精品解析：江苏省南通市启秀中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

南通市启秀中学2023-2024学年度第二学期单元练习 初二数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. ax2+bx+c＝0 B. x2﹣x（x+7）＝0 C. 2x2﹣﹣1＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点中，关于原点对称的两个点是（　　） A. （﹣5，0）与（0，5） B. （0，2）与（2，0） C. （﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D. （2，﹣1）与（﹣2，1） 5. 下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A. B. C. D. 6. 利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应先将其变形为（　　） A. （x+）2＝ B. （x﹣）2＝ C. （x﹣）2＝ D. （x+）2＝ 7. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A. （1，1） B. （2，0） C. （0，1） D. （3，1） 9. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠±1 B. m≥-1且m≠1 C. m≥-1 D. m＞-1且m≠1 10. 若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（11、12题每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为____________． 12. 已知x=2是方程x2-a=0的解，则a=_______． 13. 已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则____________ 14. 如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________ ． 15. 已知a是方程的一个实数根，则的值为____________． 16. 若点与关于点对称，则点的坐标是____________． 17. 关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是____________． 18. 如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为____________ 三、解答题（共90分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________． （3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________． 21. 已知，． （1）当a为何值时？． （2）对于任意实数a，试比较A与B的大小． 22. 春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 23. 已知关于x的方程x2－2x＋m－2=0有两个实数根x1、x2． （1） 求m的取值范围； （2） 求3x1＋3x2－x1x2的最小值． 24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 25. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 26. 阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市启秀中学2023-2024学年度第二学期单元练习 初二数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. ax2+bx+c＝0 B. x2﹣x（x+7）＝0 C. 2x2﹣﹣1＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、由已知方程得到：﹣7x＝0，属于一元一次方程，故此选项不合题意； C、是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意． C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设快递量平均每年增长率为x，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 4. 下列各点中，关于原点对称的两个点是（　　） A. （﹣5，0）与（0，5） B. （0，2）与（2，0） C. （﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D. （2，﹣1）与（﹣2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误； B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误； C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误； D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 5. 下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案． 【详解】能用直接开平方法求解的是：、和； 故选C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 6. 利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应先将其变形为（　　） A. （x+）2＝ B. （x﹣）2＝ C. （x﹣）2＝ D. （x+）2＝ 【答案】B 【解析】 【分析】移项，配方，再变形即可得出选项． 【详解】解：x2﹣x﹣1＝0， 移项，得x2﹣x＝1， 配方，得x2﹣x+（）2＝1+（）2， 即（x﹣）2＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，特别注意配方时是若二次项系数为1时方程两边直接同时加上一次项系数一半的平方，若二次项的系数不为1，应先把二次项系数化为1． 7. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解是关键． 【详解】由旋转可得：，， ∴， 故选C． 8. 如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A. （1，1） B. （2，0） C. （0，1） D. （3，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质及直角坐标系的特点即可作图找到旋转中心. 【详解】如图，连接AD,BE,分别作其垂直平分线，其交点即为旋转中心，即为（0，1）， 故选C. 【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知旋转中心的特点. 9. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠±1 B. m≥-1且m≠1 C. m≥-1 D. m＞-1且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 由有意义得， 解得：， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 10. 若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵方程是“月亮”方程， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解． 二、填空题（11、12题每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 12. 已知x=2是方程x2-a=0的解，则a=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将x=2代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将x=2代入方程得：4-a=0， 解得：a=4， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根，满足， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________ ． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，又∵点B和点B′关于点A对称， ∴BB′=2AB=4．故答案为4． 考点：中心对称的性质． 15. 已知a是方程的一个实数根，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，掌握一元二次方程解的定义是关键．由题意可得，从而，然后用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 16. 若点与关于点对称，则点的坐标是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，设，由题意得出点是线段的中点，计算即可得出答案． 【详解】解：设， ∵点与关于点对称， ∴点是线段的中点， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 17. 关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 18. 如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规律、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，分别求出的坐标，发现规律，根据规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形，且， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵将菱形与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴，，，，…， ∴不难发现从第五次旋转开始，点的坐标与前面的重复了， ∵， ∴第2022次旋转结束时，点的坐标与重合，为， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 20. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________． （3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所作： （2），； 直角坐标系如图： （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； （2）根据点B的坐标为作出直角坐标系，写出点的坐标即可； （3）根据关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数即可得出答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∵点是点C关于原点的对称点， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转－作图，坐标与图形，关于原点对称，熟练掌握平面直角坐标系以及旋转的性质是解本题的关键． 21. 已知，． （1）当a为何值时？． （2）对于任意实数a，试比较A与B的大小． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减、解一元二次方程、配方法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接根据联立方程求出的数值即可； （2）把两个整式作差，进一步配方，利用非负数的性质判断即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 整理得；， 解得：或； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴． 22. 春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 【答案】在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意列一元二次方程，求解即可得出结论． 【详解】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人． 23. 已知关于x的方程x2－2x＋m－2=0有两个实数根x1、x2． （1） 求m的取值范围； （2） 求3x1＋3x2－x1x2的最小值． 【答案】（1）m≤3；（2）5． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=m﹣2，则3x1+3x2﹣x1x2=﹣m+8，然后根据m的范围和一次函数的性质确定3x1+3x2﹣x1x2的最小值． 【详解】（1）根据题意得：△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，解得：m≤3； （2）根据题意得：x1+x2=2，x1x2=m﹣2，3x1+3x2﹣x1x2=6﹣（m﹣2）=﹣m+8，而m≤3，所以当m=3时，3x1+3x2﹣x1x2的值最小，最小值为：﹣3+8=5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了判别式的意义和一次函数的性质． 24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 25. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 （2）每件恤衫的销售价应该定为元 （3） 解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； 【小问2详解】 解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； 【小问3详解】 略 26. 阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1， 移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $