1.5 全称量词与存在量词【6个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【1.5全称量词与存在量词】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．全称量词命题及其改写 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣【解题方法点拨】改写全称量词命题时，可以将“所有”替换为“任意一个”，并在表述中保留命题的普遍性．例如，将“所有偶数都能被2整除”改写为“任意一个偶数都能被2整除”．这种改写方法可以帮助理解命题的本质． 2．全称量词命题的真假判断 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假． 3．全称量词命题真假的应用 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣ 【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算． 4．存在量词命题及其改写 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣【解题方法点拨】改写存在量词命题时，可以将“存在”替换为“至少有一个”，并在表述中保留命题的特定性．例如，将“存在一个偶数是4”改写为“至少有一个偶数是4”．这种改写方法可以帮助理解命题的特定性． 5．存在量词命题的真假判断 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假． 6．存在量词命题真假的应用 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣7．求全称量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）． 【解题方法点拨】 写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题． 8．求存在量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）． 【解题方法点拨】 写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：全称命题和特称命题的判断】 例题精选 【例题1】下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【例题2】下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【例题3】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 相似练习 【相似题1】多选题下列命题中，是全称量词命题的是（   ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 【相似题2】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【相似题3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【题型2：用全称量词与特称量词改写命题】 例题精选 【例题1】将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【例题2】用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【例题3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 相似练习 【相似题1】用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【相似题2】用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【相似题3】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)对任意实数，方程有实根； (2)存在实数，使得； (3)存在实数，使得等于的10倍． 【题型3：判断全称命题的真假】 例题精选 【例题1】下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【例题3】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 相似练习 【相似题1】下列四个命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【相似题3】命题“”是 （填“真”或“假”）命题. 【题型4：判断特称命题的真假】 例题精选 【例题1】下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【例题2】多选题下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．为奇数 相似练习 【相似题1】多选题下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【相似题2】判断下列命题的真假． (1)是偶数； (2)； (3)； (4)． 【题型5：根据全称量词与特称量词的真假求参数】 例题精选 【例题1】已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【例题2】已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【例题3】在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 相似练习 【相似题1】已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【相似题2】已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【相似题3】已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【题型6：全称命题与特称命题的否定】 例题精选 【例题1】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【例题2】命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【例题3】若命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 相似练习 【相似题1】已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【相似题2】已知命题，则为 . 【相似题3】已知命题，，则为 . 课后针对训练 一、单选题 1．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 2．已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．全称命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知命题，或，则命题的否定是（    ） A．，或 B．， C．，或 D．， 二、多选题 6．下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 7．下列说法中正确的有（      ） A．命题“，”是存在量词命题 B．命题“”是全称量词命题 C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题 8．下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 9．下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．，是有理数 D．， 10．下列结论中正确的是（    ） A．，能被2整除是真命题 B．，不能被2整除是真命题 C．，不能被2整除是真命题 D．，能被2整除是真命题 三、填空题 11．命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为 ，该命题为 命题．（填“真”或“假”）． 四、解答题 12．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被整除，又能被整除； (2)，； (3)，； (4)，使为的约数； (5)，． 13．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0； (2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； (3)存在整数x，y，使得； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 14．已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 15．已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 16．已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【1.5全称量词与存在量词】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．全称量词命题及其改写 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣【解题方法点拨】改写全称量词命题时，可以将“所有”替换为“任意一个”，并在表述中保留命题的普遍性．例如，将“所有偶数都能被2整除”改写为“任意一个偶数都能被2整除”．这种改写方法可以帮助理解命题的本质． 2．全称量词命题的真假判断 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假． 3．全称量词命题真假的应用 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣ 【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算． 4．存在量词命题及其改写 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣【解题方法点拨】改写存在量词命题时，可以将“存在”替换为“至少有一个”，并在表述中保留命题的特定性．例如，将“存在一个偶数是4”改写为“至少有一个偶数是4”．这种改写方法可以帮助理解命题的特定性． 5．存在量词命题的真假判断 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假． 6．存在量词命题真假的应用 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣7．求全称量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）． 【解题方法点拨】 写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题． 8．求存在量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）． 【解题方法点拨】 写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：全称命题和特称命题的判断】 例题精选 【例题1】下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【详解】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题． 【例题2】下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可. 【详解】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 【例题3】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 相似练习 【相似题1】多选题下列命题中，是全称量词命题的是（   ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 【答案】BC 【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可. 【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误； BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确； D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误. 故选：BC. 【相似题2】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 【相似题3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 【题型2：用全称量词与特称量词改写命题】 例题精选 【例题1】将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【例题2】用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 【例题3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 相似练习 【相似题1】用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 【相似题2】用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【答案】(1)，的内角和是 (2)，表示的相反数 (3)， 【分析】（1）使用特称量词直接转换即可；（2）使用全称量词直接转换即可；（3）使用特称量词直接转换即可. 【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”. （2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”. （3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”. 【相似题3】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)对任意实数，方程有实根； (2)存在实数，使得； (3)存在实数，使得等于的10倍． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】用存在量词符号与全称量词符号分别表示命题（1）（2）（3），并判断真假. 【详解】（1），方程有实根； 由， 此时方程无实根， 故该命题为假命题． （2），使得； 由， ，无实数解， 故不存在，使得， 因此该命题为假命题． （3），使得等于的10倍． 因为， 即 所以，使得等于的10倍， 因此该命题为真命题． 【题型3：判断全称命题的真假】 例题精选 【例题1】下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全称量词命题真假判断方法推理判断AC；利用存在量词命题真假判断方法推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，B错误； 对于C，取满足，而不成立，C错误； 对于D，取，则，D正确. 故选：D 【例题2】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【分析】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【例题3】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 相似练习 【相似题1】下列四个命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】A选项，由得，不是整数，所以A选项错误. B选项，由得，不是整数，所以A选项错误. C选项，或时，，所以C选项错误. D选项，由于，所以D选项正确. 故选：D 【相似题2】多选题下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据存在命题、全称命题的题意逐项判断即可. 【详解】当时，，无解，故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，故C错误； 由，故D正确. 故选：BD 【相似题3】命题“”是 （填“真”或“假”）命题. 【答案】真 【分析】根据任意，可得，即可得到答案. 【详解】对于任意，可得，所以命题“” 为真命题. 故答案为：真. 【题型4：判断特称命题的真假】 例题精选 【例题1】下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 【例题2】多选题下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．为奇数 【答案】AC 【分析】对A，由绝对值的意义可判断；对B，计算判别式，判断对应方程根的情况得解；对C，由题可得，得解；对D，由，是3个连续的整数，所以是偶数，得解. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为方程的判别式，方程无实数解，故B错误； 对于C，任意，则，所以，故C正确； 对于D，因为，当时，是3个连续的整数， 至少有一个是偶数，所以是偶数，故D错误. 故选：AC. 相似练习 【相似题1】多选题下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 【相似题2】判断下列命题的真假． (1)是偶数； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】根据全称命题及特称命题的定义分别判断各个小题即可. 【详解】（1），均为偶数，是真命题． （2）0中，方程有两个不相等的实根，是真命题． （3）中，无解，是假命题． （4）时，是假命题． 【题型5：根据全称量词与特称量词的真假求参数】 例题精选 【例题1】已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 【例题2】已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 【例题3】在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】选条件①，;选条件②, 【分析】由都是真命题，先分别求的范围，最后求交集即可. 【详解】由命题p为真，可得不等式对于恒成立. 因为，所以，所以. 选条件①. 若命题q为真，则关于的方程有解， 所以，解得. 