精品解析：浙江省宁波市北仑区北仑区顾国和外国语学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

浙江省宁波市北仑区北仑区顾国和外国语学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 一、选择题（每题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（ ） A 15 B. 40 C. 20 D. 30 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ） A. 直角三角形的每个锐角都小于45° B. 直角三角形有一个锐角大于45° C. 直角三角形的每个锐角都大于45° D. 直角三角形有一个锐角小于45° 9. 已知点，是二次函数上的两点，若，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线l交正方形对边、于点P、Q，正方形和正方形关于直线l成轴对称，点H在边上，点A在边上，、交于点M，、交于点N．以下结论错误的是（ ） A. B. 的周长等于线段CH的长 C. 的周长等于线段CM的长 D. 的周长等于 二、填空题（每题3分） 11. 二次根式 中字母x的取值范围是________． 12. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 13. 设，则的值是______． 14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为______． 15. 已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且时，y的最小值为，则a的值为______． 16. 如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．（1）若曲线与直线有唯一的公共点，则______；（2）若曲线使得线段上的整点（横纵坐标均为整数的点，且不包括点、）分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为______． 三、解答题（17〜19每题6分，20〜22每题8分，23题10分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连，．若，求的取值范围． 19. 某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中______；______． （2）求出乙得分的方差． （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180 20. 如图1，在平行四边形中，点E、F分别为的中点，点在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，连交于点O，若，求的长． 21. 如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为. （1）写出关于的函数关系式： （2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？ 22. 如图，在边长为8正方形中，点E、G分别在边、上，且，，作、，与交于点O，分别在、上截取，，连结、交于点I． （1）四边形的面积 四边形的面积（填＞、＝，或＜）； （2）比较与大小，并说明理由． （3）求四边形面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA于点F、G，连OF． （1）求直线AC的解析式． （2）当E为AC中点时，求CF的长． （3）在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省宁波市北仑区北仑区顾国和外国语学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 一、选择题（每题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式满足“被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式”两个条件，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中是最简二次根式，故符合题意； B中，不是最简二次根式，故不符合题意； C中，不是最简二次根式，故不符合题意； D中，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少. 故选：D. 【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键. 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握． 4. 如图，矩形中，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（ ） A. 15 B. 40 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】求出矩形的面积，可得的面积，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，然后可得答案． 【详解】因为矩形的面积 所以的面积， 由平移得：，， 所以四边形是平行四边形， 所以四边形面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是求出的面积． 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数经过第一、三象限，可知，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．反比例函数的（k≠0），①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限；②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限． 6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可． 【详解】解：A、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确； B、由作图可知，即四边相等的平行四边形是菱形，正确； C、由作图可知，只能得出四边形是平行四边形，错误； D、由作图可知，对角线平分对角，可以得出是菱形，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 则k的取值范围是且， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8. 用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ） A. 直角三角形的每个锐角都小于45° B. 直角三角形有一个锐角大于45° C. 直角三角形的每个锐角都大于45° D. 直角三角形有一个锐角小于45° 【答案】A 【解析】 【分析】找出原命题的方面即可得出假设的条件． 【详解】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键． 9. 已知点，是二次函数上的两点，若，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行分析即可得出结论． 【详解】解：∵，对称轴为，， ∴抛物线的开口向上，当时，函数取得最小值，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴点在对称轴的两侧，且， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 10. 如图，直线l交正方形的对边、于点P、Q，正方形和正方形关于直线l成轴对称，点H在边上，点A在边上，、交于点M，、交于点N．以下结论错误的是（ ） A. B. 的周长等于线段CH的长 C. 的周长等于线段CM的长 D. 的周长等于 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作垂直于，垂足为K，连接，，，，根据两正方形关于直线l对称，可得，，再根据边的转化即可证明A选项不符合题意；根据对称可得，将的周长表示出来，在通过边的转化即可证明B选项不符合题意；根据对称可得，即可证明C选项符合题意；根据对称，可得，将周长表示出来，再根据边的转化即可证明D选项不符合题意． 【详解】如图，过点A作垂直于，垂足为K，连接，，，，则， ∵正方形和正方形关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵正方形和正方形关于直线l成轴对称， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵正方形和正方形关于直线l成轴对称， ∴， ∴ ， ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵正方形和正方形关于直线l成轴对称， ∴， ∴，故C选项符合题意； ∵正方形和正方形关于直线l成轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 二、填空题（每题3分） 11. 二次根式 中字母x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解： 根据题意得：， 解得． 故答案为： ． 12. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是：， 故答案为：18． 13. 设，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方的逆运算，二次根式的乘法运算，掌握以上运算的运算方法是解题的关键．先计算 再把原式化为，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 则； 故答案为： 14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据原价是50，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为，列出一元二次方程即可． 【详解】∵平均每次降价的百分率是，原价是50 ∴经过一次降价为，经过两次降价为， ∵经过两次降价为39， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长（降低）率问题，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系． 15. 已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线对称轴为，结合二次函数的性质可得当时，，再代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，y的最小值为， ∴当时，， 把，代入，得， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．（1）若曲线与直线有唯一的公共点，则______；（2）若曲线使得线段上的整点（横纵坐标均为整数的点，且不包括点、）分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由曲线与直线有唯一的公共点，可得只有一组解，从而得有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式即可求解；（2）先求得线段上的整点，由曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：只有一组解， 有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：； （2）由，得，， 线段上的整数点共有个，分别为，，，，，，，． 当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个； 当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个； 若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间， 当曲线经过点时，； 当曲线经过点时，． 的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像及性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题（17〜19每题6分，20〜22每题8分，23题10分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减混合运算、解一元二次方程， （1）先化简二次根式，再进行加减计算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ∴， ∴，． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连，．若，求的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）将B点坐标代入反比例函解析式中求出k的值，之后求出a的值，再将A、B两点坐标代入即可求得一次函数解析式； （2）首先根据已知求出C点坐标，再将四边形分割成和，用含有t的式子表示面积，最后解一元一次不等式即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于，两点． ∴， ∴，， ∴点，反比例函数的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线交轴于点， ∴点， ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求函数解析式，四边形的面积求参数取值范围，解题关键是掌握利用图象上的点求函数解析式，运用数形结合的思想将四边形面积分割成两个易求得三角形面积，从而得到参数的取值范围． 19. 某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中______；______． （2）求出乙得分的方差． （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180 【答案】（1）， （2）乙的方差为 （3）应选甲参赛较好（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先把甲的成绩按照从小达到排列，再根据中位数与众数的含义求解即可； （2）直接利用方差公式进行计算即可得到答案； （3）可以从平均数，中位数与众数的角度进行分析，从而可得答案． 【小问1详解】 解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， 甲的中位数， 出现了次，出现的次数最多， 众数是． 【小问2详解】 解：乙的方差为： 【小问3详解】 应选甲参赛较好答案不唯一， 理由：从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些． ∴应选甲参赛； 【点睛】本题考查的是平均数，中位数，众数，方差的含义与计算，利用平均数，中位数，众数，方差作判断，理解以上统计量的含义是解本题的关键． 20. 如图1，在平行四边形中，点E、F分别为的中点，点在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，连交于点O，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得，则，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再证，然后证是的中位线，即可解决问题． 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵分别为的边的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴． 21. 如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为. （1）写出关于的函数关系式： （2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）； （2）；最大面积为 【解析】 【分析】（1）E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，得出，根据菱形面积公式求出y关于x的函数关系式； （2）求出x的取值范围，整理，函数图象开口向下，自变量x的取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值； 【小问1详解】 解：∵E、F为AB、AD中点， ∴， 同理：， ∵EF＋BD＋GH＋AC＝80， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴当即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判断取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值． 22. 如图，在边长为8的正方形中，点E、G分别在边、上，且，，作、，与交于点O，分别在、上截取，，连结、交于点I． （1）四边形的面积 四边形的面积（填＞、＝，或＜）； （2）比较与大小，并说明理由． （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及、，可知四边形和四边形是矩形，正方形的边长为8，，，则，，计算面积即可比较； （2）证明即可； （3）连接，过I作于点H，容易证明的面积等于面积的2倍，故阴影的面积等于的面积的一半． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵、， ∴四边形和四边形是矩形， ∵，，正方形的边长为8， ∴，， ∴四边形和四边形是正方形， ∴， 故答案为：＝； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，连接，过I作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，属于四边形的综合题，有一定难度，解题的关键熟记正方形的性质并灵活运用． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA于点F、G，连OF． （1）求直线AC解析式． （2）当E为AC中点时，求CF的长． （3）在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线AC解析式： （2） （3）存在，P点横坐标为：4或或 【解析】 【分析】（1）运用已知点坐标，用待定系数法求解； （2）运用矩形的性质，求证，得，，由垂直平分线得，在中，运用勾股定理，求解； （3）存在以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：①以，为边，则，因为，得E为的中点，由（2）可知点，点，根据平移的性质，可得点P的坐标为，得点P的横坐标为4；②如图1，以，为边，，延长至P′，使，在的延长线上截取，连接，求证，得，则；设，在Rt△EOG中，运用勾股定理，求得，所以，，平移法得P点横坐标为；③如图2，以，为边，，作于H，连接，作与Q，可得，，所以平分，得，，在中，设，运用勾股定理，解得，，所以，则，所以P点横坐标为：4或或． 【小问1详解】 ∵矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且， ∴点，点， 设直线AC的解析式：， 代入点A，C坐标， 得， 解得 ∴直线AC解析式：； 【小问2详解】 ∵E为的中点， ∴， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 解得， ∴； 【小问3详解】 存在以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，分情况讨论： ①以，为边， 则， ∵， ∴E为的中点， 由（2）可知点，点， 根据平移的性质，可得点P的坐标为， ∴点P的横坐标为4； ②如图1， 以，为边，， 延长至P′，使，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 在Rt△EOG中，，，， ∴， ∴， ∴G，， ∵， ∴P点横坐标为：； 如图2， 以，为边，， 作于H，连接，作与Q，可知点O、E、F、C四点共圆， 可得，而， ∴,即平分， ∴，， 设， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：P点横坐标为：4或或． 【点睛】本题考查待定系数法、垂直平分线性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理及角平分线的性质和判定等，综合性较强；解题关键是添设辅助线，构造全等三角形，从而作线段的等量转换，融合勾股定理，求解线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$