第三章 专题三 概率与统计-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题三 ! 概率与统计 高考命题主要考查以下两点# $! 概率与统计包括随机事件)等可能性事件的概率$互斥事件有一个发生的概率$古典概型$ 几何概型$抽样方法$总体分布的估计$回归分析$独立性检验$正态分布等 ! "! 在高考试卷中$概率与统计的内容每年都有所涉及$问题以考生比较熟悉的实际应用问题 为载体$考查对概率事件的识别及概率计算 ! 解答概率统计试题时要注意分类与整合)化归与转 化)或然与必然思想的运用 ! !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" $" $" $" $" $" $" $" 全国卷!乙卷" $" $" $" $" $" $" $" 新高考全国 ! 卷 $" $" 新高考全国 " 卷 $" $" !例 $ " ! 从某学校的 &## 名男生中随机抽取 (# 名测量身高$被测学生身高全部介于 $((@F 和 $'(@F 之间$将测量结果按如下方式分成八组#第一组- $(( $ %# "$第二组- $%# $ %( "$22$第 八组- $'# $ '( ,$下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分$已知第一组与第八组 人数相同$第六组的人数为 -! ! $ "求第七组的频率% ! " "估计该校的 &## 名男生的身高的众数与中位数以及身高在 $&#@F 以上!含 $&#@F "的 人数% ! + "若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生$求抽出的两名男生是在 同一组的概率 ! "例 $ 图# ( ("$ ( !解析" ! " $ #因为第六组的频率为- (# )#!#& % 所以第七组的频率为 $*#!#&*(D " #!##&D",#!#$%,#!#-D",#!#% # )#!#%! "#由图可知%估计该校 &## 名男生的身高的众数为" $!(,$&# # >")$!!!( ! 身高在第一组, $(( % $%# #的频率为 #!##&D()#!#- % 身高在第二组, $%# % $%( #的频率为 #!#$%D()#!#& % 身高在第三组, $%( % $!# #的频率为 #!#-D()#!" % 身高在第四组, $!# % $!( #的频率为 #!#-D()#!" % 由于 #!#-,#!#&,#!")#!+" 5 #!( % #!#-,#!#&,#!",#!")#!(" 6 #!( % 估计这所学校的 &## 名男生的身高的中位数为 5 %则 $!# 5 5 5 $!(! 由 #!#-,#!#&,#!", " 5*$!# # D#!#-)#!( 得 5)$!-!( % 所以可估计这所学校的 &## 名男生的身高的中位数为 $!-!( ! 由直方图得后三组频率为 #!#%,#!#&,#!##&D()#!$& % 所以估计身高在 $&#@F 以上"含 $&#@F #的人数为 #!$&D&##)$--! " + #第六组, $&# % $&( #的人数为 - %设为 0 % 2 % 1 % 4 %第八组, $'# % $'( *的人数为 " %设为 " % # % 则从中抽两名的情况有 02 % 01 % 04 % 21 % 24 % 14 % 0" % 2" % 1" % 4" % 0# % 2# % 1# % 4# % "# 共 $( 种% 其中抽出的两名男生是在同一组的有 02 % 01 % 04 % 21 % 24 % 14 % "# 共 ! 种情况% 故抽出的两名男生是在同一组的概率为! $( ! !例 " " ! 某学生对其亲属 +# 人的饮食习惯进行了一次调查$并用茎叶图表示 +# 人的饮食指 数!说明#图中饮食指数低于 !# 的人$饮食以蔬菜为主%饮食指数高于 !# 的人$饮食以肉类为主" 甲! (# 岁以下" 乙! (# 岁以上" $ " # ! $ ! ( ! % ! ! ! % + " ! + ! ! ! ' ! % ( ! + - - ! ( ! " & ( & % $ % ! ! ! & ! - ! ( ! & ( ! + ! " & # ' "例 " 图# !! ! $ "根据茎叶图$帮助这位学生说明其亲属 +# 人的饮食习惯% ! " "根据以上数据完成下列 "D" 的列联表% 主食蔬菜 主食肉类 合计 (# 岁以下 (# 岁以上 合计 ( %"$ ( ! + "能否有 ''E 的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关$并写出简要分析 ! 