精品解析：河南省三门峡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题

2023-2024学年度下学期期末调研考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 2. 样本数据16，14，10，24，20，30，12，14，40的上四分位数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 5. 现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（ ） A. B. C. D. 10. 2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番，为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：则下面结论中正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入比例减少了23% B. 新农村建设后，其他收入增加1% C. 新农村建设后，养殖收入持平 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 11. 已知内角的对边分别为，外接圆半径为．若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 边上的高的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为________. 13. 已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为______． 14. 已知在上的投影向量为，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：（I）直线； （II）． 16. 某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人. （1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； 参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率. （3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且． （1）求； （2）若，，求的周长． 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期期末调研考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为不用现金支付， 则 故选：B. 2. 样本数据16，14，10，24，20，30，12，14，40的上四分位数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解. 【详解】解：样本数据从小到大排列：10，12，14，14，16，20，24，30，40， 因为， 所以样本数据16，14，10，24，20，30，12，14，40的上四分位数为24， 故选：D 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将平移到与相交，求所成的角，即异面直线所成的角. 【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角， 因为为正三角形，所以与所成的角为， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 4. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 5. 现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可. 【详解】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C 6. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径，球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解． 【详解】如图：做陀螺的轴截面，则陀螺的轴截面内接于圆，设圆的半径为，圆柱的底面半径为. 由，球心为圆柱的中心， 又圆柱的底面半径，所以球心到圆柱底面距离， 所以圆柱的高为，圆锥的高为， 所以该陀螺的体积为. 故选：B 7. 在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长. 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故， ，故，由勾股定理得， ， 同理可得， 又，故， 故平面截该四棱柱所得截面的周长为. 故选：A 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0，即可判断. 【详解】对于A，，不一定为实数; 对于 B， ; 对于 C，; 对于 D，. 故选：BCD. 10. 2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番，为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：则下面结论中正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入比例减少了23% B. 新农村建设后，其他收入增加1% C. 新农村建设后，养殖收入持平 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】AD 【解析】 【分析】利用扇形图求解. 【详解】A.由扇形图知：新农村建设后，种植收入比例减少了23%，故正确； B.由扇形图知：新农村建设后，其他收入比例增加了1%，故错误； C.由扇形图知：新农村建设后，养殖收入比例持平，故错误； D.由扇形图知：新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，故正确； 故选：AD 11. 已知内角的对边分别为，外接圆半径为．若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 边上的高的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，然后逐项计算判断即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 则，由余弦定理得， 对于A，，则，A正确； 对于B，，即，当且仅当时取等号， ，因此面积的最大值为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，边上的高，D正确. 故选：ABD 【点睛】策略点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，利用求解. 【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，且事件，相互独立， 则. 故答案为： 13. 已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由纯虚数的定义求出，再利用复数的除法运算求解即可. 【详解】由复数为纯虚数，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知在上的投影向量为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】给已知等式两边平方化简可求出和，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以，， 所以，， 因为在上的投影向量为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查数量积的几何意义，解题的关键是对已知等式两边平方化简后，两式相结合求出的范围，考查计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：（I）直线； （II）． 【答案】 证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点 ． （II），又， 所以． 【解析】 【详解】略 16. 某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人. （1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； 参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率. （3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由. 【答案】（1）， （2）餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为， （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，； （2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可； （3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎. 【小问1详解】 因为餐厅满意指数在中有30人，则有： 解得： 根据总的频率和为1，则有： 解得： 综上可得：， 【小问2详解】 设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有： ， ， ， ， 综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别， 【小问3详解】 答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，餐厅满意指数的平均数为，方差为，因为，所以推荐餐厅； 答案二：餐厅满意指数在的频率为，在的频率为，餐厅满意指数在和的频率都为，所以推荐餐厅； （答案不唯一，符合实际情况即可） 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式变形即可求解； （2）由正弦定理可得，由可知，结合正弦定理可得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理可得，，， 得， 整理得， 因为，则， 因为，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，故，且， 故， 又因为，所以， 因为，可得， 又， 所以，故周长为. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，平面 ，平面 ， ∴ 在正方形 中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴， 又∵平面平面 ，平面平面 ∴平面 又平面 ，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面 为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，连接，. ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2）的所有可能取值为． 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． 【小问2详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $