第17章一元二次方程 章节练习 （14个知识点+40题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第17章一元二次方程 章节练习 （14个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．估算一元二次方程的近似解 用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 知识点5．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点6．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点9．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点10．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点11．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点12．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点13．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点14．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 试题练习 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•虹口区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•普陀区校级期中）当　　时，关于的方程是一元二次方程． 3．（2021秋•宝山区校级月考）已知关于的方程是一元二次方程． （1）求的值； （2）解该一元二次方程． 二．一元二次方程的一般形式 4．（长宁区期中）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是　　 A．2， B．， C．2， D．， 5．（2021秋•宝山区校级月考）若是关于的一元二次方程，且不含的一次项，则　　，　　． 6．（2021秋•宝山区校级月考）方程中二次项是 　　，一次项系数是 　　． 三．一元二次方程的解 7．（2021秋•浦东新区校级月考）已知、、为互不相等的实数，则方程必有一个根等于　　 A．1 B． C．0 D．2 8．（2020秋•静安区校级期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则　　． 9．（宝山区校级月考）已知一元二次方程的两根为，，求的根． 四．估算一元二次方程的近似解 10．填空题． （1）若，则　　． （2）若有意义，则的取值范围是 　　． （3）已知，那么　　，　　． （4）如果，那么　　，　　． 11．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是　　 3.24 3.25 0.01 A． B． C． D． 五．解一元二次方程-直接开平方法 12．（青浦区校级月考）下列方程中，适合用直接开方法解的个数有　　 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2022秋•青浦区校级期末）方程的根是 　　． 14．（2020秋•浦东新区校级月考）解方程：． 六．解一元二次方程-配方法 15．用配方法解一元二次方程，可变形为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 17．（2021秋•徐汇区校级月考）方程的根是 　　． 七．解一元二次方程-公式法 18．（2020秋•浦东新区校级期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 19．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为　　． 20．（2023秋•静安区校级期中）解方程：． 八．解一元二次方程-因式分解法 21．（2023秋•浦东新区期中）三角形两边的长分别是7和11，如果第三边的长是一元二次方程的一个实数根，那么该三角形的周长是　　 A．23 B．23或33 C．24 D．24或30 22．（2023秋•静安区校级期末）关于的方程的根为 　　． 23．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程 九．换元法解一元二次方程 24．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数，满足，那么　　． 25．（2021秋•普陀区期中）解方程：． 一十．根的判别式 26．（2022秋•虹口区校级期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 27．（2023秋•黄浦区期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　． 28．（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 一十一．根与系数的关系 29．（2023秋•静安区校级期中）关于的一元二次方程的两实数根为一正一负，则实数的取值范围是 　　． 30．（2020秋•杨浦区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．与互为有理化因式 B．方程的解是 C．方程的解为 D．若方程有两个实数根，则这两实数根互为倒数 31．（2023秋•虹口区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 一十二．由实际问题抽象出一元二次方程 32．（2023秋•宝山区期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，那么由题意可得方程　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•松江区期中）某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 　　． 34．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在长为20米、宽为15米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成6块，这6块绿地的总面积为252平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 　　． 一十三．一元二次方程的应用 35．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 36．（宝山区期末）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了　　 A． B． C． D． 37．（2022秋•杨浦区期末）某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，每次降价的百分率是 　　． 一十四．配方法的应用 38．（虹口区校级月考）若，则的值为　　． 39．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 40．（浦东新区期末）把化成的形式是　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章一元二次方程 章节练习 （14个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．估算一元二次方程的近似解 用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 知识点5．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点6．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点9．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点10．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点11．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点12．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点13．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点14．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 试题练习 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•虹口区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：．该方程是分式方程，故本选项不符合题意； ．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．该方程化简可得，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（2022秋•普陀区校级期中）当　　时，关于的方程是一元二次方程． 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：因为关于的方程是一元二次方程， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 3．（2021秋•宝山区校级月考）已知关于的方程是一元二次方程． （1）求的值； （2）解该一元二次方程． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）关于的方程是一元二次方程， ， 解得； （2）方程为， 即， ，，， ， 故原方程无解． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 二．一元二次方程的一般形式 4．（长宁区期中）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是　　 A．2， B．， C．2， D．， 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：一元二次方程， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 其二次项系数与一次项分别是2，． 故选：． 【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号． 5．（2021秋•宝山区校级月考）若是关于的一元二次方程，且不含的一次项，则　　，　　． 【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含的一次项知，一次项系数为0． 【解答】解：由知，． 根据题意知，，， 解得，． 故答案为：，7． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 6．（2021秋•宝山区校级月考）方程中二次项是 　　，一次项系数是 　　． 【分析】去括号，移项，把方程化为一元二次方程的一般形式后，再确定二次项和一次项系数即可． 【解答】解：， ， ， 所以二次项是，一次项系数是． 故答案为：，． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 三．一元二次方程的解 7．（2021秋•浦东新区校级月考）已知、、为互不相等的实数，则方程必有一个根等于　　 A．1 B． C．0 D．2 【分析】当时，已知方程左右两边相等，可得出方程总有一个根为． 【解答】解：把代入方程得：左边，右边， 则方程总有一个根是． 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 8．（2020秋•静安区校级期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则　　． 【分析】把代入已知方程得到关于的方程，通过解该方程得到的值即可，注意：． 【解答】解：依题意得：且． 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即． 9．（宝山区校级月考）已知一元二次方程的两根为，，求的根． 【分析】根据方程的解的定义可得或，从而得新方程的两个根． 【解答】解：由题意得：或， 或， 即的根为：，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意，将第二个方程中的看作是未知数是关键． 四．估算一元二次方程的近似解 10．填空题． （1）若，则　　． （2）若有意义，则的取值范围是 　　． （3）已知，那么　　，　　． （4）如果，那么　　，　　． 【分析】（1）直接根据解一元二次方程的方法即可得到答案． （2）根据二次根式有意义的条件即可得到答案． （3）利用非负数的性质可得关于，的二元一次方程组，解此方程组即可得到答案． （4）根据二次根式的基本性质即可得到答案． 【解答】解：（1）， 解得：． 故答案为：． （2）由题意得：， 解得：． 故答案为：． （3）由题意得：， 解得：． 故答案为：4，． （4）如果，那么，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程、二次根式有意义的条件、非负数的性质、解二元一次方程组、二次根式的基本性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 11．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是　　 3.24 3.25 0.01 A． B． C． D． 【分析】根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在3.24和3.25之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围． 【解答】解：时，， 时，， 当时，的值可以等于0， 方程的一个解的范围是． 故选：． 【点评】 本题考查了估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 五．解一元二次方程-直接开平方法 12．（青浦区校级月考）下列方程中，适合用直接开方法解的个数有　　 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接开平方法必须具备两个条件： ①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断． 【解答】解：①②③⑤都是或可变形为；，同号且；；，而这四种形式都可用直接开平方法， 故选：． 【点评】需要同学们注意，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且． 13．（2022秋•青浦区校级期末）方程的根是 　，　． 【分析】把方程两边开方即可． 【解答】解：， ， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 14．（2020秋•浦东新区校级月考）解方程：． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 六．解一元二次方程-配方法 15．用配方法解一元二次方程，可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：， ， 则，即， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 17．（2021秋•徐汇区校级月考）方程的根是 　　． 【分析】利用因式分解法即可求得． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 七．解一元二次方程-公式法 18．（2020秋•浦东新区校级期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解． 【解答】解：， ， ， 化为， ，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法． 19．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为　或　． 【分析】分为两种情况：①当时，得出方程，②当时，得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：分为两种情况： ①当，即时，， 解得：，， 舍去； ②当，即时，， 解得：，， 舍去； 所以方程，的解为2或， 故答案为：2或． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 20．（2023秋•静安区校级期中）解方程：． 【分析】先找，，，再求△，判断方程根的情况，再代入求根公式计算即可． 【解答】解：，，， △， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 八．解一元二次方程-因式分解法 21．（2023秋•浦东新区期中）三角形两边的长分别是7和11，如果第三边的长是一元二次方程的一个实数根，那么该三角形的周长是　　 A．23 B．23或33 C．24 D．24或30 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，然后根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为5或15，然后计算该三角形的周长． 【解答】解：， ， ， 或， 解得，， 当三角形第三边长为5时，三角形的周长为； 当三角形第三边长为15时，三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为23或33． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 22．（2023秋•静安区校级期末）关于的方程的根为 　，　． 【分析】由得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）， 或， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 23．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程变形得， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 九．换元法解一元二次方程 24．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数，满足，那么　8　． 【分析】设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解方程求得的值即可． 【解答】解：设，则： ， 整理，得． 所以或（舍去）． 所以． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 25．（2021秋•普陀区期中）解方程：． 【分析】设，则原方程化为，再把方程的左边分解因式，即可求出的值，再求出即可． 【解答】解：， 设，则原方程化为：， ， 或， 解得：或， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以方程的解是，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 一十．根的判别式 26．（2022秋•虹口区校级期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到且△，即，然后解不等式即可得到的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且△，即， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 27．（2023秋•黄浦区期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　． 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到且△，即，然后解不等式即可得到的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且△，即， 解得且． 的取值范围为且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 28．（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 【分析】根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△， ， 该方程为：， 或 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 一十一．根与系数的关系 29．（2023秋•静安区校级期中）关于的一元二次方程的两实数根为一正一负，则实数的取值范围是 　　． 【分析】设、为方程的两个实数根．由方程有实数根以及两实数根为一正一负可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：设、为方程的两个实数根， 由已知得：，即， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于的一元一次不等式组是关键． 30．（2020秋•杨浦区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．与互为有理化因式 B．方程的解是 C．方程的解为 D．若方程有两个实数根，则这两实数根互为倒数 【分析】根据有理化因式的定义对进行判断；利用因式分解法解方程可对、进行判断；根据根与系数的关系和倒数的定义可对进行判断． 【解答】解：、与互为有理化因式，所以选项错误； 、方程的解为，，所以选项错误； 、方程的解为，，所以选项错误； 、方程有两个实数根，则两两根之积为，即这两实数根互为倒数，所以选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了有理化因式、根的判别式和解一元二次方程． 31．（2023秋•虹口区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【分析】（1）把代入方程求出即可； （2）根据△，构建不等式解决问题． 【解答】解：（1）是该方程的一个根， ， ， 方程为， ， 或， ，， 另一个根是3； （2）由题意， ， ， ， 且． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 一十二．由实际问题抽象出一元二次方程 32．（2023秋•宝山区期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，那么由题意可得方程　　 A． B． C． D． 【分析】设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，关系式为：三个月总揽件数十月揽件数十一月揽件数揽件数揽件平均增长率），把相关数值代入即可． 【解答】解：设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，由题意可得方程： ． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 33．（2023秋•松江区期中）某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 　　． 【分析】利用经过两期治理后废气的排放量治理前废气的排放量每期减少的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在长为20米、宽为15米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成6块，这6块绿地的总面积为252平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 　　． 【分析】根据题意知：则其余空白部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据绿地的总面积为252平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意知：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十三．一元二次方程的应用 35．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【分析】设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据每天的销售利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定的值． 【解答】解：设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要求每件盈利不少于25元， 应舍去， 故为所求． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（宝山区期末）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了　　 A． B． C． D． 【分析】设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了，则第二季度的产值为，那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了来确定，则其产值为，化简即可． 【解答】解：第三季度的产值比第一季度的增长了． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系． 37．（2022秋•杨浦区期末）某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，每次降价的百分率是 　　． 【分析】根据该产品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得． ． ， ，（舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十四．配方法的应用 38．（虹口区校级月考）若，则的值为　20　． 【分析】题中有，，，可看成是一次项，进而整理为3个完全平方式相加的形式即可得到，，的值，进而把这3个值相加即可． 【解答】解：整理得： ， ，，， ，，， ，，， ． 故答案为：20． 【点评】本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为3个完全平方式子相加的形式是解决本题的难点；用到的知识点为：几个非负数的和为0，这几个非负数均为0． 39．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质，即可求得的最小值． 【解答】解：（1），，48和28不能表示成两个数的平方和， “完美数”有29和13， 故答案为：①③； （2）， ，， ， ． 故答案为：； （3）当时，是“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， 和也是整数， 当时，是“完美数”； （4）， ， ， ， 的最小值为． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解新定义“完美数”并会把算式灵活配方是解决问题的关键． 40．（浦东新区期末）把化成的形式是　　． 【分析】所给代数式中的二次项系数为1，那么为1，为一次性系数一半的平方． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】考查配方法的应用；若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$