精品解析：辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试卷 2023—2024学年度下学期期末质量检测 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题. 综上，和均为真命题. 故选：B. 3. 已知幂函数在第一象限内单调递减，则（ ） A B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和幂函数在第一象限内的单调性即可求解. 【详解】由幂函数的定义可知，解得， 由幂函数在第一象限内单调递减，可得， 则， 所以. 故选：. 4. 已知甲正确解出不等式的解集为，乙正确解出不等式的解集为，且，则（ ） A. -12 B. -6 C. 0 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据两个一元二次不等式的解集的交集和并集的情况，可判断出对应的两个一元二次方程的根的情况，结合韦达定理即可求出结果. 【详解】由题意可知方程与方程的根组成集合， 由方程根与系数关系可知，则其两根为，所以， 方程0的两根为，则，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据已知条件先求出，再列出等式即可求得. 【详解】当时，，所以，则， 由，得， 所以. 故选:B. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，，可知，则，所以，充分性成立； 由，，可得，但是不一定成立，故必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质及对数运算求解即可. 【详解】无论为何值，函数为偶函数，则. 要使函数为奇函数， 则为奇函数， 所以， 即， 整理得， 则，所以， 则，解得. 当时，，显然无意义，舍去； 当时，， ，即，解得或， 则的定义域为， 且为奇函数， 此时也为奇函数. 故选：. 8. 已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可. 【详解】由题意可知，则， 即，又 所以，则.设，则， 所以在上单调递增，所以，则，所以， 则. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）利用等式同构函数；（2）化简，同构函数；（3）利用导数分析单调性并求出最值. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，则（ ） A. 与具有相同的最小值 B. 与在上具有相同的单调性 C. 与都轴对称图形 D. 与在上具有相反的单调性 【答案】AC 【解析】 【分析】在同一坐标系中，作出函数，的图像，进而对四个选项一一作出判断. 【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示， 由图可知与的最小值都为1，A项正确； B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误； C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确； D选项，与在上均单调递减，D项错误. 故选：AC 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 的最小值为-20 D. 当时，的最大值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】对于A，当时，，所以，A项正确； 对于B，由，得当2时，， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以，由二次函数的性质可知不为递减数列，B项错误； 对于C，因为，所以当或时，取得最小值-20，C项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，对函数求导后，可判断出在上单调递增，再利用单调性判断，对于C，当时，可得在上单调递减，然后与区间的端点比较大小，从而可得结论，对于D，在的图象上任取一点，求出其关于点的对称点，然后代入函数中验证即可. 【详解】当时，，则，显然不是的极值点，A项错误. 当时，，令，解得， 当时，，所以当时，在上单调递增， 又，所以，B项正确. 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以， 又，所以， 所以，C项正确. 当时，， 在的图象上任取一点， 则点关于点的对称点为， 则 ，D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用求函数的单调区间，考查函数对称性的应用，选项D解题的关键是在图象上任取一点，求出其关于的对称点坐标，再将此点代入中，若能满足，则可得结论，考查计算能力，属于较难题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用分段函数求值方法，结合指数幂性质求解即可. 【详解】，所以. 故答案为：. 13. 已知函数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 14. 已知是边长为2的等边三角形，取的中点分別为，沿剪去，得到四边形，记其面积为；在中，取的中点分别为，沿剪去，得到四边形，记其面积为，则__________；以此类推，__________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】本题根据题意递推，由此得出为等比数列，求出通项公式，从而得出，再求即可. 【详解】因为， ，， 所有可知是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：（1）通过计算，推出为等比数列并求出通项公式；（2）由的通项公式得出；（3）求 时，转化为等比数列求和. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出，进一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，进一步得出，再采用裂项法即可求得. 【小问1详解】 由，得， 又，所以， 当时，， 当时，，解得， 所以， 故的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 故. 16. 已知函数. （1）当时，的图像在处的切线与两坐标轴围成图形的面积为，求的值； （2）当时，在的最小值小于，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的方程，得到其在两坐标轴上的截距，然后由面积求解的值即可. （2）利用导函数求出在的最小值，然后求解不等式，构造函数，转化为利用导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 易知， 又， 所以， 所以的图像在处的切线方程为， 令，得， 由切线与两坐标轴围成图形的面积为， 得， 解得或. 【小问2详解】 当时，， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以在的最小值为， 由题意得，即， 又，所以. 设， 则， 所以在上单调递减， 又，所以解不等式得， 故的取值范围为. 17. 已知函数. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，证明：的图像为轴对称图形； （3）若关于的方程在上有解，求的最小值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数的单调性可知二次函数在上单调递减，由真数大于零再结合二次函数的对称轴与区间的关系列出不等式即可求出参数；（2）根据函数轴对称的关系式可证为轴对称图形；（3）方程在上有解转化为在上有解，再利用基本不等式求函数的最小值即可. 【小问1详解】 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 则 解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 证明：当时，的定义域为， 因为， 所以的图像关于直线对称， 故的图像为轴对称图形. 【小问3详解】 由方程在上有解，得方程在上有解且， 即在上有解， ， 当且仅当时取得等号， 又当时，在上恒成立， 所以的最小值为. 18. 已知函数的导函数为. （1）若，求的取值范围； （2）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由函数导函数与单调性的关系等价转化为恒成立问题，从而建立关于参数a的不等式，再利用导数求出最值即可得出结果； （2）的两个极值点，即为的零点，由此建立与参数a的关系，再将所证不等式等价转化为证明，然后构造新函数并利用导数求出最值即可得证. 【小问1详解】 易知的定义域为， ， 由，得在上恒成立. 设， 则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递 减，所以， 所以， 故的取值范围为. 【小问2详解】 证明：由题意可知有两个零点， 即， 不妨设，则， 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 令，则，只需证. 设，则， 所以在上单调递增， 则，则， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）分离参数得，构造函数，利用导数求最值；（2）导数的零点转化为，将所证不等式转化为，令，则，进一步转化为，构造函数，在利用导数求最值即可. 19. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1）若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 【答案】（1）或或； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据次生数列的定义得到，从而得到有3个，分别为或或. （2）（i）根据为等比数列，求出公比，求出，从而根据次生数列的定义得到，，得到的值； （ii）当为偶数时，，故，错位相减法求和，再求出当为奇数时，，检验时，也符合上式，从而得到答案. 【小问1详解】 因为，，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为或或. 【小问2详解】 （i）设数列的公比为， 因为为等比数列，且， 所以，即，解得， 所以，则. 由“次生数列”的定义，可知， ， 故. （ii）由（i）可知当为偶数时，， ① ，② 由①-②得 ， 所以. 当时，， 当为奇数且时，为偶数， 则 ， 显然当时，也符合上式， 故 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 2023—2024学年度下学期期末质量检测 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 3. 已知幂函数在第一象限内单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知甲正确解出不等式的解集为，乙正确解出不等式的解集为，且，则（ ） A. -12 B. -6 C. 0 D. 12 5. 已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，则（ ） A. 与具有相同的最小值 B. 与在上具有相同的单调性 C. 与都是轴对称图形 D. 与在上具有相反的单调性 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 的最小值为-20 D. 当时，的最大值为8 11 已知函数，则（ ） A. 是的极值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 13. 已知函数满足，则__________. 14. 已知是边长为2的等边三角形，取的中点分別为，沿剪去，得到四边形，记其面积为；在中，取的中点分别为，沿剪去，得到四边形，记其面积为，则__________；以此类推，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设正项数列是公差为等差数列，其前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）当时，的图像在处的切线与两坐标轴围成图形的面积为，求的值； （2）当时，在的最小值小于，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，证明：的图像为轴对称图形； （3）若关于的方程在上有解，求的最小值. 18. 已知函数的导函数为. （1）若，求的取值范围； （2）若有两个极值点，证明： 19. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1）若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$