湖北省孝感市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学复习卷

高一下学期末数学复习卷 一、单选题 1．已知复数满足，的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 5．在长方体中，与平面所成的 角为与所成的角为，则（  ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且．若M，N分别是侧棱，上的点，且MC=2，NB=1，则四棱锥的体积为（  ） A． B．2 C． D．6 8．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（  ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．一组数据的第75百分位数为17 C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 10．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，O为的外心，则（  ） A． B．的面积为 C． D．若M是边AC上靠近点A的四等分点，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段 （不包含端点）上，则下列结论正确的有（  ） A．点在平面的射影为的中心 B．直线平面 C．三棱锥的体积不为定值 D．异面直线与BM所成角为 三、填空题 12．如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 13．如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 . 14．人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中 提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识 别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则 ． 四、解答题 15．已知非零向量，满足，且. (1)求； (2)当时，求和向量与的夹角的值． 16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的 正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 17．用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制 得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数； (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频 率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 18．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记的面积为S，若，.求证：. 19．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与 所成角的正切值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】利用复数除法法则计算出，进而得到，计算出答案. 【详解】， 故， 则. 故选：B 2．D 【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断. 【详解】若,可以有或相交，故A错； 若，可以有或异面，故B错； 若，可以有、与斜交、，故C错； 过作平面，则，又，得，， 所以，故D正确. 故选:D 【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题. 3．D 【分析】由投影向量的定义以及模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：D. 4．D 【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【详解】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 5．C 【分析】借助线面角定义与等角定理可得与相等，与相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得. 【详解】连接，由长方体的性质可得平面， 故与平面所成的角为与相等， 又平面，故平面，即， 又，故与所成的角与与所成角相等， 即与相等，又， 故.    故选：C. 6．A 【分析】借助辅助角公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，即， 则. 故选：A. 7．A 【分析】取中点，证明平面，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】在直四棱柱中，取中点，连接， 由四边形是菱形，且，得是正三角形，， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，显然， 四边形是梯形，， 所以四棱锥的体积. 故选：A 8．B 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 9．AC 【分析】根据简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是一样的，可判断A；根据百分位数的求法可判断B；根据一组数据加上或乘以同一个数后的平均数以及方差的性质可判断C；根据分层抽样中的平均数以及方差的性质，可判断D. 【详解】选项A：由题意知个体被抽到的概率为，故A正确； 选项B：数据从小到大排列为：， 由于，找第8个数据18，即第75百分位数为18，故B错误； 选项C：设数据的平均数为， 方差为， 则数据的平均数为， 方差为 ， 所以，故C正确； 选项D：设第一层数据为，第二层数据为， 则， 所以， ， 总体平均数， 总体方差 因为，则， 所以， ，故D错误． 故选：AC． 10．ABD 【分析】根据余弦定理判断A，根据面积公式判断B，由正弦定理及数量积的定义判断C，根据数量积的运算律化简求值判断D. 【详解】由余弦定理得，所以，正确;，正确; 因为为的外心，，所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 所以，错误; 因为，所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A；利用面面平行的性质可判断B；由等体积法即可判断C;由线面垂直的性质可判断D. 【详解】对于选项A:连接,由正方体中可得面， 因为面,所以, 因为底面为正方形，所以, 因为面,所以面. 因为面，所以, 由正方体中可得面， 因为面,所以, 因为侧面为正方形，所以, 因为面,所以面. 因为面，所以, 又因为面，所以面， 正方体中易得, 故三棱锥为正三棱锥，故点在平面的射影为的中心，故选项A正确；    对于选项B:连接, 正方体中易得 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，而平面，所以平面. 正方体中易得 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，而平面，所以平面. 又因为面, 所以面平面 又因为面，所以直线平面，故选项B正确；      对于选项C: 设点到面的距离为, 因为点M在线段，且平面， 所以点到面的距离是定值. , 所以三棱锥的体积为定值.故选项C错误；    对于选项D: 因为面,且面平面， 所以面，面,所以. 故异面直线与BM所成角为.故选项D正确. 故选：ABD.    12． 【分析】根据斜二测画法，，表示其面积，求出答案. 【详解】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得， 所以，又，所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长. 【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接， 则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图， 显然，，则， ，，而， 所以五边形的周长为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 14． 【分析】利用定义得到，进而得到，同理可得，，从而利用余弦和角公式得到，故，得到，利用二倍角公式求出，从而求出. 【详解】因为，， 所以 ， 因为，所以． 因为， 所以 ， 因为，则， 所以． 因为， ，所以． 又因为，， 所以， 所以． 故答案为： 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 15．(1) (2) 【分析】（1）直接利用平方差公式计算即可； （2）利用展开求解，然后利用求角. 【详解】（1）由已知得，即， 解得； （2）， 所以， 所以， 又 所以. 16．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 17．(1)84 (2)96人； (3)平均数和方差分别为72.5和148． 【分析】 （1）求出第80百分位数一定位内，利用百分位数的公式计算出答案； （2）求出成绩不低于80分的频率，估计处高二年级男生中成绩优秀人数； （3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案. 【详解】（1）在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此第80百分位数一定位内． 因为，所以估计第80百分位数约是84． （2）成绩不低于80分的频率为， 所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：， 所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人； （3）设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三角恒等变换化简，再由正弦型三角函数的单调区间求解； （2）根据题意可得，在直角三角形中即可得证. 【详解】（1）， 令，则， 所以函数的单调递增区间. （2）由得，即， 在中，，，，， ， ， 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 答案第14页，共14页 答案第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$