精品解析：吉林省长春市高新区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年吉林省长春市高新区 七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 篆刻艺术，是在金属、象牙、犀角、玉、石等质材之上雕刻篆体文字的艺术，因以制作印章为主，又称印章艺术，下列篆刻作品是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题的关键，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列四个式子中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断即可，本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据含有未知数的等式叫做方程，判断是方程，其余不是， 故选：B． 3. 如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的（ ） A. 任意两边之和大于第三边 B. 任意两边之差小于第三边 C. 稳定性 D. 三角形三个内角的和为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键．根据三角形的稳定性可以解答． 【详解】解：建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的稳定性． 故选：C． 4. 若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是解题的关键，将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴的值为． 故选：A． 5. 下列不等式变形，成立的是（ ） A. 若m＜n，则m－2＜n－2 B. 若m＜n，则2－m＜2－n C. 若m＜n，则－2m＜－2n D. 若m＜n，则 【答案】A 【解析】 【分析】不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不改变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不改变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，根据此性质进行判断. 【详解】A、若m＜n，两边同时减去2，不等号方向不改变，∴m－2＜n－2，故本选项正确； B、若m＜n，两边同时乘以-1，不等号方向改变，∴-m>-n,两边再同时加上2，不等号方向不改变，∴2－m>2－n，故本选项错误； C、若m＜n，两边同时乘以-2，不等号方向改变，∴-2m>-2n,故本选项错误； D、若m＜n，两边同时除以-2，不等号方向改变，∴,故本选项错误. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的性质，正确判断不等式的变形是否符合对应的性质是解答此题的关键. 6. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，已知，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义可得，再次利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：C． 7. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、平行线的性质，先根据正多边形的内角和求出的度数，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵图中是正五边形， ∴， ∵太阳光线互相平行，， ∴． 故选：B． 8. 如图，长方形中，．点Q为中点，点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿的方向运动，当点P运动到点A时，点P停止运动．设点P运动的时间为t（秒），在整个运动过程中，当是面积为2的钝角三角形时，则此时t的值是（　　） A. 或6 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的几何应用，三角形的面积计算等知识点，根据点Q为中点得，①当点P在边上运动时，始终为直角三角形，不存在钝角，②当点P在边上运动时，，不存在面积为2的钝角，③当点P在边上运动时，由得，进而得，则，进而得，据此可求出点P运动的时间t的值． 【详解】解：∵四边形为长方形，， ， ∵点Q为中点， ， ①当点P在边上运动时，始终为直角三角形，如图1所示： 故当点P在边上运动时，不存在钝角， ②当点P在边上运动时，，如图2所示： 故当点P在边上运动时，不存在面积为2的钝角 ， ③当点P在边上运动时，如图3所示： ， ， 即， ， ， ， ∵点P以每秒3个单位的速度运动， ∴，解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 9. 由，得到用表示的式子为______． 【答案】 【解析】 【分析】把x看作是常数，把y看作是未知数，求解y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键． 10. “x与2的差不大于3”用不等式表示为___． 【答案】x-2≤3 【解析】 【分析】首先表示出x与2的差为（x-2），再小于等于3，列出不等式即可． 【详解】解：由题意可得：x-2≤3． 故答案为：x-2≤3． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于_____． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的定义，得出是解题的关键．根据所给旋转方式可得出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：因为将绕点A顺时针旋转得到， 所以． 又因为， 所以． 故答案为：40． 12. 如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长=8厘米，则CD为_______厘米 【答案】8 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 【详解】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D， 故有MP=MC，NP=ND； 则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm． 故答案为8． 【点睛】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 13. 关于的不等式组仅有个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围，熟练掌握以上知识是解题的关键． 不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：不等式组， 解得：， 由不等式组有个整数解，即整数解为，，， 则的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图所示，在中，D是上一点，，E是的中点，设，，，的面积分别为，，，，给出下面四个结论：①；②；③与的周长相等；④，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”判断①②即可； 根据与各边长之间的数量关系判断③即可； 设，，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出即可判断④． 【详解】解：①∵E是的中点， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴②正确，符合题意； ③∵，，但与不一定相等， ∴③与的周长不一定相等， ∴③不正确，不符合题意； ④如图，设，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴④正确，符合题意． 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为，即可得出结论； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 将代入①中可得： ， ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题关键． 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】． 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由①得， 由②得， 故此不等式组的解集为：． 18. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 【答案】这个多边形的边数是8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是，根据题意，列出方程进行求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为360度，是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数是， 由题意，得：， 解得：； 故这个多边形的边数是8． 19. 某校组建了人的合唱队和人的舞蹈队，根据实际需要，从合唱队中准备抽调部分同学参加舞蹈队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的倍，则需从合唱队中抽调多少人参加舞蹈队？ 【答案】需从合唱队中抽调人参加舞蹈队． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设需从合唱队中抽调人参加舞蹈队，根据合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的倍，即可得出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设需从合唱队中抽调人参加舞蹈队， 根据题意得：， 解得， 答：需从合唱队中抽调人参加舞蹈队． 20. 如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上． （1）求证：； （2）若，，求边的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，等号两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在 中，， ， 即． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线的对称图形； （2）在网格中画出向下平移3个单位得到的； （3）在网格中画出绕点顺时针旋转后的图形． 【答案】（1）如图，为所作； （2）如图，为所作； （3） 如图，为所作． ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、平移变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质是解此题的关键． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出的对应点，从而得到； （2）利用网格特点和平移的性质画出写出的对应点的坐标，从而得到； （3）利用网格特点和旋转的性质画出写出的对应点的坐标，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 若关于、的二元一次方程组的解满足，求的最小整数值． 【答案】的最小整数为． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式，熟练求解二元一次方程组是解题的关键，方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出的最小整数解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则满足条件的的最小整数为． 23. 某企业需运输一批生产物资．已知辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资：辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货车一次需费用元．若运输物资不少于箱，且总费用小于元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？ 【答案】（1）1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资 （2）运输方案有3种：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆；其中大货车5辆，小货车10辆，所需费用最少，最少费用是5500元． 【解析】 【分析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据“辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资：辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资．”列出方程组，即可求解； （2）设运输这批物资的大货车m辆，则小货车（15-m）辆，根据“运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元，”列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意得： ，解得∶ ， 答：1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资； 【小问2详解】 解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车（15-m）辆， ∵运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可取5，6，7， ∴运输方案有3种： 方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需费用为5×500+10×300=5500（元）， 方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需费用为6×500+9×300=5700（元）， 方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需费用为7×500+8×300=5900（元）， ∵5500<5700<5900， ∴运输这批物资的大货车5辆，小货车10辆，所需费用最少，最少费用是5500元． 答：运输方案有3种：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆；其中大货车5辆，小货车10辆，所需费用最少，最少费用是5500元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． 24. 问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 试想：如果用正六边形镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕　　个正六边形内角． 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程： ，整理得：， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案． 问题拓广 请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角列出关于a，b的二元一次方程，找出该方程的正整数解即可；在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角列出关于m，n，c的三元一次方程，找出该方程的正整数解即可． 【详解】解：能同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌； 验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：， 整理得：， 可以找到两组适合方程的正整数解为和， 结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌； 问题拓广： 猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角， 根据题意，可得方程：， 整理得：， 可以找到唯一一组适合方程的正整数解为， 结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年吉林省长春市高新区 七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 篆刻艺术，是在金属、象牙、犀角、玉、石等质材之上雕刻篆体文字的艺术，因以制作印章为主，又称印章艺术，下列篆刻作品是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四个式子中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的（ ） A. 任意两边之和大于第三边 B. 任意两边之差小于第三边 C. 稳定性 D. 三角形三个内角的和为 4. 若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 下列不等式变形，成立的是（ ） A. 若m＜n，则m－2＜n－2 B. 若m＜n，则2－m＜2－n C. 若m＜n，则－2m＜－2n D. 若m＜n，则 6. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，已知，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，．点Q为中点，点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿的方向运动，当点P运动到点A时，点P停止运动．设点P运动的时间为t（秒），在整个运动过程中，当是面积为2的钝角三角形时，则此时t的值是（　　） A. 或6 B. C. D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 9. 由，得到用表示的式子为______． 10. “x与2的差不大于3”用不等式表示为___． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于_____． 12. 如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长=8厘米，则CD为_______厘米 13. 关于的不等式组仅有个整数解，则的取值范围是_____． 14. 如图所示，在中，D是上一点，，E是的中点，设，，，的面积分别为，，，，给出下面四个结论：①；②；③与的周长相等；④，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解方程组： 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 18. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 19. 某校组建了人的合唱队和人的舞蹈队，根据实际需要，从合唱队中准备抽调部分同学参加舞蹈队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的倍，则需从合唱队中抽调多少人参加舞蹈队？ 20. 如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上． （1）求证：； （2）若，，求边的取值范围． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线的对称图形； （2）在网格中画出向下平移3个单位得到的； （3）在网格中画出绕点顺时针旋转后的图形． 22. 若关于、的二元一次方程组的解满足，求的最小整数值． 23. 某企业需运输一批生产物资．已知辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资：辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货车一次需费用元．若运输物资不少于箱，且总费用小于元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？ 24. 问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 试想：如果用正六边形镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕　　个正六边形内角． 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程： ，整理得：， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案． 问题拓广 请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $