1.5 全称量词与存在量词（6大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 知识点 1 全称量词与全称量词命题 1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． 2、全称量词命题 （1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ． 知识点 2 存在量词与存在量词命题 1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等． 2、存在量词命题 （1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． （2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题． 知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 2、含量词的命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 1、判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 2、判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 3、书写全称量词与存在量词命题的否定的思路 在书写全称量词与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 4、解决含有量词的命题的求参问题的思路 （1）全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 题型一 全称（存在）量词命题的辨析 【例1】（23-24高一上·广东佛山·月考）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【答案】D 【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误； 对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误； 对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误； 对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D. 【变式1-1】（23-24高一上·新疆喀什·月考）（多选）下列命题中全称量词命题的有（    ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④有些不相似的三角形面积相等. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【解析】①可改写为任意平行四边形的对角线互相平分，是全称命题； ②可改写为任意梯形有两边平行，是全称命题； ③④含“存在”、“有些”表示特称命题的特征词，是特称命题.故选：AB 【变式1-2】（23-24高一上·河北保定·月考）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【答案】2 【解析】①和④是全称量词命题，②和③是存在量词命题., 故答案为：2 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·月考）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【答案】(1)全称量词命题，理由见解析；(2)存在量词命题，理由见解析；(3)全称量词命题，理由见解析 【解析】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． （2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题． （3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． 题型二 全称（存在）量词命题的真假判断 【例2】（23-24高一上·湖北武汉·期末）（多选）下列四个命题中假命题是（   ） A．， B．，使 C．， D．已知命题，，则是：， 【答案】ACD 【解析】A：显然时不成立，假命题； B：时成立，真命题； C：都不是有理数，假命题； D：由特称命题的否定为全称命题，则是，，假命题.故选：ACD 【变式2-1】（23-24高一上·重庆·期末）（多选）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 【答案】BD 【解析】当时，，故A错， 当时，同时被3和4整除，B对， 当时，，故C错， 当时，，故D对；故选：BD. 【变式2-2】（23-24高一上·新疆·期中）（多选）下列四个命题是假命题的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A项，由，得，故不存在满足，故A是假命题； B项，由得，但，故不存在满足，故B是假命题； C项，当时，，故命题“”是假命题； D项，恒成立，故命题“”是真命题.故选：ABC. 【变式2-3】（23-24高一上·新疆·月考）判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)假命题；(4)真命题 【解析】（1）由题知，为全称量词命题，当时，，故此命题为假命题. （2）由有些偶数能被整除为存在量词命题，如为偶数也能被整除，故此命题为真命题. （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形为全称量词命题， 但存在四边形边长不相等但对角线垂直的四边形，故此命题为假命题. （4）有些三角形是锐角三角形为存在量词命题， 三角形分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，故此命题为真命题. 题型三 全称量词命题的否定 【例3】（23-24高一上·云南昆明·月考）命题“，”的否定为（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 【答案】D 【解析】命题“，”的否定为:“，”.故选:D. 【变式3-1】（22-23高一上·天津·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据全称量词命题的否定形式可知： “”的否定为“”.故选：C 【变式3-2】（23-24高一上·山东威海·期末）命题“，是无理数”的否定是（    ） A．，不是无理数 B．，是无理数 C．，不是无理数 D．，是无理数 【答案】A 【解析】命题“，是无理数”为全称量词命题， 该命题的否定为“，不是无理数”.故选：A. 【变式3-3】（23-24高一上·全国·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据全称命题的否定为存在命题，且任意变存在，范围不变，结论相反； 则命题“，”的否定是“，”，故选：D. 题型四 存在量词命题的否定 【例4】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以的否定为.故选：D. 【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“”的否定为，.故选：B 【变式4-2】（23-24高一上·山西阳泉·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】存在量词命题“”的否定为： .故选：D 【变式4-3】（23-24高一上·山东潍坊·期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（    ） A．任意，使无实根 B．任意，使有实根 C．存在，使无实根 D．存在，使有实根 【答案】A 【解析】由题意知命题“存在，使有实根”为存在量词命题， 其否定为：任意，使无实根，故选：A 【变式4-4】（23-24高一上·广东·期末）命题“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是（    ） A．存在无数个五边形，它是轴对称图形 B．存在一个五边形，它不是轴对称图形 C．任意一个五边形，它是轴对称图形 D．任意一个五边形，它不是轴对称图形 【答案】D 【解析】命题“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是“任意一个五边形，它不是轴对称图形”.