又都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 选条件②. 对于命题q， 当，即时，，命题q为真命题； 当时，由得或，所以或. 综上，或. 又p，q都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 相似练习 【相似题1】已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以， （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 【相似题2】已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 【相似题3】已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 【题型6：全称命题与特称命题的否定】 例题精选 【例题1】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得结论 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 【例题2】命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 【例题3】若命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解． 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可知： 命题，的否定为，． 故选：A 相似练习 【相似题1】已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【答案】B 【分析】由可得是假命题，进而由存在量词的否定可得. 【详解】因为， 所以方程无实数根，则是假命题， ，． 故选：B 【相似题2】已知命题，则为 . 【答案】 【分析】根据全称命题的否定概念理解. 【详解】命题，则为. 故答案为： 【相似题3】已知命题，，则为 . 【答案】， 【分析】利用全称(特称)命题的否定规则解题即可. 【详解】特称命题的否定：前改量词，后改否定， 故为，. 故答案为：， 课后针对训练 一、单选题 1．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 2．已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．全称命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知命题，或，则命题的否定是（    ） A．，或 B．， C．，或 D．， 二、多选题 6．下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 7．下列说法中正确的有（      ） A．命题“，”是存在量词命题 B．命题“”是全称量词命题 C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题 8．下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 9．下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．，是有理数 D．， 10．下列结论中正确的是（    ） A．，能被2整除是真命题 B．，不能被2整除是真命题 C．，不能被2整除是真命题 D．，能被2整除是真命题 三、填空题 11．命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为 ，该命题为 命题．（填“真”或“假”）． 四、解答题 12．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被整除，又能被整除； (2)，； (3)，； (4)，使为的约数； (5)，． 13．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0； (2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； (3)存在整数x，y，使得； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 14．已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 15．已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 16．已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D BC AB ABC AD CD 1．A 【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可． 【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”. 故选：A 2．B 【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可. 【详解】A：显然，，所以本选项不正确； B：显然，，所以本选项正确； C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确； D：因为，，所以本选项不正确， 故选：B 3．C 【分析】根据命题是真命题的意思求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 4．B 【分析】根据全称量词命题的否定即可得解. 【详解】由全称量词命题的否定知“，”的否定是“，”. 故选：B. 5．D 【分析】修改量词，否定结论，即可得结果. 【详解】修改量词且否定结论，可得的否定为，. 故选：D. 6．BC 【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题. 故选：BC. 7．AB 【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的定义逐个选项判断即可. 【详解】对A，命题中含“”，故命题是存在量词命题，A正确； 对B，命题中含“”，故命题是全称量词命题，B正确； 对C，命题中含“所有的”，故命题是全称量词命题，C错误； 对D，当时，无实数根，D错误； 故选：AB 8．ABC 【分析】根据全称命题以及存在量词命题的性质结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A. 由可得，故不存在，使，A错误， 对于B，由得，故不存在，使，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D,由于，故，D正确， 故选：ABC 9．AD 【分析】根据全称命题和特称命题的意义，结合反例依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，是无理数，C错误； 对于D，当，时，成立，D正确. 故选：AD. 10．CD 【分析】由全称命题与特称命题的性质，举例说明命题的真假. 【详解】当时，不能被2整除，当时，能被2整除， 所以A、B错误，C、D正确． 故选：CD. 11． ， 假 【分析】将命题用数学符号语言表示出来可得答案. 【详解】命题“存在正实数，使得大于”， 用符号语言可表示为“，”. 因为时，，所以该命题为假命题. 故答案为：①，；②假. 12．(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当或时，，故该命题为真命题． （4）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （5）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 13．(1).真命题； (2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题； (3)假命题； (4)，真命题. 【解析】利用符号“”与“”的意义改写，并判断真假. 【详解】(1)，是真命题； (2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，； (3)假命题,因为必为偶数； (4).真命题,例如. 【点睛】本题考查特称全称命题及其真假判断，是基础题. 14．(1)； (2). 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 15． 【分析】先化简命题和命题得到实数的取值范围，再依据是真命题，是假命题，列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围． 【详解】由，可得，即； 由，可得， 解之得； 由是真命题，是假命题，可得，解之得 故实数的取值范围为. 16．答案见解析 【分析】由特称命题为假求参数a的范围，即得集合A，根据所选条件判断集合A、B的包含关系，讨论、求参数m的范围. 【详解】由已知命题为假，则为真， 当，显然不成立； 当，只需； 所以， 选①：若“”是“”的必要不充分条件，则， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 选②：“”是“”的充分条件，则，而， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 选③：由， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$