精品解析：辽宁省朝阳市建平县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

建平县2023-2024学年度七年级下学期期末数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 命题人：刘瑞杰 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 2024年5月17日，建平县第二届中学生运动会如期举行，赛前各参赛学校宣传动员，认真准备，某中学在宣传栏中设计如下运动图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列数式变形正确的是（ ） A. 2a﹣a＝2 B. （﹣2a2）3＝﹣6a6 C. a5÷a2＝a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的运算法则及公式即可求解． 【详解】A.2a﹣a＝a，故错误； B.（﹣2a2）3＝﹣8a6，故错误； C.a5÷a2＝a3，正确； D.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的运算法则及公式的运用． 3. 每年春秋两季，在中华大地肆虐的流感病毒严重威胁人民的生命健康．流感病毒的直径约为0.000000083米，这里0.000000083用科学记数法表示为（　　） A. 0.83×10﹣7 B. 8.3×10﹣8 C. 8.3×10﹣7 D. 8.3×108 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：0.000000083用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键． 4. 下列成语，是必然事件的是（　　） A. 画饼充饥 B. 不期而遇 C. 水中捞月 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件． 【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意； B、不期而遇是随机事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，不符合题意； D、旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 如图， ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键．如图作，，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故选：C． 6. 在圆的周长公式中，常量是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常量是固定不变的量，进行判断即可． 【详解】解：在在圆的周长公式中，固定不变的量是， 故选D． 【点睛】本题考查变量和常量．解题的关键是掌握常量是固定不变的量． 7. 如图，在中，点D、E分别是，的中点，且，则的面积等于（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线，过点B作于点F，过点D作于点G，由中线的定义可得，，即，，可得，即可求解． 【详解】解：过点B作于点F，过点D作于点G， ∵点D、E分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 8. 若，则（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了同底数幂除法，解题的关键是掌握同底数幂除法运算法则． 根据同底数幂除法运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解：可化为， 则， 故答案为：C． 9. ∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别画出∠A两边分别垂直于∠B的两边，然后利用同角的余角相等进行求解即可． 【详解】解：如图所示：BE⊥AE，BC⊥AC， ∴∠BCF=∠AEF=90°， ∴∠A+∠AFE=90°，∠B+∠BFC=90°， ∴∠A=∠B 如图所示：BD⊥AD，BC⊥AC， ∴∠ADE=∠BCE=90°， ∴∠A+∠BEC=90°，∠CBE+∠BEC=90°， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE+∠DBC=180°， ∴∠A+∠DBC=180°， 综上所述，∠A与∠B的关系是相等或互补， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，同角的余角相等，以及等角的补角之间的关系，解题的关键在于能够根据题意画出图形进行求解． 10. 用火柴棒按下图中的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒的数量为m，则m与n的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形变化类，根据图形可得前几个图形中火柴棒的根数，再总结归纳规律即可求解． 【详解】解：由图可得，第一个图形中火柴棒的根数为； 第二个图形中火柴棒的根数为； 第三个图形中火柴棒的根数为； ⋯， 第n个图形中火柴棒的根数为， 故选：D． 第Ⅱ卷 （非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．由尺规作图的作法得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若，______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：∵， ， ∵直尺的两边互相平行， ， 故答案为：． 13. 如图，工人师傅用角尺平分．做法：在上取，同时保证与的刻度一致（即），则平分，这样做的依据是___________（填全等三角形的一种判定方法）． 【答案】（或边边边） 【解析】 【分析】由三边对应相等得，则，即由判定三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 即平分，这样做的依据是（或边边边）， 故答案为：（或边边边）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握三角形全等的判定方法． 14. 如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由画图可知： 是的垂直平分线， ，， 的周长为，即， ， 的周长为，即， ， 故答案为：． 15. 王老师在与学生探究三角形三边关系时，让学生准备了长度分别是，，，小木棒，兴趣小组从4根木棒中任取三根拼三角形时，发现不是任意三根木棒都可以拼成三角形，请运用你所学的概率知识求出拼成三角形的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和概率公式，正确找到所有组成三角形的情况是解题的关键． 求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可． 