专题04 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题04 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2)； (3)． 5．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）直接写出得数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 15．（2020·广西南宁·一模）计算：． 16．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各式： (1) (2)． 17．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) 20．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用合理的方法计算下列各题： (1)； (2)． 24．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算: (1) (2) (3) (4) (5) 25．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2) 26．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 28．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 29．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）计算： (1)； (2) 32．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算 (1) (2) 33．（23-24七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 34．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：； 35．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）计算： （2）计算：． 36．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 37．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 38．（23-24七年级上·河南周口·期中）计算． (1) (2) 39．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 40．（23-24七年级上·甘肃定西·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 42．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 43．（21-22七年级下·湖南郴州·开学考试）计算： 44．（23-24七年级上·江西赣州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 45．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：． 46．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 47．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 48．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 49．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 50．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算题： (1)； (2)． 52．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（1）； （2）； （3）； （4）． 53．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 54．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 55．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 56．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 57．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 58．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 59．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 60．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 62．已知的大致位置如图所示：化简． 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 66．计算：． 67．已知，且，求的值． 68．已知，求的值． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）计算（能简便运算的则用简便运算） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 72．（21-22六年级上·山东青岛·期中）运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题： 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： (1)； (2)． 73．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 74．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 75．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 76．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用简便方法计算： (1) (2) 77．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2)． 78．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 79．（23-24七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 70．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 102．（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 103．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 105．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 106．（21-22七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 107．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 108．（23-24七年级上·广东湛江·期中）对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 109．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 110．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）直接写出得数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3)49 (4)49 (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查的是有理数的加减乘除运算，掌握运算顺序与相应的运算法则是解本题的关键； （1）直接利用加法运算法则计算即可； （2）先通分，再计算即可； （3）先约分，再计算即可； （4）先把除法化为乘法运算，再计算即可； （5）直接按照除法运算法则计算即可； （6）先约分，再计算乘法运算即可； （7）利用交换律与结合律进行简便运算即可； （8）先计算乘法运算，再计算加法运算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）0除以任何数都为0； （2）根据有理数的除法法则计算； （3）根据有理数的除法法则进行计算； （4）换算成小数进行计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2) (3)0 (4) 【分析】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除． （1）先判断出符号，再绝对值相除即可； （2）先判断出符号，再绝对值相除即可； （3）零除以任何一个不为零的数，商为零， （4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先算括号里面的，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． （2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2） ． 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘法和加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（2020·广西南宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 16．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算． （1）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答； （2）利用加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先确定符号，再计算乘法即可． （2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． （3）先算乘方与括号内的减法运算，再计算乘法运算，最后计算加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)46 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）先运算有理数的乘方，然后运算有理数的乘除，最后运算加减计算即可； （2）先运算有理数的乘方，然后运算有理数的乘除，最后运算加减计算即可 【详解】（1）解： ； （2） 19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算． （1）先计算除法运算，再计算加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可． （2）根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键． （1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案； （2）应用加法的交换，结合律，即可计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用合理的方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查有理数的加法，关键是掌握有理数的加法法则． （1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案； （2）应用加法的交换，结合律，即可计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算: (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)0 【分析】此题考查了有理数的混合运算，在计算时要注意混合运算的顺序和法则，注意结果的符号． （1）先去括号，再计算即可； （2）先进行结合，再计算即可， （3）同分母分数结合在一起，再计算即可， （4）先进行结合，再计算即可， （5）先进行结合，再计算即可， （6）先进行结合，再计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 25．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是熟练掌握法则，准确进行计算； （1）先化简算式，再计算即可； （2）先化简算式，再计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式 26．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)23 (2)59 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的加减运算和去绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则及绝对值的性质计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 27．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）去括号，再计算加减即可． （2）去括号，通分，再计算加法即可． 【详解】（1） （2） 28．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 29．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （3）把负数与负数、正数与正数结合，然后根据有理数的加法法则计算即可； （4）先去括号，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 30．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再算加减即可； （2）先将原式展开，再将分数合并，整数合并，再计算加减即可； （3）根据有理数混合运算的顺序计算即可； （4）先去括号和绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，有理数乘除运算，学会去小括号，即可． （1）先去小括号，然后根据有理数的加减运算，即可； （2）根据同号得正，异号为负，有理数乘除运算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 32．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）先把除法转化为除法，然后根据乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先把除法转化为除法，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 33．（23-24七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 34．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：； 【答案】50 【分析】本题考查有理数计算．根据题意先整理算式，再利用乘法分配律运算即可得到本题答案． 【详解】解：． 35．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）计算： （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 36．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 (5)3 (6)． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先写成没有括号的和的形式，再从左向右计算即可； （2）运用加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先统一成乘法，再计算即可； （4）先统一成乘法，再计算即可； （5）运用乘法分配律进行简便计算即可； （6）运用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 37．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)4； (3)34； (4)3． 【分析】本题考查了百分数的运算，小数的运算和分数的混合运算等知识点，能正确根据分数的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据分数的乘法和除法法则进行计算，再根据分数的减法法则进行计算即可； （2）先根据分数的减法法则进行计算，再根据分数的乘法法则进行计算，最后根据分数的除法法则进行计算即可； （3）先根据分数的减法法则进行计算，再根据分数的除法法法则进行计算，最后根据分数的乘法法则进行计算即可； （4）先根据乘法方分配律进行计算，再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 38．