精品解析：2024年甘肃省陇南市康县九年级下学期联考模拟数学试题

2024年中考全仿真模拟试题 数学学科 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 计算的结果是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如图，在中，，，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后图象经过点，则（　　） A. B. C. D. 2 6. 如图，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，点的坐标是，点的纵坐标是1，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，中，点从点出发，匀速向点运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图像如图2所示，其中函数图像最低点，则的周长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 填空：________（填“”或“”） 12. 计算： =___________． 13. 要使分式有意义，则x的取值范围_____． 14. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为______． 15. 如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，反比例函数的图象与BC交于点D(1，4)，与AB交于点E，则E点的坐标是_______． 16. 如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，cm，cm，则边AB的长度等于______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 19. 先化简，再计算：，其中a是满足条件的合适的非负整数． 20. 如图，中，，． （1）请利用尺规在边上找一点，使得(不写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 22. 某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上，其中，米． （1）填空： 度， 度； （2）求无人机的飞行高度； （3）求河流的宽度．（结果保留根号） 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分）进行整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中扇形统计图中，95分所在扇形的圆心角为．请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生测试成绩的中位数是______分，并补全条形统计图； （2）请计算本次抽取的学生测试成绩的平均数； （3）若参加本次知识测试的共有500名学生，请你估计测试成绩达到100分的学生有多少名？ 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OB，若的面积为3，求点A的坐标． 25. 已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 26. 已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接． （1）当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________； （2）点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明． 27. 已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考全仿真模拟试题 数学学科 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根，如果一个数满足，则叫做的平方根．据此进行解答即可． 【详解】解；∵， ∴ 16的平方根是， 故选：B． 2. 计算的结果是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故选B 3. 如图，在中，，，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据在直角三角形中，两锐角互余得出，根据，得到，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质是解题的关键． 4. 海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后图象经过点，则（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后的直线为，然后把代入解得即可． 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度后得到， ∵经过点， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握平移变换规律是解题关键． 6. 如图，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数． 【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 又∵∠AOB=2∠C=130°， 则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 7. 如图，在菱形中，点的坐标是，点的纵坐标是1，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点E，如图，根据菱形的性质可得，进而可求得，即得答案. 【详解】解：连接交于点E，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标是，点的纵坐标是1， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 故选：B. 【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键. 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 9. 如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，先根据已知条件得到，即可求得角度． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选：A． 10. 如图1，中，点从点出发，匀速向点运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图像如图2所示，其中函数图像最低点，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，结合图2可得，，，根据勾股定理分别求出、的长，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 根据点与直线上点的距离垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为， 图2函数图像最低点， 此时，， 由图2可知，当点运动到点时，所对的函数值为2， ， 在中，， 在中，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图像、勾股定理，理解函数图像中最低点坐标的实际意义是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 填空：________（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 12. 计算： =___________． 【答案】 【解析】 【分析】先运用平方差公式，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的运用，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 13. 要使分式有意义，则x的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为零． 14. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据题意，易得：，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，反比例函数的图象与BC交于点D(1，4)，与AB交于点E，则E点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，则根据的坐标求得． 【详解】解：∵矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)， ∴的横坐标为5， 由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得， 反比例函数， 在反比例函数图象上 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，掌握矩形的性质，反比例函数的性质是解题的关键． 16. 如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，cm，cm，则边AB的长度等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB=2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， ∴EA=EM，BE=EM，∠AEH=∠HEM，∠BEF=∠FEM，∠EMH=∠A=90°， ∴AB=AE+EB=2EM， ∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°， ∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理，∠EFG=∠FGH=90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∵EH=3cm，EF=4cm， ∴， ∵EM·HF=EH·EF， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的规律，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简负整数指数幂、零指数幂、立方根以及绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解： 解①，，得， 解②，，得， 则不等式组的解集是， 则不等式组的非负整数解是0，1，2． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 先化简，再计算：，其中a是满足条件的合适的非负整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，化简求值，先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为最简，最后选择适合的数值代入计算即可． 【详解】解： ． 根据题意可知， ∴a的取值2，将代入，原式． 20. 如图，中，，． （1）请利用尺规在边上找一点，使得(不写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，则点为所作； （2）根据作图可得，根据含度角的直角三角形的性质，可得，即可求解． 【小问1详解】 如图，点为所作； 【小问2详解】 证明：作图可得：， ，， ， ， ，， ， 又∵， ． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图以及含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 21. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 所以实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是． 22. 某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上，其中，米． （1）填空： 度， 度； （2）求无人机的飞行高度； （3）求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）60，30 （2）无人机的飞行高度为180米 （3）河流的宽度为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题． （1）根据仰角、俯角的概念、平行线的性质解答； （2）根据正确的定义计算，得到答案； （3）过点作于点，根据正切的定义求出，进而求出． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ，， 故答案为：60，30； 【小问2详解】 解：在中，米，， 则（米， 答：无人机的飞行高度为180米； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则米，米， 在中，， 则（米， 米， 米， 米， 答：河流的宽度为米． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分）进行整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中扇形统计图中，95分所在扇形的圆心角为．请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生测试成绩的中位数是______分，并补全条形统计图； （2）请计算本次抽取的学生测试成绩的平均数； （3）若参加本次知识测试的共有500名学生，请你估计测试成绩达到100分的学生有多少名？ 【答案】（1） 90分， 补全条形统计图，如下： （2）分 （3）100人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，样本估计总体，求加权平均数，条形统计图和扇形统计图： （1）先求出本次抽取的学生的人数，可求出测试成绩为85分的人数，然后根据中位数的定义，即可求解； （2）根据加权平均数的公式计算，即可求解； （3）用500乘以测试成绩达到100分的学生的人数所占的比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：本次抽取的学生的人数为人， ∴测试成绩为85分的人数为人， ∴本次抽取的学生测试成绩位于正中间的两个数均为90分， ∴本次抽取的学生测试成绩的中位数是分， 【小问2详解】 解：本次抽取的学生测试成绩的平均数为：分； 【小问3详解】 解：人， 估计测试成绩达到100分的学生有100人． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OB，若的面积为3，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数，即可求解； （2）根据，可得，即，再利用待定系数法可得一次函数解析式为，联立，即可作答． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象过点， ∴，即， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴，即， 把，代入， 得：， 解得， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数以及解一元二次方程的知识，根据面积求出，是解答本题的关键． 25. 已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）25° （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． 【小问2详解】 如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 26. 已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接． （1）当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________； （2）点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明． 【答案】（1） （2）图②猜想：．图③猜想：，见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据图象对图②③作出猜想即可；过点D作，交于点G，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可证明． 【小问1详解】 证明：∵点F与点A重合， ∴与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 图②猜想：． 图③猜想：． 图③证明：过点D作，交于点G，如图． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴，． ∴为等边三角形． ∴． ∵为等边三角形， ∴，． ∵，即， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 27. 已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将点代入解析式得到，再将点代入解析式，结合对称轴公式可得到，，即可得到答案； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，设，则点，得到，连接，设与交于点，根据正方形的性质推出，从而得到，代入抛物线解析式即可到答案． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过点 对称轴为直线，且经过点 解得： 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得： 直线的解析式为 设， 轴于点 点坐标为 连接，设与交于点，如图 四边形是正方形 ，， 轴， ， 点的横坐标为 点在抛物线上 解得： （舍去）， 当时， 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解二元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $