精品解析：辽宁省营口市鲅鱼圈区鲅鱼圈区实验学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期期末八年级质量监测 数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（ ）平方里． A. B. C. D. 5. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ） A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5 C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4 6. 一次函数（k、b为常数，且））的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A. y随x的增大而增大 B. 当时，y的值为 C. 图象不经过第三象限 D. 图象与x轴的交点在x轴负半轴上 7. 下列命题中，为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分四边形是平行四边形；（2）对角线互相垂直的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 A. （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（4） D. （3）（4） 8. 如图，在中，的平分线交的延长线于点，交于点，，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 9. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________． 12. 甲、乙、丙三名射击运动员在10次射击中的平均成绩都是环，他们射击成绩的方差分别为：，，，则三人中成绩最好的是________． 13. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为________． 14. 如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向左平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度． 18. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 19. 如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米． （1）求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ （2）若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立方盒的高为厘米，求的最大值． 20. 小明和小亮周六骑车去锻炼，他们分别从甲地出发到乙地，如图所示折线和线段分别表示小明和小亮骑行距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数图象． （1）求小明在小时内离开甲地距离y与时间x的函数关系式； （2）小亮到乙地时，小明距乙地多少千米？ 21. 为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，，两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从，两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 村卖出的土豆箱数为的数据有：40，49，42，42，43 村卖出的土豆箱数为的数据有：40，43，48，46 土豆箱数 村 0 3 5 5 2 村 1 4 5 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 村 48.8 59 村 47.4 46 56 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ； ； ； （2）你认为，两村中哪个村的小土豆卖得更好？请说明理由； （3）在该电商平台进行销售的，两村村民共210户，若该电商平台把每月的小土豆销售量在范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？ 22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点． （1）求m和b值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期期末八年级质量监测 数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：B． 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量x、y，若对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：B、C、D三个选项中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故三个选项中的图象都能表示y是x的函数， A选项中，当x为正数时，对于x的每一个值，y都有两个值与之对应，故该选项中的图象不能表示y是x的函数， 故选：A． 3. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等即可得出度数，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， 故选：． 4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（ ）平方里． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形即可解答． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形，直角边为里，斜边为里， ∴这块沙田的面积为（平方里）， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ） A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5 C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可． 【详解】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6， 所以这组数据的众数为4，中位数为， 平均数为， 方差为， 故选：C． 6. 一次函数（k、b为常数，且））的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A. y随x的增大而增大 B. 当时，y的值为 C. 图象不经过第三象限 D. 图象与x轴的交点在x轴负半轴上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案． 【详解】解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故A说法错误，C说法正确； 当时，，故B说法错误； 当，， ∴图象与x轴交点坐标为， ∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误； 故选：C． 7. 下列命题中，为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线互相垂直的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 A. （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（4） D. （3）（4） 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．正确的命题叫真命题，根据定义解答． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题； 对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题； 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故（4）是真命题； 故选：C． 8. 如图，在中，的平分线交的延长线于点，交于点，，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．根据平行四边形额性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选A． 10. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、三角形的中位线定理，牢记正方形的性质、全等三角形的判定定理及性质、角平分线的定义、三角形的中位线定理是解题的关键． ①先证得，求得，再证得，进而证得，进而证得为的中点，即可判断该说法是否正确． ②根据，，，即可判断该说法是否正确． ③根据，即可判断该说法是否正确． ④由题意可求得，结合三角形外角的性质，判断该说法是否正确． 【详解】①在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法①正确． ②∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 说法②错误． ③∵， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法③正确． ④∵为正方形的中心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 说法④正确． 综上所述，说法正确的为①③④， 故选． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：4． 12. 甲、乙、丙三名射击运动员在10次射击中的平均成绩都是环，他们射击成绩的方差分别为：，，，则三人中成绩最好的是________． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据方差判断稳定性即可． 【详解】解：∵平均成绩都是环，，，， ∴， ∴丙的成绩更稳定，成绩最好， 故答案为：丙． 【点睛】题目主要考查利用方差判断稳定性，理解方差的意义是解题关键． 13. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键． 在上截取，得与全等；再证明与全等，得，设，用表示，在中由勾股定理列出的方程便可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接． ，， ，． ， 即． 又， ． ， ． ， 设， ，， ，， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向左平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论． 【详解】解：点的坐标在一次函数上， ， 解得：， 直线的函数解析式为， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 四边形是正方形， ，． ，， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可证出， ，， ， 点的坐标为． 当时，， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的点的坐标变换，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）直接根据二次根式的乘除法则，进行计算即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 17. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得：， ． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 18. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）证明，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 19. 如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米． （1）求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ （2）若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 【答案】（1）过程见详解； （2）①，过程见详解；②，过程见详解． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据题意得出增加个纸杯，高度增加，进而即可求解； （2）①待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意列出一元一次不等式，解不等式，求得最大正整数解即可求解． 【小问1详解】 解：量得个纸杯的高为，个叠放在一起的纸杯的高为， 个叠放在一起的纸杯增加的高为， 增加个纸杯，高度增加， 个叠放在一起的纸杯的高为； 【小问2详解】 ①依题意，是的一次函数，设，将代入得： 解得： ； ②依题意，， 解得：， 为正整数， 的最大值为． 20. 小明和小亮周六骑车去锻炼，他们分别从甲地出发到乙地，如图所示折线和线段分别表示小明和小亮骑行距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数图象． （1）求小明在小时内离开甲地距离y与时间x的函数关系式； （2）小亮到乙地时，小明距乙地多少千米？ 【答案】（1）小明在小时内离开甲地距离y与时间x的函数关系式为； （2）小亮到乙地时，小明距乙地10千米． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）用待定系数法可得答案； （2）结合（1），求出时的值，再列式计算即可． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得：， 解得， ， 小明在小时内离开甲地距离与时间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：小亮到乙地时，，此时， （千米）， 小亮到乙地时，小明距乙地10千米． 21. 为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，，两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从，两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 村卖出的土豆箱数为的数据有：40，49，42，42，43 村卖出的土豆箱数为的数据有：40，43，48，46 土豆箱数 村 0 3 5 5 2 村 1 4 5 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 村 48.8 59 村 47.4 46 56 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ； ； ； （2）你认为，两村中哪个村的小土豆卖得更好？请说明理由； （3）在该电商平台进行销售的，两村村民共210户，若该电商平台把每月的小土豆销售量在范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？ 【答案】（1）4，1，49；（2）A村的小土豆卖的更好，理由见详解；（3）估计两村共有91户村民会被列为重点培养对象 【解析】 【分析】（1）由题意及中位数的定义即可得出答案； （2）根据平均数、中位数、众数可分析得出答案； （3）求出A、B两村中抽取的15户中每月的小土豆销售量x在范围内的村民分别有6户、7户，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由表格可得： B村的中位数为46，即中间第8个为46， ∴1+5+b=7， ∴b=1， ∴， A村中位数为第8个数49，即m=49； 故答案为4，1，49； （2）A、B两村中A村的小土豆卖得更好，理由如下： ①A村的平均数比B村大，②A村的中位数比B村大；③A村的众数比B村大； （3）A、B两村抽取的15户中每月的小土豆销售量x在范围内的村民分别有1+5=6户，2+5=7户， ∴（户）； 答：估计两村共有91户村民会被列为重点培养对象． 【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数及用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、平均数及用样本估计总体是解题的关键． 22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) . 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】(1)四边形是垂美四边形． 证明：连接AC，BD， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； (2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； 故答案为． (3)连接、， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由(2)得，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在t的值，使为等腰三角形，t的值为4或或或8 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当时；当时；当时；分别求出t的值即可． 【小问1详解】 在中，当时，； 当时，； ∴； ∵点C在直线上， ∴， 又∵点也在直线上， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ①在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则，过C作于E，如图1所示： 则， ∵的面积为10， ∴， 解得：； ②存在，理由如下： 过C作于E，如图1所示： 则， ∴， ∴； a、当时，， ∴， ∴； b、当时，如图2所示： 则， ∴，， ∴，或； c、当时，如图3所示： 设，则，， ∴， 解得：， ∴P与E重合，， ∴， ∴； t的值为4或或或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$