精品解析：2024年甘肃省天水市麦积区中考预测模拟考试数学试题

2024年麦积区花牛中学中考预测检测试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 2021 D. 2. 新冠病毒的半径大约是米，它的半径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（） A. （2a）3=2a3 B. a3+a2=a5 C. a8÷a4=a2 D. （a2）3=a6 5. 有位同学调查发现，2017年某月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2，假设这两年麦积区房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE的度数是（　　） A. 30° B. 35° C. 50° D. 55° 9. 设m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 10. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 12. 因式分解：__________． 13. 不等式组的解集是______． 14. 若点与点关于 轴对称，则__________． 15. 如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是______． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______． 17. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个． 18. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是．现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是_____． 三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC， (1)请你利用直尺和圆规完成如下操作： ①作△ABC的角平分线AD； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P； ③连接PB，PC． 请你观察图形解答下列问题： （2）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　 　；请说明理由． （3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数． 22. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分） 23. 《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：分及以上为优秀，分为良好，分为及格，分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下： 七年级 八年级 （1）根据上述数据，补充完成下列表格． 整理数据： 等级 频数 年级 优秀 良好 及格 不及格 七年级 八年级 分析数据： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 （2）该校目前七年级有人，八年级有人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？ （3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由． 24. 某“数学兴趣小组”对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请将其补充完整． （1）函数的自变量的取值范围为______． （2）下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：______，______． … … … … （3）如图在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质： 性质：______； 性质：______． 25. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长． 26. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 27. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年麦积区花牛中学中考预测检测试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 2021 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是求一个数的相反数．根据相反数的代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 【详解】的相反数是． 故选：A． 2. 新冠病毒的半径大约是米，它的半径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 3. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 4. 下列计算中，正确的是（） A. （2a）3=2a3 B. a3+a2=a5 C. a8÷a4=a2 D. （a2）3=a6 【答案】D 【解析】 【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A. 原式=8a3，错误； B. 原式不能合并，错误； C. 原式错误， D. 原式 正确； 故选:D. 【点睛】考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键. 5. 有位同学调查发现，2017年某月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2，假设这两年麦积区房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据设这两年兰州市房价的平均增长率为x，2017年某月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2，则根据一元二次方程增长率的问题直接列出方程即可． 【详解】解：设这两年麦积区房价的平均增长率为x． 2017年某月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意结合一元二次方程的增长率问题列出方程即可． 6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 7. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角和求出边数，再根据外角和为，进行计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意，得， 解得：， ∴正多边形的一个外角， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正多边形内角和的计算方法和外角和为是解题的关键． 8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE的度数是（　　） A. 30° B. 35° C. 50° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， 平分， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 设m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 【答案】C 【解析】 【分析】由于m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2021=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果． 【详解】解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根， ∴m+n=-1，且m2+m-2021=0， ∴m2+m=2021， ∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020． 故选C． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 10. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2． 【详解】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（，）， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C， ∴k＝＝， ∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D的纵坐标为， 作CE⊥x轴于E， ∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝， ∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝， ∴＝1， ∴k＝＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 13. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 若点与点关于 轴对称，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称点的特点，负整数指数幂计算．根据关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求解． 【详解】解：点与点关于  轴对称， ∴，， ∴ 故答案为：． 15. 如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，进一步即可求得结果． 【详解】解：∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：连接AE， 在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2， ∴∠DEA=30°， ∵AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEA=30°， ∴的长度为：=. 考点：弧长的计算. 17. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个． 【答案】92 【解析】 【分析】根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是； 所以第9个图形中圆的个数， 故答案为：92． 【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 18. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是．现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可． 【详解】解：由图象可知，10s时，P、E重合，cm 根据题意，得 ， ∴， 解得AB=6cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， ∴AE==8， 由图象可知cm， ∴DE=4cm， ∴AD=12cm， ∴矩形的面积为：12×6= 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先计算幂的乘方、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、幂的乘方、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数，熟练掌握相关法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】将该分式分子分母因式分解，括号里面进行通分，除法改写为乘法，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC， (1)请你利用直尺和圆规完成如下操作： ①作△ABC的角平分线AD； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P； ③连接PB，PC． 请你观察图形解答下列问题： （2）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　 　；请说明理由． （3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数． 【答案】 （1）如图，AD、EF 、点P为所作； （2）PA=PB=PC，理由： ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC， ∵EP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案为PA=PB=PC； （3）80°． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD和AB的垂直平分线，它们相交于P点； （2）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC； （3）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°-2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC， ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°． 【点睛】本题考查角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键． 22. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分） 23. 《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：分及以上为优秀，分为良好，分为及格，分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下： 七年级 八年级 （1）根据上述数据，补充完成下列表格． 整理数据： 等级 频数 年级 优秀 良好 及格 不及格 七年级 八年级 分析数据： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 （2）该校目前七年级有人，八年级有人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？ （3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由． 【答案】（1）；；；（2）70人；（3）七年级学生的体质健康情况更好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的概念解答即可； （2）根据样本估计总体解答即可； （3）根据数据调查信息解答即可． 【详解】（1）八年级及格的人数是，平均数，中位数； 故答案为；；； （2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有人； （3）根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好． 【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键． 24. 某“数学兴趣小组”对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请将其补充完整． （1）函数的自变量的取值范围为______． （2）下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：______，______． … … … … （3）如图在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质： 性质：______； 性质：______． 【答案】（1）； （2），； （3） 如图， （4）该函数的图象关于点成中心对称；时随的增大而增大．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据分母不等于零即可求出自变量得取值范围； （）把，分别代入函数解析式即可求值； （）用平滑的曲线连接即可； （）根据函数图象可写出其性质； 本题考查了函数的图象与性质，正确掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 由，得， 故答案为：； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 该函数的图象关于点成中心对称； 时随的增大而增大， 故答案为：该函数的图象关于点成中心对称；时随的增大而增大，（答案不唯一）． 25. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长． 【答案】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC， ∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC， 即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB为⊙O的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，再解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x， 在Rt△AOH中，∵tanA＝， ∴＝， ∴＝， ∴AH＝4x， ∴AO＝＝＝5x， ∵AD＝2， ∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1， ∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，∵tanA＝， ∴BC＝AC•tanA＝8×＝6， ∴OB＝＝＝． 【点睛】本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的性质定理是解题的关键． 26. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD， ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG， ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。 证明：∵四边形ABCD菱形 ∴AB=AD ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG ∵∠EAG=∠BAD ∴ ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可； （2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立； （3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 (2)略 (3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H ∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴△EAB∽△GAD ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 27. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $