精品解析：山东省枣庄市山亭区山亭区翼云中学2024年八年级下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度第二学期第二次核心素养评价 八年级数学试题 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题3分，共30分． 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 代数式中是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 取值 4 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 5. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 6. 已知是的三条边，且满足，则是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 7. 试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A. B. C. D. 8. 下列说法不正确是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 若分式方程有增根，则 C. 如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是 D. 若，则 9. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或3 10. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分． 11. 化简：______． 12. 若分式的值为零，则的值为____________． 13. 一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则的值为_______． 14. 若是完全平方式，则__________． 15. 有一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是_______． 16. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为_______． 三、解答题：本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 把下列各式分解因式 （1）； （2）； （3）． （4）． 18. （1）先化简分式，然后从中选一个合适数代入求值 （2）先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于的方程 （1）当时，求的值？ （2）若原方程的解是正数．求的取值范围？ 20. 按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 … （1）上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______． （2）上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 21 先阅读下列材料，再解答下列问题： 题：分解因式： 解：将“”看成整体，设，则原式＝ 再将“”还原，得原式＝. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题： (1)因式分解： ； . (2)因式分解： ； . (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个正整数的平方． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长最大值． （3）已知，的三边长是a，b，c，且满足，试判断是什么形状的三角形并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期第二次核心素养评价 八年级数学试题 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题3分，共30分． 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A.，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意； B.该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意； C.该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意； D.，符合因式分解的定义，故本项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 2. 代数式中是分式的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：分式有：共3个 故选：C 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 4 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确， ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：，D选项正确，A选项错误， 由上分析，原分式为， ∵当时，原分式值为1， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 5. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】D 【解析】 【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 【详解】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解， 又因为该指数为不大于10的正整数， ∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于． 6. 已知是的三条边，且满足，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将等式变形为，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到的数量关系． 【详解】解：， ， 对等式的左边，进行因式分解得， 根据三角形的三边关系可得：， ，即， 是等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，结合已知条件求得是解题的关键． 7. 试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：由题意可得： 被墨汁遮住部分的代数式是， ， 故选：D． 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 若分式方程有增根，则 C. 如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A，把分式方程的增根代入去分母后的方程可判定B，根据不等式的性质可判定C，把条件化为，，再代入计算可判定D，从而可得答案 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； 若关于x的方程有增根， ∴增根为 方程去分母得：，代入，解得，故B不符合题意； ∵关于x的不等式的解集是， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，， ∴，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，分式方程的增根问题，不等式的性质，条件分式的求值，掌握相关的基础知识是解本题的关键. 9. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，关键在于理解把新定义方程转化为对应的分式方程，分情况讨论注意要验根，避免增根．分类讨论与的大小情况，利用题中的新定义得出对应方程，求解即可． 【详解】解：（1）当时，方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）当时，方程整理得：， 去分母到：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选C． 10. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分． 11. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，把原式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】由题意得：且 解得： 故答案为：2． 13. 一个长为a，宽为b长方形的周长为14，面积为5，则的值为_______． 【答案】35 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，先根据一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5得到，把原式因式分解后整体代入即可． 【详解】解：∵一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5， ∴， ∴， 故答案为：35 14. 若是完全平方式，则__________． 【答案】16或-8 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：∵一个完全平方式， ∴a-4=±12， 解得：a=16或-8， 故答案为：16或-8． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． 15. 有一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是_______． 【答案】爱我中华（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．先对进行因式分解，再根据题意，即可得到答案． 【详解】解：∵ =， ∴信息中的汉字有：华、我、爱、中． ∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华． 故答案为：爱我中华． 16. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 把下列各式分解因式 （1）； （2）； （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 18. （1）先化简分式，然后从中选一个合适的数代入求值 （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；；（2）；； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化； （1）先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后结合分式有意义的条件再代入求值即可； （2）先计算分式的乘法运算，再计算加法运算，最后把代入计算即可； 【详解】解：（1） ； ∵，， 当时，原式； （2） ， 当时，原式． 19. 已知关于的方程 （1）当时，求的值？ （2）若原方程的解是正数．求的取值范围？ 【答案】（1）是原方程的根；（2）且． 【解析】 【分析】（1）将代入分式方程，再根据分式方程的求解方法，求解即可； （2）用表示出分式方程的解，再根据解为正数，列不等式求解即可，注意到． 【详解】解：（1）将代入得 两边同乘以，去分母得： 解得： 经检验是原方程的根 （2）两边同乘以，去分母得 解得： 由原方程解是正数，易知得 考虑分式方程产生增根的情况，即， 综上所述：且 【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，以及分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键． 20. 按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 … （1）上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______． （2）上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）通分，分式的基本性质； （2）三，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质填写即可． （2）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的． 【小问1详解】 上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质． 【小问2详解】 原式 故答案为：三 【点睛】此题考查了分式的运算求解，解题的关键是熟悉分式的运算法则． 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 题：分解因式： 解：将“”看成整体，设，则原式＝ 再将“”还原，得原式＝. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题： (1)因式分解： ； . (2)因式分解： ； . (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个正整数的平方． 【答案】(1)；.(2)；；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把（2a+b），（3a+2b），(2a+3b)分别看作一个整体，直接利用平方差公式因式分解即可； （2）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；把(a+b) 看作一个整体，代入后利用完全平方公式因式分解即可； （3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】(1)因式分解：=； = =. (2)因式分解：(x-y+1)2； 令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2， 故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2. (3) （n+1）（n+2）（n2+3n）+1 =（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1 =（n2+3n）（n2+3n+2）+1 =（n2+3n）2+2（n2+3n）+1 =（n2+3n+1）2， ∵n为正整数， ∴n2+3n+1也为正整数， ∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； （2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【解析】 【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； 【小问2详解】 解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元， 由题意得：， ∵甲种粽子个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得：， ∴w与m的函数关系式为； ②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134， ∴当时，w最大，最大值， 则， 答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 23. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长最大值． （3）已知，的三边长是a，b，c，且满足，试判断是什么形状的三角形并说明理由． 【答案】（1） （2）29 （3）是等边三角形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴，， 由三角形的三边关系可知且c为正整数， ∴c的最大值是14． 此时， ∴周长的最大值为29． 【小问3详解】 结论：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定等知识，是三角形综合题，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$