精品解析：陕西省咸阳市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

咸阳市2023~2024学年度第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 4. 已知 是两条不同的直线， 是平面，若 ，则 不可能（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（ ） A. 40年 B. 30年 C. 20年 D. 10年 7. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市举行体操选拔赛，每位评委各自给出一个基础分，按比赛规则，先对基础分进行处理，即去掉一个最高分和一个最低分，得到最终分．对于基础分和最终分，下列统计量可能发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 众数 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 函数的一个对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则______． 13. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 14. 如图，在边长为2正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且． （1）若，求的值； （2）若在上最大值与最小值的差为1，求的值． 16. 某大学强基计划招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． （1）求甲同学通过该校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙两位同学中有且只有一位同学通过强基招生面试的概率； （3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 17. 已知内角所对的边分别是，点是的中点．若． （1）求； （2）若，求边长． 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第80百分位数； （3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）设是边长为3的等边三角形，是线段上（不与重合）的点，若二面角的大小为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 咸阳市2023~2024学年度第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意得，“史政地”组合中选出的同学人数为. 故选：B 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算求出复数，再由几何意义得出答案. 【详解】， 复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算法则判断即可. 【详解】由集合，知，故错误； 或，或，故错误； ，不是的子集，，故错误，正确. 故选：. 4. 已知 是两条不同的直线， 是平面，若 ，则 不可能（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 【答案】C 【解析】 【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案. 【详解】因为，，则与可能平行，异面和垂直， 若与相交，，则，所以， 即直线与平面有公共点，这与矛盾，故B不可能. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】 ， 故选：C 6. 某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（ ） A. 40年 B. 30年 C. 20年 D. 10年 【答案】D 【解析】 【分析】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年，由题意列方程求解即可. 【详解】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年， 则由题意得，即， 所以，， 所以， 即该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要10年. 故选：D 7. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，然后结合不等式的性质和充分条件与必要条件的定义分析判断. 【详解】因为在上递增，且， 所以，所以， 所以，即， 当时，可能，可能，也可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市举行体操选拔赛，每位评委各自给出一个基础分，按比赛规则，先对基础分进行处理，即去掉一个最高分和一个最低分，得到最终分．对于基础分和最终分，下列统计量可能发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 众数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、极差、中位数和众数的定义分析判断. 【详解】对于A，当去掉一个最高分和一个最低分时，平均数可能会发生变化，所以A正确， 对于B，当去掉一个最高分和一个最低分时，最大值与最小值的差可能会发生变化，所以极差可能会发生变化，所以B正确， 对于C，当去掉一个最高分和一个最低分时，最中间的数或最中间两个数的平均数不会发生变化， 所以中位数不会发生变化，所以C错误， 对于D，当去掉一个最高分和一个最低分时，众数可能会发生变化，所以D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 函数一个对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为，求出，然后由正弦型函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，所以，故， 所以，故A错误； ，故B正确； 令，解得， 所以在区间上单调递增， 所以在区间上不单调，故C错误； 函数的图象上所有点向右平移个单位长度后， 解析式为， 图象关于轴对称，故D正确. 故选：BD 11. 对于任意表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据取整函数的定义结合奇函数的定义分析判断，对于B，根据取整函数的定义求解判断，对于C，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断，对于D，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解. 【详解】对于A，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以A错误， 对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 所以函数的值域为，所以B正确， 对于C，因为时，， 所以，所以C正确， 对于D，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以. 故答案为： 13. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 14. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知两两垂直，所以三棱锥的外接球的直径即为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的体对角线，从而可求出外接球的半径，进而可求出其表面积. 【详解】折叠后的三棱锥如图所示， 因为在正方形中，， 所以在三棱锥中两两垂直，且， 所以三棱锥的外接球的直径即为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的体对角线， 设外接球的半径为，则，得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且． （1）若，求的值； （2）若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由，结合对数运算即可求解. （2）结合题意，根据对数函数的单调性分类讨论求解. 【小问1详解】 ， ，即， 解得或（舍）． 【小问2详解】 当时，在上单调递增， 则， 由题意得，，解得． 当时，在上单调递减， 则， 由题意得，，解得． 综上，或． 16. 某大学强基计划招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． （1）求甲同学通过该校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙两位同学中有且只有一位同学通过强基招生面试的概率； （3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由甲同学答对第一题，第二题的概率分别是，结合独立事件的乘法公式求解即可； （2）先求出乙同学通过该校强基招生面试的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可； （3）先求丙同学通过该校强基招生面试的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可. 【小问1详解】 甲同学答对第一题，第二题的概率分别是， 甲同学通过该校强基招生面试的概率为． 【小问2详解】 乙同学通过该校强基招生面试的概率为， 甲、乙两位同学中有且只有一位同学通过强基招生面试的概率为： ． 【小问3详解】 丙同学通过该校强基招生面试的概率为， 甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： ． 17. 已知的内角所对的边分别是，点是的中点．若． （1）求； （2）若，求边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简计算即可； （2）由题意得，两边平方化简可求出，再利用余弦定理可求出 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为为的一条中线， 所以， 所以， 即，解得， 由余弦定理得． 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中值； （2）求样本成绩的第80百分位数； （3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）0.030 （2）86 （3）59，37 【解析】 【分析】（1）由各组频率和为1列方程求解即可； （2）先判断第80百分位数的位置，然后列方程求解； （3）根据平均数和方差的计算公式求解. 【小问1详解】 每组小矩形的面积之和为1， ， ． 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 第80百分位数落在内， 设第80百分位数为，则， 解得， 即第80百分位数为86． 【小问3详解】 由图可知，成绩在人数为， 成绩在的人数为， 故两组成绩的总平均数为， 总方差为． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）设是边长为3的等边三角形，是线段上（不与重合）的点，若二面角的大小为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，线线垂直，故为二面角的平面角，故．设，表达出，并求出，，由三角形形似得到，从而得到方程，求出. 【小问1详解】 为的中点， ， 又平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面， ． 小问2详解】 如图，过作于点，过作于点，连结， 由题意可知，， 又， ， 又，平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ． 设， 则且， ． 又， ，则， 故， ． 其中， ，即，故， ，解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$