（23-24七年级上·河南周口·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1)1; (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解： （2）解： 39．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 40．（23-24七年级上·甘肃定西·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．有理数的混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，乘法分配律； （1）运用乘法分配律展开，进一步运用有理数的乘法法则、加减法法则处理； （2）运用有理数的乘方法则、乘法、除法法则运算处理； 【详解】（1）解： （2）解： 42．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算，解题的关键熟知各种运算法则． 根据乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】 43．（21-22七年级下·湖南郴州·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先计算有理数的乘方，再计算有理数的减法运算，即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，有理数的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 44．（23-24七年级上·江西赣州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）利用加减混合运算法则求解即可； （3）先算小括号里面的减法，再算乘除法； （4）利用乘法分配律求解即可； （5）先算乘方，再算括号里面的减法，最后算括号外面的运算即可求解， 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 【点睛】本题考查含乘方的有理数的四则混合运算，掌握有理数四则运算的法则和运算律是解题的关键， 45．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】先利用有理数的乘方，零次幂分别化简，进而计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、零次幂的概念与计算，掌握有关运算法则是解题的关键． 46．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2) (3)81 (4) 【分析】（1）利用有理数乘方法则计算即可； （2）利用有理数乘方法则计算即可； （3）利用有理数乘方法则计算即可； （4）先利用减法法则变形，再根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了有理数乘方和有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 47．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；；；；． (2)；；． 【分析】（1）根据乘方的意义进行计算即可； （2）根据乘方的意义进行计算即可． 【详解】（1）解：；；；；． （2）解； ；；． 【点睛】本题考查了乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 48．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 49．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键． 50．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键： （1）先去括号，计算乘方，再算乘法，最后进行加减运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 52．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4；（2）2；（3）0.15；（4）． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）按顺序计算，先算小括号里面的，再算小括号外面的． （2）先把分母相同的数分组，再求和． （3）先根据添上括号，再计算括号内的和，最后求差． （4）有小括号又有中括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 53．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 54．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键． （1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 55．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)74 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先算乘方，绝对值，再算除法，最后算加减可以解答本题； （2）先算括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题； （3）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题； （4）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 56．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 57．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 58．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法法则求解即可； （3）根据有理数除法法则进行求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）原式                         ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 59．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（）根据减法法则计算即可； （）根据加法的交换律和结合律计算即可； （）将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （）先计算乘除，再计算减法即可； （）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式， ； （4）解：）原式 ； （5）解：原式 ， ； （6）解：原式 ， ． 60．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先用乘法运算律计算乘法，再算括号里面的，再把除法转化成乘法计算即可． 【详解】解： 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查化简绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键： （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据绝对值的性质化简即可； （3）根据绝对值的性质化简即可； （4）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 62．已知的大致位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】 此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴可得：， ， ． 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 【详解】解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负； （）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】（1）由数轴可得，，，， 故答案为：，，； （2） ， ． 66．计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 67．已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 68．已知，求的值． 【答案】2 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）计算（能简便运算的则用简便运算） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 72．（21-22六年级上·山东青岛·期中）运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题： 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用乘法的分配律计算即可； （2）把变为100-，然后根据乘法的分配律计算即可. 【详解】（1）解：−9×−(−8)×(−)−(−16)× =×（-9-8+16） =- （2）解：×(−36) =（100-）×(−36) =-3600+ =−3599 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键. 73．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 74．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法运算律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 75．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数运算，熟练掌握有理数乘法运算律是解决问题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可得到答案； （2）根据乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 76．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 77．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律简便计算即可求解； （2）根据乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 78．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 79．（23-24七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数混合运算，乘法分配律；先按乘法分配律进行运算，再进行乘法和加减运算，即可求解；熟练掌握乘法分配律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 70．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算法则，掌握乘法法则、除法法则是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，先将交换和的位置，在依次相乘得到答案； （2）先算括号里面的，然后利用除法法则，除以一个数（不为0），等于乘以这个数的倒数，得到答案； （3）先利用乘法分配律将括号去掉，然后通过有理数的加减法计算结果； （4）先用除法法则整理第一项，再将两项公因数提出，再计算括号里面的，最后得到答案． 【详解】（1）解：            ； （2） ； （3） ； （4） ． 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数的相关概念求解即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数，所以． 因为x与y互为倒数，所以． 因为的绝对值和倒数均是它本身，所以． 因为n的相反数是它本身，所以． 所以 ． 【点睛】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，绝对值的含义，乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用代入法求解代数式的值是解本题的关键． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值，根据题干描述列式计算即可． 【详解】解：由题意，得． 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值和代数式求值，正确得到，或是解题的关键． 【详解】解∶ ∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，且， 由题可知，或．· 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为18或． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出以及e的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4或 (2)8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可； （2）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 当时，原式； 当时，原式． 所以的值为4或； （2）当时，原式； 当时，原式． 所以的值为8． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算；利用相反数，倒数性质求出，，，则，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意可得，1，， ∴． ∴ =1+1+0-1 =1． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），或3；（2）的值是或 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为， ，，，即， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式的值是或3． （2），， ， ， ，． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值是或． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键． （1）根据材料提示可得，即可求解； （2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解； （3）根据材料提示可得，依次类推即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得，， ∴是第个数， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 102．（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 103．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 【答案】 【分析】本题考查了新运算，求代数式的值；根据新定义进行计算即可． 【详解】解：                    ． 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 105．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1)2 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ ． 106．（21-22七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 107．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 108．（23-24七年级上·广东湛江·期中）对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)10 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 109．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 110．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$