专题02 集合中新定义问题（上海各大名校50题专项训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

专题02 集合中新定义问题（上海各大名校50题专项训练） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据新定义可确定集合中元素个数，从而解得的取值即可. 【详解】由于，，且， 则或. 显然，则，故， 当是的根时，则，解得， 此时方程为，解得，满足题意； 当不是的根时，有两个相等的实数根， 故，从而， 综上所述，. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，，，故②正确； 对于③，对，，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中假命题的个数是1个. 故选：B. 3．（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【分析】根据题意，得到伙伴关系集合为，共有4组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，因为，而， 所以集合不是好集，故①错误； 对于②，因为集合为“好集”， 所以， 所以，故②正确， 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D. 5．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. 7．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 8．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 9．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    二、填空题 10．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 11．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． ①集合是“完美集”； ②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且； 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据所给新定义检验即可判断①，由新定义及均值不等式可得，反正法即可判断②，根据新定义建立方程，分析方程的解可判断③，根据所给条件，结合新定义，分类讨论可判断④. 【详解】因为， 所以集合是“完美集”，故①正确； 是两个不同的正数，是“完美集”，则，解得， 假设都小于等于2，则，矛盾，故假设错误，②正确； 设是“完美集”，且，则，可化为， 故方程有无数组解，故③正确； 设，则满足， 故，即，当时，，由于，所以， 由于，即，无解； 当时，，由于，所以，由于，解得， 所以此时完美集合只有一个， 当时，由，即有， 而当时，不成立（因为）， 即时不存在符合条件的完美集合，故④正确. 故答案为：①②③④ 12．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 个． 【答案】7 【分析】根据集合新定义判断中各元素为孤立元时对应哪些元素不在集合内，再确定M中的3个元素组成的所有集合中不含有“孤立元”的集合即可. 【详解】由题意，若是由M中的3个元素组成的集合， 当且1为孤立元，则；当且2为孤立元，则； 当且3为孤立元，则；当且4为孤立元，则； 当且5为孤立元，则；当且6为孤立元，则； 当且7为孤立元，则；当且8为孤立元，则； 当且9为孤立元，则； 要使不含有“孤立元”：若，则，进而有，即满足； 若且，则，进而有，即满足； 若且，则，进而有，即满足； 依次类推，都满足， 综上，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有7个. 故答案为：7 13．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 【答案】 【分析】根据题意写出的所有非空子集，结合“容量”的定义求S的所有非空子集的“容量”之和. 【详解】由题设，的非空子集有 ， 含一个元素的子集“容量”之和为， 含两个元素的子集“容量”之和为， 含三个元素的子集“容量”之和为， 含四个元素的子集“容量”之和为， 含五个元素的子集“容量”之和为， 所以S的所有非空子集的“容量”之和为. 故答案为： 14．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【答案】4 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 15．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的，任意的，都有； （ⅲ）对任意的且，都有． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有． 其中正确的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】根据所给定义一一推导即可. 【详解】①∵，∴，即，①正确； ②∵，∴，∴，，②错误； ③∵，又，∴，所以，③正确； ④要使有意义，则且， 若（且），则，由②知，∴且， ∴，∴，故④正确， 综上，①③④正确． 故答案为：①③④． 16．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则 . 【答案】 【分析】依题意集合的所有非空子集为可以分成种情况，分别分析种情况中，所有元素乘积，综合即可得答案. 【详解】集合的所有非空子集为可以分成以下几种情况： 含元素的子集共有个，这些子集中所有元素的乘积； 不含元素，含有元素，且含有其他元素的子集共有个； 不含元素，不含元素，但含有其他元素的子集共有个； 其中中除外元素是一一对应的，则乘积互为相反数，故的和为； 只含元素的子集，只有个，此时； 综上所述：所有自己中元素乘积. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 【答案】 【分析】应用定义，推导出集合中的数是6的倍数. 【详解】由对任意给定的（可以相同），有且， 又6是集合中的最小正整数，则也在集合里， 假设里有形如，那么， 与6是集合中的最小正整数矛盾， 故答案为： 18．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 19．（2023高一·上海·专题练习）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ． 【答案】7 【分析】先找出具有伙伴关系的元素：共三组，它们中任一组、二组、三组均可组成非空伙伴关系集合，利用列举法列出即可． 【详解】解：具有伙伴关系的元素组有共三组， 它们中任一组，二组或三组均可组成非空伙伴关系集合， 即，，，，， ，共7个， 故答案为：7． 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可. 【详解】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 21．（23-24高一上·上海普陀·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 【答案】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以或. 当时，关于x的方程有1个实数解， 所以，解得. 当时，关于x的方程有3个实数解， 方程有两个解为0和，则和都不是方程的根， 所以需满足，解得. 当时，的解为，符合题意； 当时，的解为，符合题意. 综上，a的所有可能取值为0，，，即所求集合S为. 故答案为：. 22．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的花花发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个“划分集”.若中有个元素，则不同的“划分集”共有 个.（用含的表达式填空） 【答案】/ 【分析】集合中的每个元素都有属于或属于两种情况，共有种情况，排除空集和考虑对称情况得到答案. 【详解】集合中的每个元素都有属于或属于两种情况，故共有种情况， 排除全都属于或的两种情况，考虑对称情况， 故不同的“划分集”共有个. 故答案为：. 23．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解. 【详解】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 25．（24-25高一上·上海·单元测试）设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 【答案】或 【分析】先求出，再求出，从而可求 。 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 26．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 27．（2023高一·上海·专题练习）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： （1）对于任意，，若，则； （2）对于任意，，若，则 下列命题正确的是 填序号 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素. 【答案】④ 【分析】利用特殊集合验证排除选项，推出结果即可． 【详解】解：对于，令，， ，有个元素，错误． 对于，令，， ，有个元素，错误 对于，令，， ，有个元素，错误． 对于，由题可设其中，则且和分别为集合中最小和最大的元素， 由性质可知，且为集合中最大的元素，即，则， 同理可知，，即， 若，则 ，即，显然不合题意； 若即，则，，，即，则有个元素． 故答案为：． 28．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【分析】根据新定义运算逐个判断即可. 【详解】由nand定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或，或， 所以或 或， 所以， 综上，，， . 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题. 29．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】 “对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 三、解答题 30．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析； (2)或或； (3)共7个，，，，，，，. 【分析】（1）假设为单元素集合，其元素为，则得到方程，求出，不为正整数，得到结论； （2）分析得到，则，故只需满足，从而由12的正整数公约数求出答案； （3）在（2）的基础上进行求解. 【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. 31．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【分析】首先求和，再求. 【详解】∵，， ∴，， ∴． 32．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【分析】首先求集合中的元素，再求和. 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 33．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）数字的任意一个有序排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.如：. 记集合任意整数，都有； 记集合任意整数，都有. (1)用列举法表示集合； (2)用列举法表示集合，； (3)求集合中元素的个数. 【答案】(1) (2)， (3)1 【分析】（1）直接一一列举即可； （2）集合属于单调递增排列，再根据所给定义利用列举法表示即可； （3）根据题意知，，所以，即可得解． 【详解】（1）依题意. （2）因为集合任意整数，都有，所以, 任意整数，都有， 所以； （3）考虑集合中的元素. 由已知，对任意整数，都有， 所以， 所以. 由的任意性可知，是的单调递增排列， 所以， 又因为当时,对任意整数，， 都有， 所以，所以， 所以集合的元素个数为1. 34．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 35．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)已知集合A具有性质，求证：； (3)证明：是无理数． 【答案】(1)具有 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）根据无理数和有理数的定义利用反证法分析说明. 【详解】（1）由题意可得：， 所以集合具有性质. （2）因为，则有： 当时，，符合题意； 当时，因为，且， 所以，可得：， 所以， 即； 综上所述：. （3）反证：假设是有理数，则（为互质的正整数）， 可得，即， 可知为3的倍数，设， 即，可得，可知为3的倍数， 这与为互质相矛盾，故是无理数. 36．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得. 【详解】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决. 37．（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1）由于，所以， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． 38．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 【答案】(1)不具有性质具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； （2）由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. 39．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素； （2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征. 【详解】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 40．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 41．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合具有性质：对任意、，与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求. 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）由性质定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【详解】（1）集合中，因为，，，，，，，所以集合具有性质； 集合中，因为，，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为具有性质， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义的要素； 解：结合数学知识进行解答. 42．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值. 【详解】（1）根据定义：，， 所以，； （2）由于集合，，且， 所以也只有四个元素， 即， 所以其余的则应满足， 所以，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以， 因为， ， 因为， 所以， 中最小的元素为，最大的元素为， ， 所以， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为674， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维. 43．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 44．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 【答案】(1)或. (2)证明见解析. 【分析】（1）由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可； （2）利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可； 【详解】（1）解：由等矩集定义，则，可得， 结合韦达定理可知，，为方程的两个根， 解得或，符合题意， 所以或； （2）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可， ， 故满足定义①； ， 故满足定义②； 假设，则存在，，，可得，与矛盾， 所以， 故满足定义③． 综上所述，和也互为等矩集； 45．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1349 【分析】(1)根据题目的定义，即可求得. (2)根据集合相等的概念，可以证明. (3)通过假设 ，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）当，则， （2）证明：因为集合，，且，所以中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，所以. （3）集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则， 所以，因为，由容斥原理，， 所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得， 实际上，当时满足题意； 证明如下：设，则 ，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时， 集合中元素最多，即时满足题意， 综上，的最大值为. 46．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 47．（2023高一·上海·专题练习）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析； (2)①集合具有性质，理由见解析；②，证明见解析. 【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可. （2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解. 【详解】（1）当时，， 不具有性质， 因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立， 具有性质. 取，对于该集合中任意一对元素，，都有， 所以集合不具有性质，集合具有性质. （2）若时，则， ①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 因为，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由集合S具有性质，知存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，， 其中，则由， 所以集合一定具有性质. ②设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 任给，，则和中必有一个不超过， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P， 知存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 因此，所以，解得：， 当时，取， 对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素， 因此集合S中元素个数的最大值是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析. 48．（2023高一·上海·专题练习）设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等. (1)当时，试写出一个三元子集； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）当时，， 取，则满足题意， （2）当时，， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 因为任意一个这样的和，且由知：，，，不同时属于 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合的新定义，考查反证法的应用，解题的关键是正确的对集合新定义的理解，属于难题． 49．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 50．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合中新定义问题（上海各大名校50题专项训练） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 5．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 9．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 10．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 11．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． ①集合是“完美集”； ②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且； 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 12．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 个． 13．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 14．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 15．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的，任意的，都有； （ⅲ）对任意的且，都有． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有． 其中正确的序号为 ． 16．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则 . 17．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 18．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 19．（2023高一·上海·专题练习）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ． 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 21．（23-24高一上·上海普陀·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 22．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的花花发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个“划分集”.若中有个元素，则不同的“划分集”共有 个.（用含的表达式填空） 23．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 24．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 25．（24-25高一上·上海·单元测试）设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 26．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 27．（2023高一·上海·专题练习）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： （1）对于任意，，若，则； （2）对于任意，，若，则 下列命题正确的是 填序号 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素. 28．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 29．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 三、解答题 30．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 31．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 32．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 33．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）数字的任意一个有序排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.如：. 记集合任意整数，都有； 记集合任意整数，都有. (1)用列举法表示集合； (2)用列举法表示集合，； (3)求集合中元素的个数. 34．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 35．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)已知集合A具有性质，求证：； (3)证明：是无理数． 36．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 37．（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 38．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 39．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 40．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 41．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合具有性质：对任意、，与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求. 42．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 43．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 44．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 45．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 46．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 47．（2023高一·上海·专题练习）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 48．（2023高一·上海·专题练习）设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等. (1)当时，试写出一个三元子集； (2)当时，证明：. 49．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 50．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$