故选：D 题型五 根据全称量词命题的真假求参数 【例5】（23-24高一上·海南·月考）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高一上·广西玉林·月考）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 【变式5-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】∵为假命题， ∴：，为真命题， ∴，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一·山东青岛·月考）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【答案】 【解析】由于命题：“，”是真命题，所以， ，则 解得 综上的取值范围是. 题型六 根据存在量词命题的真假求参数 【例6】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为真命题， 所以，解得.故选：A. 【变式6-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）若命题为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】∵命题为假命题， ∴方程无实数根．则，解得． 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·湖南常德·月考）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】命题“”的否定为“”，且其否定为真命题，所以， 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一上·甘肃张掖·月考）已知命题是真命题，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】当时，可得，当且仅当时，等号成立，即， 因为命题为真命题， 所以，所以的最大值为. 【变式6-4】（23-24高一上·广东广州·月考）已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 【答案】. 【解析】q为真，则，因为， 所以，解得，则, 若，则，解得， 则若，. 即m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全称量词与存在量词 知识点 1 全称量词与全称量词命题 1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． 2、全称量词命题 （1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ． 知识点 2 存在量词与存在量词命题 1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等． 2、存在量词命题 （1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． （2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题． 知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 2、含量词的命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 1、判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 2、判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 3、书写全称量词与存在量词命题的否定的思路 在书写全称量词与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 4、解决含有量词的命题的求参问题的思路 （1）全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 题型一 全称（存在）量词命题的辨析 【例1】（23-24高一上·广东佛山·月考）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【变式1-1】（23-24高一上·新疆喀什·月考）（多选）下列命题中全称量词命题的有（    ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④有些不相似的三角形面积相等. A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-2】（23-24高一上·河北保定·月考）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·月考）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 题型二 全称（存在）量词命题的真假判断 【例2】（23-24高一上·湖北武汉·期末）（多选）下列四个命题中假命题是（   ） A．， B．，使 C．， D．已知命题，，则是：， 【变式2-1】（23-24高一上·重庆·期末）（多选）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·新疆·期中）（多选）下列四个命题是假命题的（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·新疆·月考）判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 题型三 全称量词命题的否定 【例3】（23-24高一上·云南昆明·月考）命题“，”的否定为（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 【变式3-1】（22-23高一上·天津·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·山东威海·期末）命题“，是无理数”的否定是（    ） A．，不是无理数 B．，是无理数 C．，不是无理数 D．，是无理数 【变式3-3】（23-24高一上·全国·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四 存在量词命题的否定 【例4】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·山西阳泉·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·山东潍坊·期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（    ） A．任意，使无实根 B．任意，使有实根 C．存在，使无实根 D．存在，使有实根 【变式4-4】（23-24高一上·广东·期末）命题“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是（    ） A．存在无数个五边形，它是轴对称图形 B．存在一个五边形，它不是轴对称图形 C．任意一个五边形，它是轴对称图形 D．任意一个五边形，它不是轴对称图形 题型五 根据全称量词命题的真假求参数 【例5】（23-24高一上·海南·月考）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【变式5-1】（23-24高一上·广西玉林·月考）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式5-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 . 【变式5-3】（23-24高一·山东青岛·月考）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 题型六 根据存在量词命题的真假求参数 【例6】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）若命题为假命题，则实数a的取值范围为 . 【变式6-2】（23-24高一上·湖南常德·月考）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式6-3】（23-24高一上·甘肃张掖·月考）已知命题是真命题，则的最大值为 ． 【变式6-4】（23-24高一上·广东广州·月考）已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$