第一章 集合与逻辑重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第一章 集合与逻辑重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）方程组的解集为 . 2．（2023·上海浦东新·一模）设集合，，则 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数__________________． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，且中只有一个元素，则 ； 5．（22-23高一·全国·课后作业）用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为 ． 6．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若集合，，则 . 7．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一上·上海·期中）设集合且，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，求的取值范围 10．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ． 11．（23-24高一上·上海嘉定·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 ． 12．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 14．（2023高一·上海·专题练习）若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，集合，，求，，． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 20．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 21．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】通过解方程组求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 解得或， 所以方程组的解为或， 所以方程组的解集为. 故答案为： 2．（2023·上海浦东新·一模）设集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数__________________． 【答案】是十进制下个位为9的正整数 【分析】由描述法的定义求解即可 【详解】由题意可知，集合用描述法可表示为：是十进制下个位为9的正整数 故答案为：是十进制下个位为9的正整数 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，且中只有一个元素，则 ； 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，当时求出的值. 【详解】因为，表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，所以，符合题意； 当时，要使中只有一个元素，则，解得， 此时方程，解得，所以，符合题意； 综上可得或. 故答案为：或 5．（22-23高一·全国·课后作业）用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为 ． 【答案】a，b，c中至少有两个偶数 【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立. 因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”， 所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”， 故答案为：a，b，c中至少有两个偶数. 6．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若集合，，则 . 【答案】 【分析】集合A表示直线去掉一个点，集合B表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集. 【详解】依题意，集合B表示上的点，集合A表示直线上的点， 故集合中元素表示直线与二次函数的交点，联立得(舍)， 故直线与二次函数有1个交点，故集合中有1个元素,. 故答案为：. 7．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分与讨论，结合必要不充分条件即可得到结果. 【详解】由题意可得，可以推出，则不符合题意， 比如当时，不符合题意； 当时，则是的充要条件，不符合题意； 当时，等价于，则， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海·期中）设集合且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是：. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，求的取值范围 【答案】或 【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答. 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 10．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海嘉定·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 ． 【答案】7 【分析】根据集合的子集和并集的概念求解. 【详解】集合M的任一非空子集共有个， 其中最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集， 共有个， 同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个， 最小值为4的子集共有个，最小值为5的子集共有个， 最小值为6的子集共有个， 同上可知，最大值为6的子集共有个，最大值为5的子集共有个， 最大值为4的子集共有个，最大值为3的子集共有个， 最大值为2的子集共有个，最大值为1的子集共有个， 所以的所有非空子集中最小值之和为 ， 最大值之和为， 所以 ， 故答案为:7. 12．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 【答案】①②③ 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解. 【详解】因为，所以 ， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，则或，或， 若，取，则； 若，取，则； 若，取，则； 若有一个为负数，则或， 若，则取，则； 若，则取，则； 故①正确； 对于任意，存在，使得 取，存在使得，所以， 不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在使得， 同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 14．（2023高一·上海·专题练习）若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项． 【详解】解：由得韦恩图：    对于①等价于，故①正确； 对于②等价于，故②不正确； 对于③等价于，故③正确； 对于④与A、B是全集I的真子集相矛盾，故④不正确； 对于⑤是的必要不充分条件等价于AB，故⑤不正确， 所以与命题等价的有①③，共2个， 故选：B. 15．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为，， 所以， 当时，等价于， 所以不成立，故不充分； 当时，，故必要， 故选：B． 16．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，，，故②正确； 对于③，对，，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中假命题的个数是1个. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，集合，，求，，． 【答案】，或，． 【分析】根据集合交集，并集，补集的定义进行求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以或，或， ，所以或， ． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）直接利用并集的定义求解即可； （2）先求出集合的补集，然后分和两种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以． （2）或． 当时，即，得时，满足； 当时，使成立， 则，或，解得． 综上可知，实数的取值范围是． 19．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）讨论，根据可得结果； （2）讨论，根据可得结果； （3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得. 综上所述：. （2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根， 当时，方程有唯一解，符合题意； 当时，，得. 综上所述：或. （3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解， 当方程无解时，由（1）知，； 方程有唯一实根时，由（2）知，或. 综上所述：或. 20．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 21．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$