12.1 分式（分层作业，18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十二章 分式和分式方程 12.1 分式（18大题型提分练） 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点3：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点4：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点5：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 题型一 分式的判断 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ． 4．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期末）式子①，②，③，④，是分式的有 ． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 题型二 分式的规律性问题 1．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖南长沙·期中）一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南文山·期末）观察分式：，，，……，以此类推，第6项是 ． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）观察一组算式： ，，，， (1)求出前四个算式的值①____________②____________③____________④____________； (2)第10个算式有____________项，它的值是____________， (3)第n个算式是____________． 题型三 按要求构造分式 1．（21-22七年级下·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为 分. 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出6个整式：，，，2，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 题型四 分式有意义的条件 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 题型五 分式无意义的条件 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）要使分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知时，分式无意义，则 ． 5．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 题型六 分式值为零的条件 1．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）分式的值等于零，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则x的值是 ． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若分式的值为零，则 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型七 分式的求值 1．（2024·河北张家口·三模）若与互为相反数，且，均不为0，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末），则代数式的值为 ． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，求分式的值． 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 3．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 4．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级上·湖北·周测）（1）已知，求与的值． （2）当的取值范围是多少时？ ①分式有意义； ②分式值为负数． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 4．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 题型十 判断分式变形是否正确 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 4．（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 题型十一 求使分式变形成立的条件 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（21-22八年级上·全国·单元测试），在括号内填入适当的数为 ． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果成立，则a的取值范围是 ． 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）利用分式的基本性质填空： （1），（）； （2）； （　　）中为（1） ，（2） ． 4．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)． 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．（19-20八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 3、（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 4．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：= 5．（18-19七年级·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）； （2）. 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（） A．10 B．9 C．45 D．90 3．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ． 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型十五 最简分式 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 题型十六 约分 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ． 4．（2024·广东·二模）已知，，则 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 题型十七 最简公分母 1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是 ． 5．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分： (1)，，； (2)，，． 题型十八 通分 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 2．（2022八年级上·全国·专题练习）把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 4．（20-21八年级上·全国·课后作业）与通分的结果是 ． 5．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·海南海口·期末）要使分式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 4．（23-24七年级下·浙江·期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式中和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来倍 C．扩大为原来倍 D．扩大为原来倍 6．（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 7．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 ． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 12．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知． (1)将A进行因式分解． (2)若，求的值． 13．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 14．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 15．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程 12.1 分式（18大题型提分练） 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点3：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点4：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点5：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 题型一 分式的判断 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分式的定义进行逐一判断即可：对于两个整式、，其中中含有字母，那么形如的式子叫做分式． 【详解】解：代数式，，，，，中属于分式的有，，共3个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义：分母含有未知数的式子即为分式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：，，是分式 ∴分式的个数是3个； 故选：C 3．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ． 【答案】 ， ，，0 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，分母有字母，故是分式． 单项式有，，0． 故答案为：，；，，0． 【点睛】本题考查分式的定义，单项式的识别，解题的关键注意区分是否为分式不应化简，π是常数，不是字母． 4．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期末）式子①，②，③，④，是分式的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据分式的定义对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 分式有①③， 故答案为①③． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分式和整式的区别，分母中含有未知数的为分式． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 题型二 分式的规律性问题 1．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 2．（22-23九年级下·湖南长沙·期中）一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，代入计算，根据分式的混合运算即可求解． 【详解】解：，（为不小于的整数）， ∴，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握代入求值，分式的运算法则是解题的关键． 3．（22-23八年级下·云南文山·期末）观察分式：，，，……，以此类推，第6项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的符号、分子以及分母变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．根据分式式的符号、分母以及分子的变化得出一般性规律得出第6个分式即可． 【详解】解：观察分式：，，，，……， 第一个分式：； 第二个分式：； 第三个分式：； 第四个分式：； ……； 第n个分式：； 故第6个分式是． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第10个分式为， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）观察一组算式： ，，，， (1)求出前四个算式的值①____________②____________③____________④____________； (2)第10个算式有____________项，它的值是____________， (3)第n个算式是____________． 【答案】(1)，，， (2)21,11 (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的计算，分式， （1）根据已知的式子计算，并找到规律，即可作答； （2）根据已知的式子，找到项数的规律即可作答； （3）按照已知的式子来书写即可作答． 【详解】（1）第1个式子，， 第2个式子，， 第3个式子，， 第4个式子，， 依次类推可知：第n个式子，和为； 故答案为：，，，． （2）第1个式子，项， 第2个式子，项， 第3个式子，项， 依次类推：第n个式子，项， 当时，项， 即：第10个式子有21项，根据（1）的结论可知：其和为11， 故答案为：21,11； （3）根据规律可知：第n个算式是， 故答案为：． 题型三 按要求构造分式 1．（21-22七年级下·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 3．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为 分. 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，求出第二天打字的数为，第二天打字速度为即可求得打字的时间． 【详解】小时分钟 由题意得：第一天打字的个数为个， 第二天打字用的时间为分钟 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 【答案】 【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：元， 当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：元， 则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：元， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出6个整式：，，，2，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 【答案】(1)等，答案不唯一 (2)，答案不唯一 【分析】（1）根据分式的概念求解即可； （2）首先根据整式的加法运算法则计算，然后利用因式分解的方法求解即可． 【详解】（1）分式有：等，答案不唯一； （2） ，答案不唯一 【点睛】此题主要考查了分式的定义，整式的加减运算，因式分解，正确把握分式的定义，整式的加减运算和因式分解的方法是解题关键．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式． 题型四 分式有意义的条件 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义即可得出，从而得出结果． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关于x的不等式求解即可． 【详解】∵分式 有意义， ∴，解得． 故选：B． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，明确当分母不为0时分式有意义是解答本题的关键．根据分式有意义时分母不为0，列式计算即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1)x为任意实数 (2)且 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据分母不为0可得x的取值范围； （2）根据分母不为0可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴x为任意实数． （2）解：， 解得且． 题型五 分式无意义的条件 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）要使分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件：分母等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ． 故选：A． 2．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知时，分式无意义，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值． 当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，此时， 即： 解得：． 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键； （2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义． （2）解：该分式的值为正整数，且也为整数， 或， 解得或， 即当或时，该分式的值为正整数． 题型六 分式值为零的条件 1．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）分式的值等于零，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算求解等相关知识，根据分式值为零求出值之后一定要记得检验才能得出正确答案． 根据分式值为零的条件，列出方程，求解，利用分式有意义检验即可得出答案． 【详解】解：根据分式值为零及分式有意义，可得： 解得：． 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解即可． 【详解】解∶∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故答案为∶3． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，解方程和不等式等知识点，利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可，熟练掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解决此题的关键． 【详解】根据题意得且， 解得， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型七 分式的求值 1．（2024·河北张家口·三模）若与互为相反数，且，均不为0，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据相反数的定义得到，将分式化简后，进行计算即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值．熟练掌握分式的求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末），则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，根据已知将代入式子求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：7． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的求值，掌握相关知识是解题关键． 将方程两边同时除以字母x即可求解． 【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：， ． 故答案为：3． 5．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把代入所求式子中约分化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 3．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 4．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组． 【详解】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·湖北·周测）（1）已知，求与的值． （2）当的取值范围是多少时？ ①分式有意义； ②分式值为负数． 【答案】（1）13，6  （2）① ② 【分析】本题考查完全平方公式的变形和分式有意义条件以及分式值的符号的确定，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据完全平方公式的变形进行计算即可； （2）①分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案；②分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， （2）①∵分式有意义 ∴， 解得：； ②∵值为负数，， ∴， 解得：． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了分式为整数时求未知数的整数值，熟练掌握整数的性质，找到使分式为整数时的所有可能情况，是解答本题的关键． 根据题意，得到可取的值有：，，，，共八种情况，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：，为整数， 可取的值有：，，，，共八种情况， 整数可取的值有个， 故选：． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的值为正整数的条件，熟练的利用值为正整数建立方程求解是关键，本题可建立方程为或．再解方程可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴的可能值为1或5． ∴或． ∴或． ∴符合条件的整数x的值共有2个． 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键； 根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可 【详解】解：值为正整数， 或， 解得：或， 故答案为：1或 4．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． ①根据分式有意义的条件求解即可； ②根据分式为零的条件求解即可； ③首先将化简为，然后根据题意求出或或或，然后由分式有意义得到，求出a所有可能的值，然后求和即可． 【详解】①∵成立， ∴ ∴， 故答案为：； ②∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：； ③ ∵分式的值是整数， ∴或或或 ∴或或或 ∵ ∴ ∴或或 ∴ ∴满足条件的所有整数的和为5， 故答案为：5． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 题型十 判断分式变形是否正确 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析 【分析】根据分式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确； 乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键． 题型十一 求使分式变形成立的条件 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出的取值范围． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出的符号是解题关键． 3．（21-22八年级上·全国·单元测试），在括号内填入适当的数为 ． 【答案】16 【分析】利用分式的基本性质解答即可． 【详解】解：， ∴括号内的数为， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分子分母同时乘以同一个数，分式的值不变是解题的关键． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式的性质，解题关键是熟练掌握分式的性质．按题意对分式中的、进行扩大，再与原分式比较即可求解． 【详解】解：依题得，将分式中的，都扩大倍可得， ， 原分式的值缩小到原来的． 故选：． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 先把，的值都扩大为原来的3倍，得，再化简，据此即可作答． 【详解】解：将分式中的，的值都扩大为原来的3倍， 得到， 把的分子和分母同时除以3，即， 故选：A． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）利用分式的基本性质填空： （1），（）； （2）； （　　）中为（1） ，（2） ． 【答案】 【分析】（1）首先利用分式的基本性质将分母由化为，可以看出是乘以得到的；接下来根据分式的基本性质，给分式的分子也乘以即可得到答案； （2）先根据平方差公式对分母因式分解为，再约分即可得到答案． 【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘以得： ， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质和平方差公式，解答题目的关键是理解分式的基本性质； 4．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ． 【答案】10 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍， ∴． 故答案为：10 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子乘以可得． （2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案． （3）将分母提取公因式得，由此可知答案． 【详解】（1）分子乘以可得： ， 故答案为：． （2）将分子分母进行因式分解得： ， 故答案为：． （3）将分母提取公因式得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键． 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．（19-20八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故选D. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 3、（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 4．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：= 【答案】 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 5．（18-19七年级·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可； 【详解】解：（1）； （2）. 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（） A．10 B．9 C．45 D．90 【答案】D 【分析】不改变分式的值，又要使分式中的各项系数全部化为整数，考虑到分式的分子、分母中各项系数均为分数，可分两步进行思考．分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90． 【详解】因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90． 故选D． 【点睛】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 3．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ． 【答案】 【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题，可同乘以10． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质． 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 【答案】 【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可； （2）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． 题型十五 最简分式 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义． 根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意；     C、，是最简分式，符合题意；     D、，故不是最简分式，不符合题意；     故选：C． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意， 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 题型十六 约分 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 2．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键． 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、已经为最简形式，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 故答案为：1． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 题型十七 最简公分母 1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式的最简公分母是． 故选D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式，，的分母分别是，，， 故最简公分母是：， 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法主要包括以下几个步骤：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母（或因式）的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母；由此即可得出答案． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可求解，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：是， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可； （2）先找出最简公分母，然后通分即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，的最简公分母为：， ∴三个分式通分为：，，． （2）解：∵， ， ， ∴分式，，的最简公分母为：， 三个分式通分为：，，． 【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母． 题型十八 通分 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 2．（2022八年级上·全国·专题练习）把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是分式的通分，约分． （1）把分子与分母约分法则即可； （2）找出最简公分母，计算即可； （2）把分子与分母约分法则即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2） 故答案为：； （3）； 故答案为：． 4．（20-21八年级上·全国·课后作业）与通分的结果是 ． 【答案】 【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可； 【详解】，， 最简公分母为， 通分后分别为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键． （1）将分式分子分母分解因式，再约分即可； （2）根据通分法则计算即可． 【详解】解：（1）． （2）最简公分母为， ， ． 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意； 故选：C 2．（23-24八年级下·海南海口·期末）要使分式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件、解一元一次不等式，根据分式有意义的条件可得，再求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，且， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的求值，根据分式有意义的条件及将分式变成真分式加整数的形式，进行分析，逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 、当时，原式，故本选项不符合题意； 、， ∴当时，，即， 当时，无意义， 时，， 故本选项不符合题意； 、当时，越大，的值越接近于，故本选项符合题意； 故选：． 4．（23-24七年级下·浙江·期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，分式有意义的条件，解一元一次不等式； 先利用完全平方公式对分式的分母进行变形，然后根据分式有意义分母不为0得出关于k的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：， ∵对任意实数x，分式都有意义， ∴， ∴， 则实数k的值可以是10， 故选：D． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式中和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来倍 C．扩大为原来倍 D．扩大为原来倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 【详解】分别用和去代换原分式中的和， 得， 可见新分式扩大为原来的倍， 故选：． 6．（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 7．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【详解】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，分两种情况进行计算即可，熟练掌握知识点的应用及利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】解：若，则0． 若，则每项都除以得，每项都除以得， ∴， 则， ∴的值为或， 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的值．熟练掌握解一元一次不等式，分式的值是解题的关键． 由题意可得，，即，然后根据分式的值为整数，确定整数m的值，进而可得满足条件的整数m的值． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ， ∴， 解得，， ∵分式的值为整数， ∴整数的值为，，0，1， 又∵， ∴满足条件的整数m的值为， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 12．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知． (1)将A进行因式分解． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先将展开后合并同类项，再利用平方差公式即可求解； （2）先对进行化简，再代入求值即可； 【详解】（1） ． （2） ， 若， 则． 13．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 14．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 15．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ，即； ， 又是整式， 是“巧分式”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 $$