精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

巴彦淖尔市2023—2024学年下学期高二期末考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计算原理即可得解. 【详解】由题意，不同的取法种数为种. 故选：C. 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 3. 若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义和性质即可求解. 【详解】, 故选：D 4. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入即可. 【详解】，， 所以，即， 令，解得. 故选：A. 5. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解. 【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长. 故选：A. 7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】甲场馆安排2名志愿者可以知有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，第二种是乙、丙各安排2名有，第三种是乙安排3名丙安排1名，根据分步计算可得答案. 【详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法 第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况， 第二种是乙、丙各安排2名有， 第三种是乙安排3名丙安排1名， 所以根据分步算法可得种. 故选：B 8. 若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及两点分布的定义即可判断AB；根据期望和方差的公式及性质即可判断CD. 【详解】因为，所以，且， 又，所以A正确，B错误； ，故，故C正确； ， ，故D错误. 故选：AC. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故是唯一的极值点，故A正确； 对于B，函数在上的最小值为， 又因为当时，且，当且时，， 当且时，， 所以既无最小值也无最大值，故B错误； 对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示， 直线恒过点， 当足够大时， 直线与曲线有2个交点， 直线与曲线有2个交点， 则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确； 对于D，易知点不在的图象上，设切点为， 则，解得， 则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确. 故选：ACD. 11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ） A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A选项，根据n次独立重复实验计算判断B，D，计算条件概率判断C选项即可. 【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误； ，则，故B正确； 记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则， ，所以，故C正确； ，当最大时， 即 所以即解得， 又，所以，当为6时，最大，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二项式的各项系数和求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，即可得解. 【详解】因为二项式展开式中各项二项式系数的和为16， 所以，解得， 展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：；. 13. 已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数） 【答案】0.96 【解析】 【分析】依据决定系数的公式计算即可. 【详解】因为． 故答案为：. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可. 【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，所以， 得到切点，点到直线即的距离， 解得或3. 当时，过点和，过点和， 又，，所以与相交，不符合题意； 当时，令，则，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即恒成立， 所以与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：-1. 【点睛】关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为2 【解析】 【分析】（1）求导，根据的图象在点处的切线与直线垂直，得到方程组，求出； （2）求导，得到函数单调性，从而得到最值. 【小问1详解】 由，得. 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为， 所以， 所以在上的最大值为，最小值为2. 16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可. 【小问1详解】 零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为客户对该产品的评价结果与性别有关. 【小问2详解】 由题意得抽取的8人中，男性人数为， 女性人数为. 当3人中有2名女性和1名男性时，， 当3人全部为女性时，， 则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 17. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 2 3 4 ，．【解析】 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【小问1详解】 甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减，在单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性即可； （2）结合（1）中的单调性，首先可以判断时不符合题意，然后结合的大致趋势，可以画出和时的大致图象，结合图象分析出时仅有一个实数解，时，仅当最小值小于时，满足题意，最后构造关于的函数，利用函数的单调性和得解. 【小问1详解】 由题意，函数定义域为， 因为， 所以， 当时，， 所以在上单调递增； 当时， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 所以在上单调递增，在单调递减， 当时， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减，在单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增，所以方程不可能有两个不同的实数解，不符合题意； 当时，在上单调递增，在单调递减； 令，得， 所以，解得， 所以时，，时，， 且当时，，当时，， 所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，方程仅有一个实数解，不符合题意； 当时，在上单调递减，在单调递增； 令，得， 所以，解得， 所以时，，时，， 且当时，，当时，， 所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，若方程有两个不同的实数解， 则， 所以，即， 令， 所以， 所以函数在时单调递减， 又因为， 所以由，得， 即的取值范围为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题，以及函数零点个数问题，解题的关键在于利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性，并结合函数的大致趋势画出函数的大致图象，然后将零点个数问题转化为函数图象的交点问题来求解. 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设， 则． 令，且， 则，则在上单调递增， 得到，即， 故是上的“好函数”. （ii）证明如下： 由（i）可知，当时，， 令，则， 即， 故， 化简可得． 【解析】 【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可. （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可. （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【小问1详解】 由题可知任意， 且，，即，解得， 因为，所以解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市2023—2024学年下学期高二期末考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （ ） A. B. C. D. 6 4. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 5. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 8. 若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ） A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______． 13. 已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数） 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求在上的最值. 16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 17. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $