专题2.8 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（23-24高一上·山东青岛·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 2．（5分）（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．21 4．（5分）（23-24高一下·湖南·期末）已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价，再降价：②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价.其中，则最终降价幅度最小的方案是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（5分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 10．（5分）（23-24高一上·陕西西安·期中）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 11．（5分）（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 12．（5分）（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（23-24高三下·浙江·阶段练习）若，，则的最大值是 .（其中表示a，b中的较小值） 14．（5分）（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 15．（5分）（23-24高一上·广东东莞·期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元． 16．（5分）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 . 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）（1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 18．（12分）（2024·四川资阳·模拟预测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 19．（12分）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 20．（12分）（23-24高一上·重庆·期末）若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 21．（12分）（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 22．（12分）（23-24高一·全国·课后作业）已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（23-24高一上·山东青岛·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【解题思路】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断. 【解答过程】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得， 因为，所以，故C为真命题； 对于选项D：因为，则， 又因为，则，可得，故D为真命题； 故选：A. 2．（5分）（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【解答过程】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以 ， 故选：A． 3．（5分）（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．21 【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答过程】解：正实数满足， 则， ， 即：， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为11. 故选：B. 4．（5分）（23-24高一下·湖南·期末）已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，再分类得到不等式组，解出即可. 【解答过程】不等式的解集为， 的两实数根分别为和， ，解得， ，令，解得或， 则，解得， 由， 可得或，即或， 则所求解集为. 故选：C. 5．（5分）（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价，再降价：②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价.其中，则最终降价幅度最小的方案是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】设原价为1，求出四种降价方案的价格，再比较大小可得答案. 【解答过程】设原价为1， 对于①，降价后的价格为：， 对于②，降价后的价格为：， 对于③，降价后的价格为：， 对于④，降价后的价格为：一次性降价. ，所以①④, 因为，所以 ，所以①③ 因为，所以，， ，所以②③， 则最终降价幅度最小的方案是③. 故选：C. 6．（5分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解答过程】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 7．（5分）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【解答过程】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 8．（5分）（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【解答过程】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【解题思路】根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【解答过程】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD. 10．（5分）（23-24高一上·陕西西安·期中）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【解题思路】求得a的取值范围判断选项A；求得不等式的解集判断选项B；求得的取值范围判断选项C；求得不等式的解集判断选项D. 【解答过程】关于的不等式的解集为或， 则和是方程的二根，且 则，解之得， 由，可得选项A判断正确； 选项B：不等式可化为， 解之得，则不等式解集为.判断正确； 选项C：.判断错误； 选项D：不等式可化为， 即，解之得或. 则不等式的解集为或.判断正确. 故选：ABD. 11．（5分）（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【解题思路】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC. 12．（5分）（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【解答过程】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（23-24高三下·浙江·阶段练习）若，，则的最大值是 .（其中表示a，b中的较小值） 【解题思路】先证明，再说明当，时. 【解答过程】. 当，时，. 所以的最大值是. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【解题思路】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【解答过程】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为：. 15．（5分）（23-24高一上·广东东莞·期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 1440 元． 【解题思路】设 长为 , 则 , 求出 , 再结合各个区域的造价求得 , 利用基本不等式可得最值. 【解答过程】设 长为 , 则 , 即 , 所以 . 当且仅当 , 即 时, 等号成立, 所以当 时, 取最小值为1440 . 故答案为：1440. 16．（5分）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 . 【解题思路】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围. 【解答过程】解：根据题意，可知， 设，则， 因为不等式的解集为空集， 即在区间上的解集为空集， 即在区间上无解， 所以在区间上恒成立， 对于二次函数，开口向上，对称轴为， ， 当，即时，则， 所以在区间上恒成立，符合题意； 当，即时， 令，解得：或， 要使得在区间上恒成立， 只需满足且， 即且，解得：（舍去）或， 又因为，故解得：， 综上得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）（1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，再利用性质求解作答. （2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果. 【解答过程】（1）因为，由不等式的性质可得，；， 因此，即；，即， 所以，. （2）令，，即， 则有，解得， 而，，于是，， 所以，，即， 所以. 18．（12分）（2024·四川资阳·模拟预测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【解题思路】（1）由基本不等式即可求出的最小值． （2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证. 【解答过程】（1）（2）因为，所以，所以． 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即的最小值是2． （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以．当且仅当时，等号成立 则，即，当且仅当时，等号成立． 19．（12分）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【解题思路】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式； （2）利用三角形的三边关系和放缩法即可证明. 【解答过程】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数 ，为单调递增函数， ， ，， 故， 所以，. 20．（12分）（23-24高一上·重庆·期末）若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 【解题思路】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果； （2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为的解集为， 所以且，解得. （2），，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，，且有， 此时，的解集为或， 综上所述，当时，的解集为； 当，解集为，当，解集为； 当或时，的解集为或. 21．（12分）（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【解答过程】（1）由 . 若即，上式可化为： ； 若即，上式可化为： ； 若即，上式可化为：， 因为 ，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即 ， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以 ， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是. 22．（12分）（23-24高一·全国·课后作业）已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 【解题思路】（1）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （2）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （3）根据，，利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）解：∵， ∴， ∴恒成立等价于恒成立． 又， ∴， 当且仅当，即，即，时等号成立． ∴， ∴． 故实数m的取值范围是． （2）∵，， ∴恒成立等价于恒成立． 又，当且仅当，即时取等号， ∴，即． ∴实数的最小值为－4． （3）∵，， ∴，当且仅当，即时等号成立． 又恒成立， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故正实数的最小值为4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$