精品解析：山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

2023—2024学年度第二学期质量检测 高一数学试题 2024.07 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 4. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，记，，则（ ） A. B. C. D. 6. 对24小时内降落在平地上积水厚度（mm）进行如下定义： 积水厚度（mm） 0~10 10~25 25~50 50~100 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则最小正周期为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A B. C D. 10. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下： 同学 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲（投中个数） 6 7 5 6 4 3 8 9 乙（投中个数） 8 4 6 7 6 5 7 5 记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为下底面的中心，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 与平面所成角为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______. 13. 某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______ 立方厘米. 14. 已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数； （2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数. 16. 设向量，，. （1）若，求的值； （2）若，，求的取值范围. 17. 如图所示，为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为、的中点，连接并延长交圆O于点E. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求二面角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期质量检测 高一数学试题 2024.07 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，利用复数的除法运算可求得复数. 【详解】由得出. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 又，所以，解得. 故选：A 3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 4. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象可得的最小正周期，由周期公式可计算，又过点，把代入解析式，结合，即可求解. 【详解】由图知的最小正周期为， ， ， 又过点， ，即， ， ， . 故选：. 5. 在中，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，则. 故选：D 6. 对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： 积水厚度（mm） 0~10 10~25 25~50 50~100 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案. 【详解】由题意知降雨量是雨水体积除以容器口面积， 因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半， 且下底面半径是50mm，上底面半径是150mm， 可得圆台中雨水的上底面半径是mm， 所以雨水的厚度为 mm，是大雨. 故选：C． 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，运用正弦定理求得，再在直角三角形中，求解. 【详解】在中，由正弦定理可知： ， 在直角三角形中， ， 故选：A 8. 设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则，求出变化后的解析式，再由诱导公式判断即可. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到， 把向左平移个单位长度得到， 即， 又， ， ， 故满足题意的有B、C. 故选：BC 10. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下： 同学 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲（投中个数） 6 7 5 6 4 3 8 9 乙（投中个数） 8 4 6 7 6 5 7 5 记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可. 【详解】根据题意，， ，所以， ， ， 所以. 故选：BD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为下底面的中心，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 与平面所成角为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先说明，根据线面垂直的判定定理及性质定理说明A；取的中点，连接、、、，则，所以直线与所成角为，再由锐角三角函数判断B；与平面所成角为，即可判断C，求出外接球的半径，即可判断D. 【详解】对于A：为下底面的中心，为的中点，连， ，，平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证，，故A正确； 对于B，取的中点，连接、、、，则且， 且，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 直线与所成角为， 又，，，为的中点，， ，即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：，又平面， 与平面所成角为，又，， 又， 与平面所成角不为，故C错误； 对于D：如图， 由A可知，，，平面， 所以平面， 又是边长为的正三角形， 设，则易知为靠近的的三等分点，其为正三角形的中心， ，设三棱锥的外接球的球心为， 则在上，设，球的半径为，则， ， 又易知，，， 在与中，根据勾股定理和余弦定理可得： ，解得， ， 三棱锥外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为，所以第百分位数. 故答案为： 13. 某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______ 立方厘米. 【答案】 【解析】 【分析】将几何体补全为正三棱柱，如图所示分别为的中点，正三棱柱高为，该几何模型的体积为：. 【详解】将几何体补全为正三棱柱，如图所示， 分别为的中点， 底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形， 且，，均为正三角形，所以 则该几何模型的体积为： . 故答案为：. 14. 已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为邻边做平行四边形，即，由，可得，所以三点共线，再化简，可得，设，则，利用余弦定理，可得，，所以，再由同角基本关系式和两角和的正弦公式可解. 【详解】如图，以为邻边做平行四边形，即， 由，可得，即， 所以，则，又，所以， 即三点共线， 由， 即， 即，所以， 设，则， 利用余弦定理，， 且，所以， 则， 则，所以， 由等腰三角形可知都是锐角， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：以为邻边做平行四边形，即，由，可得，所以三点共线，再利用余弦定理求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数； （2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数. 【答案】（1）45 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据先求，再求等待时间不超过60秒的概率，即可得次数； （2）由频率分布直方图中平均数的公式求解. 【小问1详解】 因为各组频率之和为1，组距为10， 所以，解得， 该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的概率为： ， 所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为： . 【小问2详解】 该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数约为： 16. 设向量，，. （1）若，求的值； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，，所以，由三角函数恒等变形可解； （2）先求出，由正弦型函数在区间内的值域求解. 【小问1详解】 根据题意，，所以， 即， 化简为 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以， 由，得， 所以，所以， 所以的取值范围为. 17. 如图所示，为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为、的中点，连接并延长交圆O于点E. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，，而，所以，可证平面； （2）连接，可证平面，平面，从而平面平面，所以平面. 【小问1详解】 由题意，平面，平面， 所以， 由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知， 因为D、分别为的中点，所以，则， 又因为平面，， 所以平面； 【小问2详解】 连接，因为D、F分别为、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 而平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简得证； （2）结合二倍角公式与两角和的余弦公式，求出的值，再由，将其两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，可得关于和的方程，然后结合正弦定理，解方程组即可； （3）由为锐角三角形，推出，再根据，，的关系，化简可得，然后结合正弦函数的值域与二次函数的性质，求解即可． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，又，所以不可能成立， 所以． 【小问2详解】 由，，则， 因为，所以， 因为，所以，， 所以， 因为，则， 所以， 将其两边平方得， 所以①， 由正弦定理知，， 因为，所以， 所以②， 联立①②解得，． 【小问3详解】 因为为锐角三角形，且， 所以，即，解得， 所以，， 又， 令，则， 所以，其中对称轴为， 因为存在最小值， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求二面角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先说明为直线与所成角，即，设，根据所给定义得到方程，解得即可； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面角为，则，利用诱导公式计算可得； （3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即可得解. 【小问1详解】 因为底面为矩形，底面， 所以，，又底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得（负值已舍去）， 所以； 【小问2详解】 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为； 【小问3详解】 依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$