【详解】解：、、和的4根木棒中， 共有以下4种组合： ；；；， 其中共有以下方案可组成三角形： ①取；由于，能构成三角形； ②取；由于，能构成三角形； 所以有2种方案符合要求． 故能组成三角形的概率． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1）计算： （2）化简求值，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算以及整式的化简求值． （1）根据乘方的运算法则、零次幂，负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）直接利用乘法公式以及合并同类项法则化简进而把已知代入得出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 当，， 原式 ． 17. 自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1，2，3，4，5，将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题： （1）抽到的数字有几种可能的结果？ （2）抽到纸牌数字是1的概率是多少？ （3）抽到纸牌数字大于3的概率是多少？ 【答案】（1）有5种结果 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率，求出所有可能结果数及事件发生的可能结果数，即可求得概率． （1）根据纸牌数即可确定抽到的可能结果数； （2）由简单事件概率公式即可求解； （3）由简单事件概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：背面朝上且完全一样的5张纸牌随机抽取，有5种结果，且被抽取的可能性是相同的． 【小问2详解】 解：共有5种结果，每种结果出现的可能性是相同的， 所以抽纸牌1的概率为； 【小问3详解】 解：有5种等可能结果，大于3的有4和5两种结果， 所以抽纸牌大于3的概率为． 18. “创新”小组的同学在学完整式乘法公式后进行了如下探究活动： 如图①是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形的边长是______； （2）直接写出三个代数式，，之间的等量关系． （3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式之间的联系和数形结合的思想，以及代数式求值的问题， 根据图形即可知阴影部分的正方形的边长； 根据大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四块小长方形面积，以及大小正方形和长方形的面积即可； 利用第（2）的结论即可求得代数式的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，正方形的边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图2中大正方形面积为，阴影部分的正方形的面积为，四块小长方形面积为， ∵大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四块小长方形面积， ∴； 故答案为：或 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 19. 学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由． 【答案】同意，见解析 【解析】 【分析】证明，推出，即可得到结论． 【详解】解：同意， 理由：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 测得的长就是、两点间的距离． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 20. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，兔子很懊悔在比赛过程中停下来睡觉而最终输给了乌龟，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时路程与时间之间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．看图象回答： （1）兔子在比赛开始后跑了多少米就停下来睡觉？ （2）“龟兔赛跑”的全程是多少米？ （3）求出乌龟的平均速度？ （4）兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】（1）兔子在比赛开始后跑了700米就停下来睡觉 （2）由图象知全程1500米 （3）平均速度每分钟是30米 （4）兔子中间停下睡觉用了46.5分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，有理数四则运算实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）利用速度等于路程除以时间即可解答； （4）先求出兔子到底终点的时间，然后求出兔子睡醒后到达终点需要的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知：兔子在比赛开始后跑了700米就停下来睡觉． 【小问2详解】 解：由函数图象可知：“龟兔赛跑”全过程是1500米． 小问3详解】 解：“龟兔赛跑”的全过程是1500米，乌龟用了50分钟到达终点， 乌龟的平均速度为：（米/分钟）； 【小问4详解】 解：∵兔子比乌龟晚到了分钟 ∴兔子到达终点的时间为50.5分钟， ∵兔子醒来后，以米/分的速度跑向终点，即以400米/分的速度跑了余下的800米 ∴后半段路程所用时间为 分钟 ∴兔子中间停下睡觉的时间为：分钟 答：兔子中间停下睡觉用了46.5分钟． 21. 在一次数学活动课上，李老师要求学生用折纸方法得到过三角形同一顶点的高线和角平分线，小明和小刚两人一组，共用一个三角形纸片即如图所示的，经测量，，小明和小刚过点A分别折出高线和角平分线． （1）经两个人初步探讨：小明求出了的度数，你知道小明是怎样求得的吗？写出求解过程． （2）李老师又要求小刚和小明折出边上的高线，经过两人的深入探讨，小刚说他知道了的度数，请你帮小刚写出求解过程． 【答案】（1），过程见解析 （2），过程见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义． （1）根据，求出，由角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可解答； （2）由垂直的定义得到，结合三角形内角和定理的到，由，结合（1）中即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ∴， 的度数是． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， 的度数是． 22. 我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． （1）如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． （3）若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】（1）；是 （2）平行，理由见解析 （3）的度数是 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出； （3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 23. 探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． （1）根据是的平分线，得出，根据“”即可证明； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N，根据是的平分线得出，再结合，根据“”即可证明； （3）①如图，根据，．得出，再根据、分别是和的平分线，得出，．根据三角形内角和定理即可求出，即可求解； ②如图，在上截取，连接．证明，得出，，即可得．，再证明，即可得出，． 【详解】解：（1）∵是的平分线， ， 在和中 ， ∴； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N， 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：①如图， ∵，． ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，． ∴， ∴． ②．理由如下：（答案不唯一） 如图，在上截取，连接． ∵是的平分线， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平县2023-2024学年度七年级下学期期末数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 命题人：刘瑞杰 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 2024年5月17日，建平县第二届中学生运动会如期举行，赛前各参赛学校宣传动员，认真准备，某中学在宣传栏中设计如下运动图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数式变形正确是（ ） A. 2a﹣a＝2 B. （﹣2a2）3＝﹣6a6 C. a5÷a2＝a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 3. 每年春秋两季，在中华大地肆虐的流感病毒严重威胁人民的生命健康．流感病毒的直径约为0.000000083米，这里0.000000083用科学记数法表示为（　　） A. 0.83×10﹣7 B. 8.3×10﹣8 C. 8.3×10﹣7 D. 8.3×108 4. 下列成语，是必然事件的是（　　） A. 画饼充饥 B. 不期而遇 C. 水中捞月 D. 旭日东升 5. 如图， ，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在圆的周长公式中，常量是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，在中，点D、E分别是，的中点，且，则的面积等于（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 8. 若，则（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 18 9. ∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定 10. 用火柴棒按下图中方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒的数量为m，则m与n的关系式为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为______． 12. 把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若，______． 13. 如图，工人师傅用角尺平分．做法：在上取，同时保证与的刻度一致（即），则平分，这样做的依据是___________（填全等三角形的一种判定方法）． 14. 如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为______． 15. 王老师在与学生探究三角形三边关系时，让学生准备了长度分别是，，，的小木棒，兴趣小组从4根木棒中任取三根拼三角形时，发现不是任意三根木棒都可以拼成三角形，请运用你所学的概率知识求出拼成三角形的概率是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1）计算： （2）化简求值，其中，． 17. 自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1，2，3，4，5，将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题： （1）抽到的数字有几种可能的结果？ （2）抽到纸牌数字是1的概率是多少？ （3）抽到纸牌数字大于3的概率是多少？ 18. “创新”小组的同学在学完整式乘法公式后进行了如下探究活动： 如图①是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分正方形的边长是______； （2）直接写出三个代数式，，之间的等量关系． （3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 19. 学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由． 20. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，兔子很懊悔在比赛过程中停下来睡觉而最终输给了乌龟，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时路程与时间之间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．看图象回答： （1）兔子在比赛开始后跑了多少米就停下来睡觉？ （2）“龟兔赛跑”的全程是多少米？ （3）求出乌龟的平均速度？ （4）兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 21. 在一次数学活动课上，李老师要求学生用折纸的方法得到过三角形同一顶点的高线和角平分线，小明和小刚两人一组，共用一个三角形纸片即如图所示的，经测量，，小明和小刚过点A分别折出高线和角平分线． （1）经两个人初步探讨：小明求出了的度数，你知道小明是怎样求得的吗？写出求解过程． （2）李老师又要求小刚和小明折出边上的高线，经过两人的深入探讨，小刚说他知道了的度数，请你帮小刚写出求解过程． 22. 我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． （1）如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“”或“不是”）； （2）如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． （3）若是“完美三角形”，求的度数． 23. 探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$