精品解析：云南省昆明市嵩明县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

嵩明县2023—2024学年下学期期末检测 八年级数学试题卷 （本卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每题2分，共30分） 1. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是( ) A. B. C. D. 2. 在下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列计算错误的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 20 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A B. C. D. 7. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知P1（-3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=2x+1的图象上的两个点，则y1， y2的大小关系是( ) A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1= y2 D. 不能确定 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 11. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 周末，小明一家从家出发开车前往七彩云南欢乐城游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象．如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. 小陆家距离亲子乐园350千米 B. 他们在服务区休息了20分钟 C. 他们出发80分钟后达到服务区 D. 在服务区休息前的行驶速度比休息后快 13. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 14. 在△ABC中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C D. 15. 如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点．四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（每小题2分，满分8分） 16. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 17. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则射击成绩较稳定的是___________（填“甲”或“乙”） 18. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为_______米． 19. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___． 三、解答题（共8小题，满分62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算 （1）； （2）． 21. 解方程 （1）； （2）． 22. 近些年来，我国航天事业飞速发展．2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，神舟十六号航天员乘组由景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让广大人民尤其是青少年学到了很多科学知识，激发了更多人的航天梦．为普及科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行分析．过程如下： 收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，67，70，69，75，73，75，75，80，78，77，90，81，84，86，88，94，98； 八年级20名学生成绩在的分数：80，81，82，83，84，85，87； 【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据： 年级 七年级 5 a 5 3 八年级 3 6 7 4 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76 b 131 八年级 c 78 124 （1）直接写出a、b、c值； （2）根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？ 【得出结论】 （3）通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合理性（写出一条理由即可）． 23. 3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 24. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 25. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 26. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 27. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嵩明县2023—2024学年下学期期末检测 八年级数学试题卷 （本卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每题2分，共30分） 1. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念与图象，根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵C图象中对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义；而A、B、D图象中对于每一个的值，并非都有唯一确定的值与之对应，不符合函数的定义； ∴C符合题意，A、B、D不符合题意． 故选：C． 2. 在下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A.原式＝2，故该选项不符合题意； B.是最简二次根式，故该选项符合题意； C.原式＝，故该选项不符合题意； D.原式＝，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 3. 函数的图象不经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一、三象限，根据b＜0确定函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限，从而判断得解． 【详解】解：一次函数y=x﹣2， ∵k=1＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣2＜0， ∴函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限， ∴函数图象不经过第二象限． 故选B． 4. 下列计算错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：A、 3与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意； B、 ，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算． 5. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据，以及，即可得到的值． 【详解】解：，，，，分别表示三个正方形的面积， ，， ， ， ， ， 故选：C． 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 7. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式．根据x的方程有实数根得到，解不等式即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证CF⊥BC，求出∠BCE=37°，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵CF⊥AD， ∴CF⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∵∠ECF=53°， ∴∠BCE=90°-53°=37°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC=90°， ∴∠B=90°-∠BCE=90°-37°=53°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9. 已知P1（-3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=2x+1的图象上的两个点，则y1， y2的大小关系是( ) A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1= y2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数y=2x+1中k=2判断出函数的增减性，再根据-3＜2进行解答即可． 【详解】∵一次函数y=2x+1中k=2>0， ∴此函数是增函数， ∵−3<2， ∴y1<y2. 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握一次函数的性质与其图象上点的坐标特征. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，ADBC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，ADBC， ∴∠DEC=∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE=∠BCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB， ∵AD=2AB=2CD，CD=DE， ∴AD=2DE， ∴AE=DE=3， ∴DC=AB=DE=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC． 11. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理求出，进而求出． 【详解】解：，点是的中点，， ， 为的中位线，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 12. 周末，小明一家从家出发开车前往七彩云南欢乐城游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象．如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. 小陆家距离亲子乐园350千米 B. 他们在服务区休息了20分钟 C. 他们出发80分钟后达到服务区 D. 在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像的应用，利用数形结合得出关键点坐标是解题的关键． 根据函数图象的信息逐项判定即可． 【详解】解：A.由题意可知，小陆家距离亲子乐园225千米，故选项A的判定错误，选项A符合题意； B. 他们在服务区休息了20（分钟），故选项B判断正确，选项B不合题意； C. 汽车经过80分钟后到达服务区，故选项C判断正确，选项C不合题意； D.在服务区休息前的行驶速度：，休息后的行驶速度：，则在服务区休息前的行驶速度比休息后快，故选项D的判定正确，选项D不合题意； 故选：A． 13. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 14. 在△ABC中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出a2＋b2＝c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D． 【详解】解：A、根据选项，化简得a2＝c2−b2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意； B、根据选项中，，，可得， ∴12＋22≠32，即， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、根据选项∠A＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意； D、根据选项中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设，则由三角形内角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得，解得， ∴最大角∠C＝＝75°＜90°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 15. 如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点．四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【详解】解：直线经过第二、四象限， ，故①错误； 与轴交点在正半轴， ，故②正确； 正比例函数经过原点，且随的增大而减小， 当时，；故③正确； 当时，正比例函数在一次函数图象的上方，即，故④错误． 故选：． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 二、填空题（每小题2分，满分8分） 16. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 17. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则射击成绩较稳定的是___________（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差，根据方差的意义：“方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，”进行求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴乙射击成绩较稳定， 故答案为：乙． 18. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 所以（米． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 19. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___． 【答案】10 【解析】 【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小. ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE. ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10. 故答案为10. 三、解答题（共8小题，满分62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶ （1）先利用二次根式除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式． ． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）利用配方法，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 近些年来，我国航天事业飞速发展．2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，神舟十六号航天员乘组由景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让广大人民尤其是青少年学到了很多科学知识，激发了更多人的航天梦．为普及科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行分析．过程如下： 【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，67，70，69，75，73，75，75，80，78，77，90，81，84，86，88，94，98； 八年级20名学生成绩在的分数：80，81，82，83，84，85，87； 【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据： 年级 七年级 5 a 5 3 八年级 3 6 7 4 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76 b 131 八年级 c 78 124 （1）直接写出a、b、c的值； （2）根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？ 【得出结论】 （3）通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合理性（写出一条理由即可）． 【答案】（1），，；（2）人；（3）八年级，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，（1）利用七年级样本总人数减去其他分数段求得a的值，再根据众数和中位数的定义求解即可； （2）分别利用七、八年级中成绩为优秀（80分及以上）的人数除以其样本总人数求得其所占百分比，再分别用七、八年级的百分比乘以各年级段的人数求得其在各年级段中成绩优秀的人数，再求和即可； （3）根据众数与中位数的意义进行判断即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 七年级20名学生成绩中，75出现的次数最多， ∴众数， 八年级20名学生成绩的中位数为：； （2）（人）， 答：估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的大约共有680人； （3）八年级成绩较好，理由如下： 因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数， 所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好． 23. 3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理，先在 中,根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可．熟练掌握勾股定理和它的逆定理是解题的关键． 【详解】在 中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 24. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2； （2）点C的坐标是（2，2）． 【解析】 【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式； （2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2）， ∴， 解得． ∴直线AB的解析式为y=2x﹣2． （2）设点C的坐标为（x，y）， ∵S△BOC=2， ∴•2•x=2， 解得x=2． ∴y=2×2﹣2=2． ∴点C的坐标是（2，2）． 25. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 由（1）可知，，， ， 菱形的面积． 26. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 27. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形的形状为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ∴四边形的形状为菱形， 故答案为：菱形； （2）如图，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，，， ， 点为的中点， ， ， 在和中， ， ， ； （3）①当点为的三等分点，且时，则， 如图，过点作于点， 四边形是矩形，，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， 在中，， ； ②当点为的三等分点，且时，则， 如图，过点作于点， 同理可得：， ， ， 由折叠的性质得：， 在中，， ， 综上，值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$