精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题

2023—2024学年高二年级下学期阶段测验 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确） 1. 已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式直接求解即可. 【详解】设数列的公比为，则，，. 故选：B. 2. 已知函数在处的导数为6，则（ ） A. B. 2 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】 . 故选：A. 3. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以，则 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以的最大值为25. 故选：C 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可. 【详解】由，得， 所以，又， 故曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：A. 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当或时，；当时，； 而等价于①，或②， 由①得或，则， 由②得，则， 综上，. 故选：B. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项求和法求出数列的前想和，可得结果. 【详解】根据已知条件有， 当时，， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式，所以，所以. 设数列的前项和为， 则， 所以. 故选：A 7. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可. 【详解】由得， 所以切线方程是， ①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点， ②若，则， 即， 由，即， 得或， 综上:或或. 故选：B. 8. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数列递推式恒等变形，构造等比数列，求得数列通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有两个或三个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列 B. 若为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大 D. 若 ，则数列的前2020项和为4040 【答案】CD 【解析】 【分析】由等差数列的性质判断AC；由等比数列的性质判断B；分奇偶项求和后即可判断D. 【详解】对于A，因为为等差数列的前项的和，所以，，成等差数列，故错误； 对于B，因为为等比数列，且， 又因为，所以， 所以，故错误； 对于C，因为为等差数列的前项的和，且，， 所以，所以， ，所以， 所以， 即等差数列的前项均为正，从第7项起为负，所以前6项的和最大，故正确； 对于D，因为 ，， 所以 =+ = = = =，故正确. 所以说法正确有CD. 故选：CD. 10. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. B. 时，函数的图象在处的切线方程为 C. 为定值 D. 时，函数在上的值域是 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项：由函数的导数等于0的方程有两个根可得；选项：由导函数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项：由函数的极值点互为相反数代入计算可得；选项：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域. 【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点， 当时，， 时，，函数单调递减，无极值点， 当时，令，得，解得， 当，解得或，上单调递增， 当，解得，上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 所以当时，函数有两个极值点，故正确； 对于B，若，则，则，则，， 所以函数在处的切线方程为，即，故正确； 对于C，因为， 当时，由，得，则， 所以为定值，故C正确； 对于D，当时，则，则， 令，解得或， 所以当时，， ，， 上的值域是，故错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：对含参的问题，要注意对参数的讨论；利用导数求切线方程问题要注意是“在”某处还是“过”某处；利用导数求函数在闭区间上的最值或值域问题，要注意舍去不在区间内的极值. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足关于对称，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 8是的一个周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出，令代值计算可判断A选项；推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，令，可得， 即， 等式两边求导得，即， 所以，函数的图象关于点对称， 在等式中，令可得，可得，A对； 对于B选项，因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称， 所以函数为偶函数， 又因为，则， 令，则，所以，为常值函数， 设，其中为常数， 当时，，此时，函数不是奇函数，B错； 对于C选项，因为，则， 可得， 所以，， 显然有，即8是的一个周期，C对； 对于D选项，在等式两边同时求导得，即， 所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，所以，，， ，可得， ，， 由中令，可得， 则，， 所以， ， 因为，则，D对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】等差数列满足，又，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 13. 设数列的前项和为，若，，则______． 【答案】1536 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出，再由计算可得. 【详解】因为，，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则. 故答案为： 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在上有两个交点求解. 【详解】函数，求导得， 依题意，函数在上有两个变号零点，由，得， 令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点， 而，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减，又， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，求函数的最小值； 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以，则，， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，定义域为， 又， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，所以； 16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果. （2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，， 得，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 17. 已知数列满足，且（，且）． （1）设，求证数列是等差数列． （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为，则， 则，即； 故数列是首项为，公差为的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知递推公式，求得为常数即可； （2）根据（1）中所求得到，再利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，即，解得； 则， 故 即， ， 故 ， 故. 18. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值是； （2）当时，在单调递减，在单调递增，当时，在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值； （2）利用导数分类讨论函数的单调性； （3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； 【小问2详解】 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知函数，. （1）若对于任意，都有，求实数的取值范围； （2）若函数有两个零点，求证：. 【答案】（1） （2）证明:等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【小问1详解】 结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年高二年级下学期阶段测验 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确） 1. 已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处的导数为6，则（ ） A. B. 2 C. D. 12 3. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有两个或三个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列 B. 若为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大 D. 若 ，则数列的前2020项和为4040 10. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. B. 时，函数的图象在处的切线方程为 C. 为定值 D. 时，函数在上的值域是 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足关于对称，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 8是的一个周期 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列满足，则______． 13. 设数列的前项和为，若，，则______． 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，求函数的最小值； 16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 17. 已知数列满足，且（，且）． （1）设，求证数列是等差数列． （2）记，求数列的前项和． 18. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若对于任意，都有，求实数的取值范围； （2）若函数有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $