12.4 分式方程（分层作业，5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十二章 分式和分式方程 12.4 分式方程（5大题型提分练） 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 题型一 分式方程的定义 1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案． 【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意； ②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意； ③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意； ④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意； 关于的分式方程的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 3．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 4．（2021九年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 5．（2020八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【答案】③④⑤⑦,详见解析 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程； 方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 方程⑨属于无理方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型二 解分式方程 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）解分式方程 去分母后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程， 注意去分母时，方程两边同乘以最简公分母时，不要漏乘项． 分式方程两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤． 先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再检验即可． 【详解】解：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D． 3．（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握． 结合已知条件换元后再去分母即可． 【详解】解：，则， 原方程化为：， 去分母得：， 即， 故答案为：． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后再检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得 ，解得：． 检验：把代入． ∴原方程的解为：． （2）解：， 方程两边同时乘以，得： ，解得，． 检验：把代入． ∴原方程无解． 6．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）解分式方程：． 【答案】 【详解】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，结合完全平方公式和平方差公式解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：， 整理得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解是． 8．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）解方程∶． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可； 【详解】解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：把代入：， ∴原方程的解为； 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程时应注意以下两点：（1）去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；（2）解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根． 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值．经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：原式可化为， 去分母得：， 移项合并得：， 检验：把代入， 所以是分式方程的解． 10．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解． 【详解】解：， 整理得：， 两边同乘以得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，原分式方程有意义， ∴是原方程的解． 题型三 根据分式方程解的情况求参数 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，再由题意得出，，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，， 解得：且， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的特殊解求参数，熟悉掌握分式方程的解题步骤是解题的关键． 根据分式方程算出与的表达式，再根据的取值求的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， ∵为非负数， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 综上且； 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是正数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程 去分母得，， 解得， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，且 ∴且． 故答案为：且． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解不等式组和分式方程，先求出不等式组的解集，然后根据不等式组有且仅有5个整数解，得出，根据a为整数得出，解关于y的分式方程，得，根据关于y的方程有整数解，求出结果即可． 【详解】解：由等式组得， 由仅有5个整数解，知， 从而， 解得， 从而整数； 解关于y的分式方程，得， ∵关于y的方程有整数解， ∴， 当时，， 经检验，是分式方程的解， ∴． 故答案为：6． 5．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的分式方程． (1)若方程的解为，求m的值； (2)若方程的解为正数，求出m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的解：使分式两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解不等式． （1）先化为整式方程得到，再把代入得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可； （2）先把整式方程整理得到，再利用方程的解为正数得到，解得，由于分母不为零，则，解得，于是得到m的取值范围为且． 【详解】（1）， 去分母得，， 把代入得， 解得； （2）把整理得， ∵， ∴，解得， 又∵，即， ∴， 解得， ∴m的取值范围为且． 题型四 分式方程增根问题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解： 去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故选：A． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴最简公分母， ∴增根为， 将分式方程去分母得， 把代入方程得， 解得． 故选：D 3．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得出，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 分式方程去分母得：， 即， 由分式方程有增根得：， 解得：， 将代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如果关于的分式方程 有增根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根的概念，可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此解答即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 关于的分式方程有增根， ，即， ， 解得：． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，且方程无解． (1)方程的增根是　　　　； (2)求出分式方程中“？”所代表的数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据分式方程增根的定义即可得出答案； （）将分式方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； 本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解题的关键． 【详解】（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是， 故答案为：； （2）将关于的分式方程的两边都乘以， 得：， 把代入得，． 题型五 分式方程无解问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：B． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若分式方程无解，则常数 ． 【答案】2或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解或方程有增根时，分式方程无解，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：分式方程去分母，得： ， 移项，合并，得：， 当整式方程无解时：，解得：； 当分式方程有增根时，则：，解得：， 将代入，得：； 综上：或； 故答案为：2或． 4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 【答案】0或2或4 【分析】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键．分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， ∵无解， ∴，即时，方程无解； 当时，方程也无解，此时，则有， ∴． 当时，方程也无解，则有， 故答案为：0或2或4． 5．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增根的条件可得增根为或，即可求解； （2）由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得当时，x无意义即无解，即可求解． 【详解】（1）解：化成整式方程得，， 即， 若该方程有增根，则增根为或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，当或时，该方程有增根； （2）解：由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解， 去分母后的整式方程为：， 当时，即时，x无意义即无解， 综上知：若原分式方程无解，则或或． 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）解分式方程 去分母后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程， 注意去分母时，方程两边同乘以最简公分母时，不要漏乘项． 分式方程两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，则k的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根问题，先解出分式方程，再根据分式方程有增根，则最简公分母为0可列出关于k的方程，解之即可． 【详解】解：去分母得， 解得： ∵分式方程有增根， ∴ 解得 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 －4 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东青岛·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，，由此方程有增根无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 6．（23-24八年级下·山东青岛·期末）若关于x的方程解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程解为正数，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程解为正数， ∴， 解得，，， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，由题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（2024·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集为，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，进而由不等式组的解集求出的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的解的情况求出满足条件的整数的值即可求解，根据不等式组求出的取值范围，再进一步根据分式方程的解的情况求出整数的值是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 方程两边同时乘以得，， ∴， ∵方程有正整数解， ∴整数或或或， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验． （1）分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得的范围；（2）解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式．求得的范围；综上所述，求得的范围．根据为整数，求出的值，最后求和即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； （2）分式方程两边都乘以得：， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴为整数． ∴为偶数， ∵分式要有意义， ， ， 综上所述，且且为偶数， ∴符合条件的所有整数的数有：， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：；． 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，再求b． （2）先表示分式方程的解，再求范围． 【详解】（1） 方程两边同乘得：． ∴． 方程无解， ， ． ∴． ∴． 故答案为：． （2）由（1）知：． ∴． 方程的解是非负数． ∴． ∴． ， ∴ ． ∴． ∴且 故答案为：且． 11．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）（1）化简：；     （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）利用分式化简，约分即可； （2）根据分式方程法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 两边同乘可得：     解得：． 经检验，是原方程的解． 12．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，根据解分式方程的步骤计算即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程： （2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查解分式方程及分式的化简求值， （1）先把方程两边乘以得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）先将括号内的式子进行通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到，然后利用分式有意义的条件及题中的的限制条件确定的值，最后把的值代入计算即可； 解题的关键掌握解分式方程的一般步骤，分式混合运算的运算法则、分式有意义的条件及相应的公式． 【详解】（1）在方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2） ， ∵且且， 即且且， 又∵是满足条件的合适的非负整数， ∴， 当时，原式． 14．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）计算 (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)无解 (2)， 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代入计算即可． 【详解】（1） 解：方程两边都乘，得， 解得． 检验：当时，分母， 是原分式方程增根， 原分式方程无解． （2）方法一：原式 ， 当时，原式． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 方程的解为， ，解得， 当时，此方程的解为； （2）解：方程会产生增根， ， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （3）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程 12.4 分式方程（5大题型提分练） 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 题型一 分式方程的定义 1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 4．（2021九年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 5．（2020八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 题型二 解分式方程 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）解分式方程 去分母后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 4．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）解方程： (1) (2)． 6．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）解分式方程：． 7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）解分式方程：． 8．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）解方程∶． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）解分式方程：． 10．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解分式方程：． 题型三 根据分式方程解的情况求参数 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为 ． 5．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的分式方程． (1)若方程的解为，求m的值； (2)若方程的解为正数，求出m的取值范围． 题型四 分式方程增根问题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 3．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如果关于的分式方程 有增根，那么的值为 ． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，且方程无解． (1)方程的增根是　　　　； (2)求出分式方程中“？”所代表的数． 题型五 分式方程无解问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若分式方程无解，则常数 ． 4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 5．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）解分式方程 去分母后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，则k的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 －4 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东青岛·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 6．（23-24八年级下·山东青岛·期末）若关于x的方程解为正数，则m的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）若关于的方程有增根，则的值为 ． 8．（2024·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集为，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 11．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）（1）化简：；     （2）解方程：． 12．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）解分式方程：． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程： （2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数． 14．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）计算 (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，其中． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$