；②求证：. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 6．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合）具有性质：对任意与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求. 【经典例题二 根据集合间的关系求参数】 1．（22-23高三上·上海宝山·开学考试）若、，点集，，，则（    ） A． B． C． D．以上皆错 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 3．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）已知集合，若，求实数的取值范围； 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 6．（22-23高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 【经典例题三 交、并、补集的混合运算】 1．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 3．（22-23高一上·广东深圳·期中）设全集，集合，， (1)求； (2)求． 4．（22-23高一上·广东中山·期末）已知集合，或，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 5．（22-23高一下·四川乐山·阶段练习）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 6．（22-23高一上·上海嘉定·阶段练习）设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为且. （1）若，，求差集； （2）若，求出一个集合B，使其满足； （3）请从问题（1）或（2）中选出一组集合，计算，在此基础上写出集合的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与相等，并说明理由. 【经典例题四 根据集合的运算结果求参数】 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，. (1)若，求集合； (2)若且，求实数a的取值范围. 4．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）设集合. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 5．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【经典例题五 集合新定义压轴题】 1．（22-23高一上·上海杨浦·期中）对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 5．（22-23高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 6．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：． (1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）； (2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； (3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立： ①． ②三个数中至少有一个是偶数． 【经典例题六 充分条件与必要条件压轴题】 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 3．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）设集合，. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围. 6．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合． (1)当时，求； (2)若选______，求实数的取值范围． 【经典例题七 根据命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． (1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 6．（22-23高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且，为真命题，求的取值范围. 【经典例题八 全称量词与必要量词压轴题】 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·四川泸州·阶段练习）已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 5．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 6．（22-23高二下·四川绵阳·阶段练习）设命题 ​: 实数​满足​， 命题​: 实数​满足​. (1)若命题“ ​”是真命题， 求实数​的取值范围; (2)若命题 ​是命题​的必要不充分条件， 求实数​的取值范围. 【经典例题九 集合与常用逻辑用语综合】 1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 集合与常用逻辑用语54道必考压轴题型专训（9大题型） 题型一 元素与集合的关系压轴题 题型二 根据集合间的关系求参数 题型三 交、并、补集的混合运算 题型四 根据集合的运算结果求参数 题型五 集合新定义压轴题 题型六 充分条件与必要条件压轴题 题型七 根据命题的真假求参数 题型八 全称量词与必要量词压轴题 题型九 集合与常用逻辑用语综合 【经典例题一 元素与集合的关系压轴题】 1．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断． 【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S. 对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对； 对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对； 对于③，若l=，可得，则.∴③对 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，则实数的所有可能取值是 【答案】 【解析】先将的可能结果列出，然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合. 【详解】将表示为，可得如下结果： ， ， ， ， ， 其中为，，都出现了次，所以若方程至少有三组不同的解， 则的取值集合为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程至少有三组不同的解的含义，即的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解. 3．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合； (1)判断元素7是否属于，并说明理由； (2)已知实数，证明：； (3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论； 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析. 【分析】（1）由题设且，讨论、对应值，求出参数，判断是否满足即可； （2）假设，讨论分解的可能组成，讨论、求，结合即可证结论； （3）令且，研究是否为两个整数的平方差形式，即可得结果. 【详解】（1）若，则，又， 所以或或或， 解得或或或，显然满足要求， 所以. （2）若，则，而可分解为一个奇数与偶数的乘积形式， 不妨令或或或， 解得或或或，，显然不符合， 所以. （3），证明如下： 由，即，且， 所以 ， 显然、，故. 4．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)①求证：；②求证：. 【答案】(1)集合M具有，集合N不具有，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用性质的定义判断即可； （2）利用，可得，又，，分析可得，即得解； （3）① 由 ，，可证明； ② 由，以及，可得，将等式左右两边相加可证明. 【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质 理由如下： 对集合，由于 所以集合具有性质； 对集合，由于，故集合不具有性质. （2）由于，故 又，故 又，故 因此集合 （3）①由于，故 ，故得证 ②由于 故 又 将各个式子左右两边相加可得： 故得证 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1349 【分析】(1)根据题目的定义，即可求得. (2)根据集合相等的概念，可以证明. (3)通过假设 ，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）当，则， （2）证明：因为集合，，且，所以中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，所以. （3）集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则， 所以，因为，由容斥原理，， 所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得， 实际上，当时满足题意； 证明如下：设，则 ，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时， 集合中元素最多，即时满足题意， 综上，的最大值为. 6．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合）具有性质：对任意与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求. 【答案】(1)具有性质，不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）由定义证明. （2）由定义知,，可得，再由，，可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 ，进而得到答案. 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而,所以，.故. （3）因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以，则. 【点睛】集合新定义问题处理方法： ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 【经典例题二 根据集合间的关系求参数】 1．（22-23高三上·上海宝山·开学考试）若、，点集，，，则（    ） A． B． C． D．以上皆错 【答案】A 【分析】作出集合表示的平面区域，可得结论． 【详解】如图，集合表示以为顶点的正方形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为顶点的六边形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为焦点，为长轴（长轴长为）的椭圆内部（不含边界）点的集合， 由图可得， 故选：A． 【点睛】本题考查集合间的关系，解题方法在平面直角坐标系上作出集合表示的点集，由图形得出集合间的包含关系． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）已知集合，若，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】根据题意，对集合是否为空集进行讨论，列不等式组即可解得答案. 【详解】若集合，则，解得，此时满足， 若集合，由可得解得， 所以实数的取值范围是：. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 5．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 6．（22-23高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 【答案】(1)具有，不具有 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义直接判断即可； （2）根据性质的定义可得，结合与是集合中的最大值可得，再根据裂项方法证明即可； （3）先假设，再根据分别推导的最小正整数值，进而推出矛盾即可. 【详解】（1）对集合，因为，，，故 具有性质. 对集合，，故不具有； （2）因为集合具有性质，所以对于、有； 因为，所以， 因为是集合中的最大值， 则 ； （3）假设集合的元素个数大于，即 因为集合具有性质，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 以此类推，得，，，，，，， ，所以， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，故. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【经典例题三 交、并、补集的混合运算】 1．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项. 【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）: 图中，，图中，所以， 故（1）正确； 对于（2）：图中，成立， 图中，，， 所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 3．（22-23高一上·广东深圳·期中）设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出集合，再求. 【详解】（1）集合. 因为，所以. （2）因为集合，，所以, 所以或. 4．（22-23高一上·广东中山·期末）已知集合，或，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，求出的补集，求出与补集的并集即可； （2）由与以及两集合的交集为空集，对进行分类讨论，把分类结果求并集，即可求出结果. 【详解】（1）将代入集合中的不等式得：， ∵或， ∴或，， 则； （2）∵，或， 当时，；此时满足， 当时，，此时也满足， 当时，，若，则，解得：； 综上所述，实数的取值范围为 5．（22-23高一下·四川乐山·阶段练习）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果； （2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时； 当时，， 由数轴法得，解得，故； 综上：，即. 6．（22-23高一上·上海嘉定·阶段练习）设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为且. （1）若，，求差集； （2）若，求出一个集合B，使其满足； （3）请从问题（1）或（2）中选出一组集合，计算，在此基础上写出集合的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与相等，并说明理由. 【答案】（1）； （2）（答案不唯一）； （3）答案见解析. 【分析】（1）求得集合，根据集合的新定义，即可求解； （2）求得集合或，根据，结合集合的运算，即可求解； （3）由（1）中，根据集合新定义，求得，根据集合交集和补集的运算，求得，即可求解. 【详解】（1）由集合，， 根据集合的新定义，可得且. （2）由不等式，解得或， 所以集合或， 又由且， 所以集合可以为：（答案不唯一）. （3）由（1）知，，可得， 则， 因为，， 所以. 【经典例题四 根据集合的运算结果求参数】 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解. 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，. (1)若，求集合； (2)若且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的运算可得； （2）由得，再根据分类，可得. 【详解】（1）或， 当，，所以 （2）当时，，满足题意； 当时，， 由得，所以，得，故， 综上 4．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）设集合. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合以及根与系数关系来求得的值； （2）根据，结合判别式进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得或，所以. 对于一元二次方程，至多有个不相等的实数根， 由于，故， 由根与系数关系得，解得 （2）对于一元二次方程， ， 当，即时，，满足. 当，即时，， 解得，则，，不符合题意. 当，即时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 由于，所以，由（1）得. 综上所述，的取值范围是. 5．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值. 【详解】（1）根据定义：，， 所以，； （2）由于集合，，且， 所以也只有四个元素， 即， 所以其余的则应满足， 所以，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以， 因为， ， 因为， 所以， 中最小的元素为，最大的元素为， ， 所以， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为674， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维. 【经典例题五 集合新定义压轴题】 1．（22-23高一上·上海杨浦·期中）对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类： 第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集； 在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射 设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为 故选：B 2．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 5．（22-23高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的定义，求出集合C及其元素个数作答. （2）分中至少含有一个不在D中的元素、两种情况分别推理作答. （3）根据给定条件，确定集合中的元素个数即可计算作答. 【详解】（1）集合，而， 所以，. （2）依题意，，，当且仅当时取等号， 若中至少含有一个不在D中的元素，则有， 当时，则有，因为有限集，且，令的最小元素为， 此时集合A中最小的元素，集合B中最小的元素，因此集合C中最小的元素，即， 于是得，有， 所以. （3），因集合，若或，则，不符合题意，因此且， 当集合中有存在3元素的集合时，不妨令，令，若， 则有，即集合C中至少有4个元素，不符合题意，同理，因此，， 当集合都只有1个元素时，集合C只有1个元素，不符合题意， 当集合中一个只有1个元素，另一个有两个元素时，集合C只有2个元素，不符合题意， 当集合都有2个元素时，令，， ，若，有，满足，此时， 若，有，此时，不符合题意， 所以或的值可能为4. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 6．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：． (1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）； (2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； (3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立： ①． ②三个数中至少有一个是偶数． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）（2）由新定义计算， （3）由新定义与反证法证明， 【详解】（1）由题意得， ，则可能的值为， （2）设，4个元素中第1个位置共个，个0， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若要使最大，则，同理得第2，3，4个位置各有2个，2个0， 的最大值为， （3）①由题意得，， 若，则，，， 若，则，，， 故， ②由①可设，，， 则中有个1，中有个1， 设是使得成立的的个数， 则， 假设均为奇数，则为偶数，矛盾，故假设不成立， 故三个数中至少有一个是偶数． 【经典例题六 充分条件与必要条件压轴题】 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 3．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 4．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，根据得到，解得答案. （2）确定是的非空真子集，得到，解得答案. 【详解】（1）由不等式，解得，则， 或，，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）或，， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又由题意知，所以是的非空真子集，， 解得，所以实数的取值范围为. 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）设集合，. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把题意转化为集合的关系，然后根据集合关系列不等式求解即可； （2）根据交集运算结果得，然后根据和分类讨论，列不等式组求解即可. 【详解】（1）由是的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 故，所以，即实数的取值范围为. （2）因为，所以， 当时，，所以，满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 6．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合． (1)当时，求； (2)若选______，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用并集的概念计算即可； （2）若选①，判定得，由集合的关系求参数即可；若选②，判定得，由集合的关系求参数即可；若选③，由集合的关系求参数即可. 【详解】（1）当时，, 则； （2）选①，由题意可知，则，解得， 当时，，合乎题意， 当时，，合乎题意. 综上所述，； 选②，由题意可知，则，解得， 所以，； 选③，，则或，解得或. 所以，a的取值范围为{或}. 【经典例题七 根据命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【详解】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 2．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 3．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解. （2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． (1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果. （2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）当时，由， 得，即：若为真命题，则； 若为真命题，即恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 故． 故若为假命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围为． （2）对于，且． 对于，，则：或． 因为是的充分不必要条件， 所以，解得． 故的取值范围是. 5．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1），可转化个； （2），可转化成方程有两不等实根； （3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案 【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. （3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合（1）（2）得或， 因此，实数m的取值范围是 6．（22-23高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且，为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）利用补集的定义可求得集合，利用补集和交集的运算可求得集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由已知可得，或， 因此，或. （2）解：由题意可知. 当时，，即，； 当时，由可得，或，解得， 综上，的取值范围为或. 【经典例题八 全称量词与必要量词压轴题】 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 2．（22-23高一上·四川泸州·阶段练习）已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据含量词命题的否定得到真命题，转化为，不等式求解即可. 【详解】“对任意，存在，使得”为假， 则“存在，对任意的，使得”为真， 即，故，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 5．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式即可求出的范围； （2）由（1）为假命题时，的范围，再分别求出为真命题和假命题时的范围，最后分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）当为真命题时， 则，解得， ∴的取值范围为. （2）由（1）得当为假命题时，则 若命题q为真命题， 当时，函数有一个零点，则p真， 当且，则p真， ∴命题q为真时，； ∴命题q为假命题时，则或， ∵p，q有且只有一个真命题， ∴p真q假，或p假q真， 当p真q假时，且或，解得：， 当p假q真时，，解得：， 综上可知，或， 故所求实数m的取值范围是. 6．（22-23高二下·四川绵阳·阶段练习）设命题 ​: 实数​满足​， 命题​: 实数​满足​. (1)若命题“ ​”是真命题， 求实数​的取值范围; (2)若命题 ​是命题​的必要不充分条件， 求实数​的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，然后根据求解即可； （2）命题 ​是命题​的必要不充分条件,然后按照​是​的真子集求解即可； 【详解】（1）因为命题" ​"是真命题，所以​， 所以 ​解得​，即实数​的取值范围是​. （2）命题 ​是命题​的必要不充分条件,所以​是​的真子集， 若 ​即​， 此时​，满足​是​的真子集， 若 ​即​，因为​是​的真子集， 所以, ​解得​， 经检验 ​时，​满足​是​的真子集， 综上，实数 ​的取值范围是​. 【经典例题九 集合与常用逻辑用语综合】 1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【解题思路】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围. 【解答过程】由于命题：“，”是真命题， 所以， ，则 解得 综上，的取值范围是. 2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【解答过程】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可； （2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案 【解答过程】解：（1）①当B为空集时，成立. ②当B不是空集时，∵，，∴ 综上①②，. （2），使得，∴B为非空集合且. 当时，无解或，， ∴. 4．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案； （2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案. 【解答过程】（1）因为为真命题，所以方程有解，即， 所以，即； （2）因为是的必要不充分条件，所以且， i）当时，，解得； ii）当时，，且等号不会同时取得， 解得， 综上，. 5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围 【解答过程】（1）当时，集合，， 所以； （2）若选择①A∪B＝B，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 若选择③，， 因为，， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围是． 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$