重难点突破：集合中的参数问题（5大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

重难点突破：集合中的参数问题 一、根据元素与集合的关系求参数 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【注意】一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验． 二、根据集合中元素的个数求参数 1、解题思路：此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解． 2、方法步骤 第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【注意】一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0． 三、根据集合相等求参数 已知集合相等求参数的方法从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解0．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论0．求出值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性0． 四、根据两集合间的关系求参数的策略 1、已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 2、若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意区间端点处的值是否可取，最保险的做法就是把端点值代入原式中检验，看是否符合题目要求；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系，转化为方程（组）求解． 【注意】一是不等式的等号能否取到；二是含参集合是否为空集． 五、根据集合的交并补运算求参数的思路 1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． 2、将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解，及若有解应满足什么条件的问题． 3、解方程（组)或解不等式（组)来确定参数的值或范围时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件． ②对于涉及或的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性． 题型一 元素与集合关系中的参数问题 【例1】（23-24高一上·湖南常德·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】∵，∴或， 若，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合，满足题意，故成立， 若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去， 综上所述，．故选：B． 【变式1-1】（23-24高一上·贵州·月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【解析】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或，故选：C 【变式1-2】（23-24高一上·山东日照·月考）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵集合，， ∴，即，故选：C 【变式1-3】（23-24高二下·贵州·月考）已知集合，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 【变式1-4】（22-23高一上·江苏苏州·月考）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4；(2)． 【解析】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 题型二 集合中元素个数的参数问题 【例2】（23-24高一下·安徽滁州·月考）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为.故选：D. 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为 ． 【答案】3 【解析】集合有n个元素，则集合有个子集， 因集合至少有8个子集，则中至少有3个元素， 又由，所以，则的最小整数值为3． 故答案为：3 【变式2-2】（23-24高一上·江苏·月考）已知集合的子集至多有两个，则实数的取值范围是 【答案】或． 【解析】由题意，集合至多只有一个元素， 时，，满足题意； ，时，，满足题意， ，时，，满足题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式2-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【解析】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 【变式2-4】（23-24高一上·湖南长沙·月考）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析；(2)否，理由见解析；(3) 【解析】（1）由题意，若，则，则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则，则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由，解得或或， 所以. 题型三 集合相等关系中的参数问题 【例3】（23-24高一上·河南郑州·期中）设，集合，若，则 ． 【答案】0 【解析】由题意，因为，且， 所以，，所以. 故答案为：0. 【变式3-1】（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】因为集合，集合，且， 当时，则，不满足； 当时，则，满足； 所以. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一上·重庆江北·月考）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【解析】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【变式3-3】（23-24高一上·安徽淮南·月考）已知集合，求 ． 【答案】 【解析】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 【变式3-4】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知全集为R，A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数p，q的值； (2)若B＝{x|x2+2x+q＝0}＝{m，n}（m，n∈R），求使得为整数的实数的整数值 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}，且A∩B＝{2}， 故 所以解得 （2）由题意，解得 此时 故为整数 所以，又 故 题型四 集合包含关系中的参数 【例4】（23-24高一上·河南郑州·月考）设集合，，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题设，此时，故.故选：B 【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知集合，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以①当集合为空集时， ， ②当集合不为空集时， 当， 此时，满足题意； 当时，由韦达定理有： ，无解，舍去， 综上所述：若，则实数的取值范围是.故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·福建宁德·月考）已知为实数，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 当时，得，故选： 【变式4-3】（23-24高一上·福建厦门·月考）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】已知集合，或. 若，则， 当，即时，满足条件； 当时，即当时， 若，则或，解得（舍）或， 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 【变式4-4】（23-24高一上·河北保定·月考）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，集合，， 故. （2），则， 当时，，即，满足，故； 当时，，即时，则，解得， 于是得， 综上所述：，所以实数的取值范围是. 题型五 集合运算关系中的参数问题 【例5】（23-24高一上·浙江温州·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故可得或， 因为，，故可得.故选：C. 【变式5-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则，即， 当时，若， 则或，解得或， 综上，实数的取值范围为．故选：D． 【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 又，所以，所以.故选：B 【变式5-3】（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是.故选：D 【变式5-4】（23-24高一上·山东泰安·月考）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：集合中的参数问题 一、根据元素与集合的关系求参数 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【注意】一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验． 二、根据集合中元素的个数求参数 1、解题思路：此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解． 2、方法步骤 第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【注意】一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0． 三、根据集合相等求参数 已知集合相等求参数的方法从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解0．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论0．求出值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性0． 四、根据两集合间的关系求参数的策略 1、已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 2、若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意区间端点处的值是否可取，最保险的做法就是把端点值代入原式中检验，看是否符合题目要求；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系，转化为方程（组）求解． 【注意】一是不等式的等号能否取到；二是含参集合是否为空集． 五、根据集合的交并补运算求参数的思路 1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． 2、将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解，及若有解应满足什么条件的问题． 3、解方程（组)或解不等式（组)来确定参数的值或范围时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件． ②对于涉及或的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性． 题型一 元素与集合关系中的参数问题 【例1】（23-24高一上·湖南常德·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】（23-24高一上·贵州·月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【变式1-2】（23-24高一上·山东日照·月考）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·贵州·月考）已知集合，若，则 ． 【变式1-4】（22-23高一上·江苏苏州·月考）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 题型二 集合中元素个数的参数问题 【例2】（23-24高一下·安徽滁州·月考）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为 ． 【变式2-2】（23-24高一上·江苏·月考）已知集合的子集至多有两个，则实数的取值范围是 【变式2-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【变式2-4】（23-24高一上·湖南长沙·月考）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 题型三 集合相等关系中的参数问题 【例3】（23-24高一上·河南郑州·期中）设，集合，若，则 ． 【变式3-1】（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【变式3-2】（23-24高一上·重庆江北·月考）设a，，若集合，则 . 【变式3-3】（23-24高一上·安徽淮南·月考）已知集合，求 ． 【变式3-4】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知全集为R，A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数p，q的值； (2)若B＝{x|x2+2x+q＝0}＝{m，n}（m，n∈R），求使得为整数的实数的整数值 题型四 集合包含关系中的参数 【例4】（23-24高一上·河南郑州·月考）设集合，，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知集合，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·福建宁德·月考）已知为实数，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·福建厦门·月考）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ． 【变式4-4】（23-24高一上·河北保定·月考）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 题型五 集合运算关系中的参数问题 【例5】（23-24高一上·浙江温州·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高一上·山东泰安·月考）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$