统计量 E " ) % ! 04*21 " " ! 0,2 "! 1,4 "! 0,1 "! 2,4 " / ! E " 7 9 # " #!$( #!$# #!#( #!#"( #!#$# 9 # "!#!" "!#% +!&-$ (!#"- %!%+( !! !解析" ! " $ #该学生 +# 名亲属中% (# 岁以下的人中%有" + 的人的饮食以肉类为主%$ + 的人的 饮食以蔬菜为主! (# 岁以上的人中%只有$ ' 的人的饮食以肉类为主%& ' 的人的饮食以蔬菜为主 ! "#列联表如下所示 ! 主食蔬菜 主食肉类 合计 (# 岁以下 - & $" (# 岁以上 $% " $& 合计 "# $# +# !! " + #假设 F # $该学生其亲属的饮食习惯与年龄无关% 则 E " ) +#D " -D"*&D$% # " $"D$&D"#D$# )$# 7 %!%+(! K/ " E " 7 %!%+( # )#!#$ % L 有 ''E 的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 ! !例 + " ! 某工厂的某种产品成箱包装$每箱 "## 件$每一箱产品在交付用户之前要对产品作 检验$如检验出不合格品$则更换为合格品 ! 检验时$先从这箱产品中任取 "# 件作检验$再根据检 验结果决定是否对余下的所有产品作检验 ! 设每件产品为不合格品的概率都为 ( ! # 5 ( 5 $ "$且 各件产品是否为不合格品相互独立 ! ! $ "记 "# 件产品中恰有 " 件不合格品的概率为 L ! ( "$求 L ! ( "的最大值点 (# ! ! " "现对一箱产品检验了 "# 件$结果恰有 " 件不合格品$以! $ "中确定的 (# 作为 ( 的值 ! 已 知每件产品的检验费用为 " 元$若有不合格品进入用户手中$则工厂要对每件不合格品支付 "( 元的赔偿费用 ! # 若不对该箱余下的产品作检验$这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 C $求 <C % $ 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据$是否该对这箱余下的所有产品作检验4 !解析" ! " $ # "# 件产品中恰有 " 件不合格品的概率为 L " ( # )0 " "#( " " $* ( # $& ! 因此 L H " ( # )0 " "# , " ( " $* ( # $& *$& ( " " $* ( # $! * )"0 " "#( " $* ( # $! " $*$# ( # ! 令 L H " ( # )# %得 ( )#!$! 当 ( " " # % #!$ #时% L H " ( # 6 # !当 ( " " #!$ % $ #时% L H " ( # 5 #! 所以 L " ( #的最大值点为 (# )#!$! "#由" $ #知% ( )#!$! # 令 D 表示余下的 $&# 件产品中的不合格品件数% 依题意知 D ( # " $&# % #!$ #% C)"#D","(D %即 C)-#,"(D! 所以 <C)< " -#,"(D # )-#,"(<D)-'#! $ 如果对余下的产品作检验%则这一箱产品所需要的检验费为 -## 元 ! 由于 <C 6 -## %故应该对余下的产品作检验 ! ( !"$ ( $! 某公司计划购买 $ 台机器$该种机器使用三年后即被淘汰 ! 机器有一易损零件$在购进机 器时$可以额外购买这种零件作为备件$每个 "## 元 ! 在机器使用期间$如果备件不足再购买$则 每个 (## 元 ! 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件$为此搜集并整理了 $## 台这种机 器在三年使用期内更换的易损零件数$得下面柱状图# " $ 题图# 记 ' 表示 $ 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数$ . 表示 $ 台机器在购买易损零件 上所需的费用!单位#元"$ % 表示购机的同时购买的易损零件数!单位#个" ! ! $ "若 %)$' $求 . 与 ' 的函数解析式% ! " "若要求*需更换的易损零件数不大于 % +的频率不小于 #!( $求 % 的最小值% ! + "假设这 $## 台机器在购机的同时每台都购买 $' 个易损零件$或每台都购买 "# 个易损零 件$分别计算这 $## 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数$以此作为决策依据$购买 $ 台 机器的同时应购买 $' 个还是 "# 个易损零件4 ( &"$ ( !! "! 某校高三! $ "班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏$ 但可见部分如下$据此解答如下问题# ! $ "求全班人数% ! " "求分数在- &# $ '# "之间的人数%并计算频率分布直方图中- &# $ '# "间的矩形的高% ! + "若要从分数在- &# $ ## ,之间的试卷中任取两份分析学生得分情况$在抽取的试卷中$求 至少有一份分数在- '# $ ## ,之间的概率 ! " 题图 $ # ! " 题图 " # ( '"$ ( !! +! 为了比较两种治疗失眠症的药!分别称为 " 药$ # 药"的疗效$随机地选取 "# 位患者服用 " 药$ "# 位患者服用 # 药$这 -# 位患者在服用一段时间后$记录他们日平均增加的睡眠的时间!单 位# M " ! 试验的观测结果如下# 服用 " 药的 "# 位患者日平均增加的睡眠时间# #!% ! $!" ! "! ! $!( ! "!& ! $!& ! "!" ! "!+ ! +!" ! +!( "!( ! "!% ! $!" ! "! ! $!( ! "!' ! +!# ! +!$ ! "!+ ! "!- 服用 # 药的 "# 位患者日平均增加的睡眠时间# +!" ! $! ! $!' ! #!& ! #!' ! "!- ! $!" ! "!% ! $!+ ! $!- $!% ! #!( ! $!& ! #!% ! "!$ ! $!$ ! "!( ! $!" ! "! ! #!( ! $ "分别计算两组数据的平均数$从计算结果看$哪种药的疗效更好4 ! " "根据两组数据完成下面茎叶图$从茎叶图看$哪种药的疗效更好4 " 药 # 药 #! $! "! +! " + 题图# ( #+$ ( !! -! 一汽车厂生产 " $ # $ 三类轿车$每类轿车均有舒适型和标准型两种型号$某月的产量如下 表#!单位#辆" 轿车 " 轿车 # 轿车 $ 舒适型 $## $(# 3 标准型 +## -(# %## !! 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 (# 辆$其中 " 类轿车抽取 $# 辆 ! ! $ "求 3 的值 ! ! " "用分层抽样的方法在 $ 类轿车中抽取一个容量为 ( 的样本 ! 将该样本看成一个总体$从 中任取 " 辆$求至少有 $ 辆舒适型轿车的概率% ! + "用随机抽样的方法从 # 类舒适型轿车中抽取 & 辆$经检测它们的得分如下# '!- $ &!% $ '!" $ '!% $ &! $ '!+ $ '!# $ &!"! 把这 & 辆轿车的得分看作一个总体$从中任取一个数$求该数与样本 平均数之差的绝对值不超过 #!( 的概率 ! (! 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况$拟采用分层抽样的方法从 " $ # $ 三个区中抽 取 ! 间工厂进行调查$已知 " $ # $ 区中分别有 $& $ "! $ & 间工厂 ! ! $ "求从 " $ # $ 区中分别抽取的工厂数量% ! " "若从抽取的 ! 间工厂中随机抽取 " 间进行调查结果的对比$用列举法计算这 " 间工厂中 至少有 $ 间来自 " 区的概率 ! ( $+$ ( %! 从某企业生产的某种产品中抽取 $## 件$测量这些产品的一项质量指标值$由测量表得如下 频数分布表# 质量指标值分组 - !( $ &( " - &( $ '( " - '( $ #( " - $#( $ $( " - $$( $ "( " 频数 % "% +& "" & !! ! $ "在下图作出这些数据的频率分布直方图# " % 题图# ! " "估计这种产品质量指标值的平均数及方差!同一组中的数据用该组区间的中点值作代表"% ! + "根据以上抽样调查数据$能否认为该企业生产的这种产品符合*质量指标值不低于 '( 的 产品至少要占全部产品的 &#E +的规定4 ( "+$ ( !! !! 某城市 $## 户居民的月平均用电量!单位#度"$以- $%# $ $&# "$- $&# $ "## "$- "## $ ""# "$ - ""# $ "-# "$- "-# $ "%# "$- "%# $ "&# "$- "&# $ +## ,分组的频率分布直方图如图 ! ! $ "求直方图中 ' 的值% ! " "求月平均用电量的众数和中位数% ! + "在月平均用电量为- ""# $ "-# "$- "-# $ "%# "$- "%# $ "&# "$- "&# $ +## ,的四组用户中$用分层 抽样的方法抽取 $$ 户居民$则月平均用电量在- ""# $ "-# "的用户中应抽取多少户4 " ! 题图# &! 袋中有大小)形状相同的红)黑球各一个$现有放回地随机摸取 + 次$每次摸取一个球 ! ! $ "试问#一共有多少种不同的结果4 请列出所有可能的结果% ! " "若摸到红球时得 " 分$摸到黑球时得 $ 分$求 + 次摸球所得总分为 ( 分的概率 ! ( ++$ ( !! '! 编号为 " $ $ " " $2$ " $% 的 $% 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下# 运动员编号 " $ " " " + " - " ( " % " ! " & 得分 $( +( "$ "& "( +% $& +- 运动员编号 " ' " $# " $$ " $" " $+ " $- " $( " $% 得分 $! "% "( ++ "" $" +$ +& !! ! $ "将得分在对应区间内的人数填入相应的空格% 区间 - $# $ "# " - "# $ +# " - +# $ -# , 人数 !! ! " "从得分在区间- "# $ +# "内的运动员中随机抽取 " 人 ! # 用运动员的编号列出所有可能的抽取结果% $ 求这 " 人得分之和大于 (# 的概率 ! $#! 袋中有五张卡片$其中红色卡片三张$标号分别为 $ $ " $ + %蓝色卡片两张$标号分别为 $ $ "! ! $ "从以上五张卡片中任取两张$求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 - 的概率% ! " "现袋中再放入一张标号为 # 的绿色卡片$从这六张卡片中任取两张$求这两张卡片颜色 不同且标号之和小于 - 的概率 ! ( -+$ ( !! $$! 一个盒子里装有三张卡片$分别标记有数字 $ $ " $ + $这三张卡片除标记的数字外完全相同 ! 随机有放回地抽取 + 次$每次抽取 $ 张$将抽取的卡片上的数字依次记为! 0 $ 2 $ 1 " ! ! $ "求*抽取的卡片上的数字满足 0,2)1 +的概率% ! " "求*抽取的卡片上的数字 0 $ 2 $ 1 不完全相同+的概率 ! $"! 在某次测验中$有 % 位同学的平均成绩为 !( 分 ! 用 ' % 表示编号为 % ! %)$ $ " $2$ % "的同 学所得成绩$且前 ( 位同学的成绩如下# 编号 % $ " + - ( 成绩 ' % !# !% !" !# !" !! ! $ "求第 % 位同学的成绩 ' % $及这 % 位同学成绩的标准差 ? % ! " "从前 ( 位同学中$随机地选 " 位同学$求恰有 $ 位同学成绩在区间! %& $ !( "中的概率 ! ( (+$ ( $+! 某地区 "##' 年至 "#$( 年农村居民家庭人均纯收入 . !单位#千元"的数据如下表# 年份 "##' "#$# "#$$ "#$" "#$+ "#$- "#$( 年份代号 > $ " + - ( % ! 人均纯收入 . "!' +!+ +!% -!- -!& (!" (!' !! ! $ "求 . 关于 > 的线性回归方程% ! " "利用! $ "中的回归方程$分析 "##' 年至 "#$( 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化 情况$并预测该地区 "#$% 年农村居民家庭人均纯收入 ! 附#回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为# 2) C % @)$ ! > @ *> "! .@ * . " C % @)$ ! > @ *> " " $ 0) . *2> $-! 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价$将该产品按事先拟定的价格进行试销$ 得到如下数据# 单价 ' !元" & &!" &!- &!% &!& ' 销量 . !件" '# &- &+ &# !( %& !! ! $ "求回归直线方程 . )2',0 $其中 2)*"# $ 0) . *2' % ! " "预计在今后的销售中$销量与单价仍然服从! $ "中的关系$且该产品的成本是 - 元5件$为 使工厂获得最大利润$该产品的单价应定为多少元4 !利润 ) 销售收入 * 成本" ( %+$ ( !! $(! 某种产品的质量以其质量指标值衡量$质量指标值越大表明质量越好$且质量指标值大 于或等于 $#" 的产品为优质品 ! 现用两种新配方!分别称为 " 配方和 # 配方"做试验$各生产了 $## 件这种产品$并测量了每件产品的质量指标值$得到下面试验结果 ! " 配方的频数分布表 指标值分组 - '# $ '- " - '- $ '& " - '& $ #" " - $#" $ #% " - $#% $ $# , 频数 & "# -" "" & # 配方的频数分布表 指标值分组 - '# $ '- " - '- $ '& " - '& $ #" " - $#" $ #% " - $#% $ $# , 频数 - $" -" +" $# !! ! $ "分别估计用 " 配方$ # 配方生产的产品的优质品率% !! ! " "已知用 # 配方生产的一件产品利润 . !单位#元"与其质量指标值 > 的关系式为 . ) *" $ > 5 '- $ " $ '- 4 > 5 $#" $ - $ > 7 $#" D ? @ $ 估计用 # 配方生产的一件产品的利润大于 # 的概率$并求用 # 配方生产的上 述 $## 件产品平均一件的利润 ! ( !+$ ( !! $%! 通过随机询问某校 $$# 名高中学生在购买食物时是否看营养说明$得到如下的列联表 ! ! $ "从这 (# 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样$抽取一个容量为 ( 的样本$问样本中 看与不看营养说明的女生各有多少名4 ! " "从! $ "中的 ( 名女生样本中随机选取两名作深度访谈$求选到看与不看营养说明的女生各 一名的概率% ! + "根据以下列联表$问有多大把握认为*性别与在购买食物时看营养说明有关+4 性别与看营养说明列联表 ! 单位$名 男 女 总计 看营养说明 (# +# &# 不看营养说明 $# "# +# 总计 %# (# $$# !! E "的临界值表# / ! E " 7 9 # " #!$( #!$# #!#( #!#"( #!#$# 9 # "!#!" "!#% +!&-$ (!#"- %!%+( ( &+$ ( !! $!! 某高校共有 $(### 人$其中男生 $#(## 人$女生 -(## 人 ! 为调查该校学生每周平均体育 运动时间的情况$采用分层抽样的方法$收集 +## 位学生每周平均体育运动时间的样本数据!单 位#小时" ! " $! 题图# ! $ "应收集多少位女生样本数据4 ! " "根据这 +## 个样本数据$得到学生每周平均体育运动时 间的频率分布直方图!如图所示"$其中样本数据分组区间为# - # $ " ,$! " $ - ,$! - $ % ,$! % $ & ,$! & $ # ,$! $# $ " , ! 估计该校学生每周 平均体育运动时间超过 - 个小时的概率 ! ! + "在样本数据中$有 %# 位女生的每周平均体育运动时间超 过 - 个小时 ! 请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表$并判断是否有 '(E 的把握认为*该 校学生的每周平均体育运动时间与性别有关+ ! !! 附# E " ) % ! 04*21 " " ! 0,2 "! 1,2 "! 0,1 "! 2,4 " !!!!!!! / ! E " 7 9 # " #!$# #!#( #!#$# #!##( 9 # "!#% +!&-$ %!%+( !!&!' ( '+$ ( !! $&! 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费$需了解年宣传费 ' !单位#千元"对年销售 量 . !单位#吨"和年利润 3 !单位#千元"的影响$对近 & 年的宣传费 ' @ 和年销售量 .@ ! @)$ $ " $2$ & " 数据作了初步处理$得到下面的散点图及一些统计量的值 ! " $& 题图# ' . Q C & @)$ ! ' @ *' " " C & @)$ ! Q @ *Q " " C & @)$ ! ' @ *' "! .@ * . " C & @)$ ! Q @ *Q "! .@ * . " -%!% (%+ %!& "&'!& $!% $-%' $#&!& !! 表中 Q @ ) '槡@$Q) $ & C & @)$ Q @ ! $ "根据散点图判断$ . )0,2' 与 . )1, 槡4 '$哪一个适合作为年销售量.关于年宣传费' 的回归方程类型!给出判断即可$不必说明理由"% ! " "根据! $ "的判断结果及表中数据$建立 . 关于 ' 的回归方程% ! + "已知这种产品的年利润 3 与 ' $ . 的关系为 3)#!" . *' $根据! " "的结果回答下列问题# # 当年宣传费 ')-' 时$年销售量及年利润的预报值是多少4 $ 当年宣传费 ' 为何值时$年利润的预报值最大4 附#对于一组数据! N $ $ O $ "$! N " $ O " "$2$! N % $ O % "$其回归直线 O) ! , " N 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为 " ) C % @)$ ! N @ *N "! O @ *O " C % @)$ ! N @ *N " " $ ! )O* " N! ( #-$ ( !! $'! 如图是我国 "##& 年至 "#$- 年生活垃圾无害化处理量!单位#亿吨"的折线图 ! " $' 题图# 注$年份代码 $ ( ! 分别对应年份 "##& 年 ( "#$- 年 ! ! $ "由折线图看出$可用线性回归模型拟合 . 与 > 的关系$请用相关系数加以说明% ! " "建立 . 关于 > 的回归方程!系数精确到 #!#$ "$预测 "#$% 年我国生活垃圾无害化处理量 ! 附注# 参考数据# C ! @)$ .@ )'!+" $ C ! @)$ > @.@ )-#!$! $ C ! @)$ ! .@ * . "槡 " )#!(( $槡!E"!%-%! 参考公式#相关系数 B) C % @)$ ! > @ *> "! .@ * . " C % @)$ ! > @ *> " " C % @)$ ! .@ * . "槡 " ! 回归方程 . )0,2> 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为# 2) C % @)$ ! > @ *> "! .@ * . " C % @)$ ! > @ *> " " $ 0) . *2>! ( $-$ ( !! "#! 甲)乙)丙三位同学进行羽毛球比赛$约定赛制如下# 累计负两场者被淘汰 ! 比赛前抽签决定首先比赛的两人$另一人轮空%每场比赛的胜者与轮空 者进行下一场比赛$负者下一场轮空$直至有一人被淘汰%当一人被淘汰后$剩余的两人继续比 赛$直至其中一人被淘汰$另一人最终获胜$比赛结束 ! 经抽签$甲)乙首先比赛$丙轮空 ! 设每场比赛双方获胜的概率都为$ " ! ! $ "求甲连胜四场的概率% ! " "求需要进行第五场比赛的概率% ! + "求丙最终获胜的概率 ! "$! 为加快新冠肺炎检测效率$某检测机构采取* 9 合 $ 检测法+$即将 9 个人的拭子样本合并 检测 ! 若为阴性$则可确定所有样本都是阴性的%若为阳性$则还需要对本组的每个人再做检测 ! 现有 $## 人$已知其中 " 人感染病毒 ! ! $ " # 若采用* $# 合 $ 检测法+$且两名患者在同一组$求总检测次数% $ 已知 $# 人分成一组$分 $# 组$两名感染患者在同一组的概率为$ $$ $定义随机变量 C 为总 检测次数$求检测次数 C 的分布列和数学期望 < ! C "% ! " "若采用* ( 合 $ 检测法+$检测次数 D 的期望为 < ! D "$试比较 < ! C "和 < ! D "的大小 ! !直接 写出结果" ( "-$ ( 书 !! !!! 已知某单位甲!乙!丙三个部门的员工人数分别为 !" " #$ " #$! 现采用分层抽样的方法从中 抽取 % 人"进行睡眠时间的调查 ! #$应从甲!乙!丙三个部门的员工中分别抽取多少人% # ! $若抽出的 % 人中有 " 人睡眠不足" & 人睡眠充足"现从这 % 人中随机抽取 & 人做进一步的 身体检查 ! ! 用 " 表示抽取的 & 人中睡眠不足 !! 的员工人数"求随机变量 " 的分布列与数学期望& " 设事件 # 为'抽取的 & 人中"既有睡眠充足的员工"也有睡眠不足的员工("求事件 # 发生 的概率 ! !&! 为了研究一种新药的疗效"选 #'' 名患者随机分成两组"每组各 (' 名"一组服药"另一组 不服药 ! 一段时间后"记录了两组患者的生理指标 $ 和 % 的数据"并制成下图"其中' " (表示服药 者"' ) (表示未服药者 ! ! & 题图" #$从服药的 (' 名患者中随机选出一人"求此人指标 % 的值小于 $' 的概率& # ! $从图中 # " & " ' " ( 四人中随机选出两人"记 ! 为选出的两人中指标 $ 的值大于 #!% 的人 数"求 ! 的分布列和数学期望 ) # ! $& # & $试判断这 #'' 名患者中服药者指标 % 数据的方差与未服药者指标 % 数据的方差的大小 ! #只 需写出结论$ ) &"# ) !"! 从某企业生产的某种产品中抽取 ('' 件"测量这些产品的一项质量指标值"由测量结果得 如下频率分布直方图* ! " 题图" #$求这 ('' 件产品质量指标值的样本平均数 $ 和样本方差 * ! #同一组数据用该区间的中点 值作代表$& # ! $由频率分布直方图可以认为"这种产品的质量指标值 + 服从正态分布 , # " " # ! $"其中 " 近 似为样本平均数 $ " # !近似为样本方差 * ! ! ! 利用该正态分布"求 - # *%!* # + # !#!! $& " 某用户从该企业购买了 #'' 件这种产品"记 " 表示这 #'' 件产品中质量指标值位于区间 # *%!* " !#!! $的产品件数"利用 ! 的结果"求 )"! 附*槡#('$#!!!若+#,# " " # ! $"则 - # " + ## + # " ) # $ ,'!$*!$ " - # " +! ## + # " )! # $ ,'!-(""! ) ""# ) !! "(! 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程$检验员每天从该生产线上随机抽取 $% 个零 件$并测量其尺寸!单位# @F " ! 根据长期生产经验$可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺 寸服从正态分布 - ! % $ ( " " ! ! $ "假设生产状态正常$记 C 表示一天内抽取的 $% 个零件中其尺寸在! % *+ ( $ % ,+ ( "之外的 零件数$求 / ! C 7 $ "及 C 的数学期望% ! " "一天内抽检零件中$如果出现了尺寸在! % *+ ( $ % ,+ ( "之外的零件$就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况$需对当天的生产过程进行检查 ! # 试说明上述监控生产过程方法的合理性% $ 下面是检验员在一天内抽取的 $% 个零件的尺寸# '!'( $#!$" '!'% '!'% $#!#$ '!'" '!'& $#!#- $#!"% '!'$ $#!$+ $#!#" '!"" $#!#- $#!#( '!'( !! 经计算得 ') $ $% C $% @)$ ' @ )'!'! $ ?) $ $% C $% @)$ ! ' @ *' "槡 " ) $ $% ! C $% @)$ ' @ " *$%' " 槡 "E#!"$" $其中 ' @ 为 抽取的第 @ 个零件的尺寸$ @)$ $ " $2$ %! 用样本平均数 ' 作为 % 的估计值 % $用样本标准差 ? 作为 ( 的估计值 ( $利用估计值判断是否 需对当天的生产过程进行检查4 剔除! % *+ ( $ % ,+ ( "之外的数据$用剩下的数据估计 % 和 ( !精 确到 #!#$ " ! 附#若随机变量 R 服从正态分布 - ! % $ ( " "$则 / ! % *+ (5 R 5 % ,+ ( " )#!''!- $ #!''!- $% E #!'('" $ #!槡 ##&E#!#'! ( (-$ ( &$! !"证明1因为 - &+! "! - & "! * $- & "0"! - & "! *$ ' 所以数列% - & "! &是以 & 为首项'以 $ 为公比的等比数列 ! 则 - & "!*& - $ &"! ! 所以 - & *& - $ &"! +!! ! & "解1 " & *&+&=$+&=$ & + 3 +&=$ &"! +&* & -! "$ & " !"$ +&* & 0 -! $ & "! " +&! 专题三 # 概率与统计 !! 解1!"当 # + !. 时' * *&''=!.*04'' (当 # . !. 时' * *&''=!.+%'' ! #"!. " *%''#"%#''! 所以 * 关于 # 的函数解析式为 * * 04'' ' # + !. ' # ( " 2 ' %''#"%#'' ' # . !. ' # ( " 2 % ! ! & "由柱状图知'需更换的零件数不大于 !4 的频率为/+!/+&$ !'' *'!$/ '不大于 !. 的频率为 '!$/+ &$ !'' *'!# '故 & 的最小值 为 !.! ! 0 "若每台机器在购机的同时都购买 !. 个易损零件'则这 !'' 台机器中有 #' 台在购买零件上的费用为 04'' 元' &' 台的费用为 $0'' 元' !' 台的费用为 $4'' 元'因此这 !'' 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ! !'' = ! 04''=#'+$0''=&'+$4''=!' " *$''' ( 若每台机器在购机的同时都购买 &' 个易损零件'则这 !'' 台机器中有 .' 台在购买零件上的费用为 $''' 元' !' 台的费用为 $%'' 元'因此这 !'' 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ! !'' = ! $'''=.'+$%''=!' " *$'%'! 比较两个平均数可知'购买 ! 台机器的同时应购买 !. 个易损零件 ! &! 解1!"由茎叶图知'分数在) %' ' /' "之间的频数为 & '由频率分布直方图可知频率为 '!''4=!'*'!'4 ' 所以全班人数为 & '!'4 *&%! ! & "分数在) 4' ' .' "之间的频数为 &%"&"#"!'"&*$ '即分数在) 4' ' .' "之间的人数为 $! 频率分布直方图中) 4' ' .' "间的矩形的高为$ &% D!'*'!'!/! ! 0 "将) 4' ' .' "之间的 $ 个分数编号为 ! ' & ' 0 ' $ ') .' ' !'' *之间的 & 个分数编号为 % ' / '在) 4' ' !'' *之间的试卷中任取两份的 基本事件有!' & "'!' 0 "'!' $ "'!' % "'!' / "'! & ' 0 "'! & ' $ "'! & ' % "'! & ' / "'! 0 ' $ "'! 0 ' % "'! 0 ' / "'! $ ' % "'! $ ' / "'! % ' / "'共 !% 个'其 中'至少有一个在) .' ' !'' *之间的基本事件有!' % "'!' / "'! & ' % "'! & ' / "'! 0 ' % "'! 0 ' / "'! $ ' % "'! $ ' / "'! % ' / "'共 . 个'故至少有一 份分数在) .' ' !'' *之间的概率是. !% *'!/! 0! 解1!"设 ' 药观测数据的平均数为 # ' % 药观测数据的平均数为 * ! 由观测结果可得 #* ! &' = ! '!/+!!&+!!&+!!%+!!%+!!4+&!&+&!0+&!0+&!$+&!%+&!/+&!#+&!#+&!4+&!.+0!'+0!+0!&+0!% " *&!0 ' * * ! &' = ! '!%+'!%+'!/+'!4+'!.+!!+!!&+!!&+!!0+!!$+!!/+!!#+!!4+!!.+&!+&!$+&!%+&!/+&!#+0!& " *!!/! 由以上计算结果可得 # . * '因此可看出 ' 药的疗效更好 ! ! & "由观测结果可绘制如下茎叶图1 ' 药 % 药 / '! % # % # / # 4 # . 4 # % # % # & # & !! ! # & # & # 0 # $ # / # # # 4 # . . # 4 # # # # # / # % # $ # 0 # 0 # & &! ! # $ # % # / # # % # & # ! # ' 0! & ! 0 题图" 从以上茎叶图可以看出' ' 药疗效的试验结果有# !' 的叶集中在茎 & ' 0 上'而 % 药疗效的试验结果有# !' 的叶集中在茎 ' ' ! 上' 由此可看出 ' 药的疗效更好 ! $! 解1!"设该厂本月生产轿车为 & 辆'由题意得%' & * !' !''+0'' ' 所以 &*&''' ' 5*&'''"!''"0''"!%'"$%'"/''*$''! - %4 - ! & "设所抽样本中有 6 辆舒适型轿车'因为用分层抽样的方法在 . 类轿车中抽取一个容量为 % 的样本'所以$'' !''' * 6 % '解得 6*& '也就是抽取了 & 辆舒适型轿车' 0 辆标准型轿车'分别记作 " ! ' " & ( % ! ' % & ' % 0 ! 则从中任取 & 辆的所有基本事件为! " ! ' % ! "' ! " ! ' % & "'! " ! ' % 0 "'! " & ' % ! "'! " & ' % & "'! " & ' % 0 "'! " ! ' " & "'! % ! ' % & "'! % & ' % 0 "'! % ! ' % 0 "'共 !' 个'其中至少有 ! 辆舒适型轿车的基 本事件有 # 个1! " ! ' % ! "'! " ! ' % & "'! " ! ' % 0 "'! " & ' % ! "'! " & ' % & "'! " & ' % 0 "'! " ! ' " & "'所以从中任取 & 辆'至少有 ! 辆舒适型轿车的 概率为# !' ! ! 0 "样本的平均数为 #* ! 4 = ! .!$+4!/+.!&+.!/+4!#+.!0+.!'+4!& " *. ' 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 '!% 的数为 .!$ ' 4!/ ' .!& ' 4!# ' .!0 ' .!' 这 / 个数'总的个数为 4 '所以该数与样本平 均数之差的绝对值不超过 '!% 的概率为/ 4 *'!#%! %! 解1!"工厂总数为 !4+&#+!4*/0 '样本容量与总体中的个体数比为# /0 * ! . '所以从 ' ' % ' . 三个区中应分别抽取的工厂 数量为 & ' 0 ' &! ! & "设 ' ! ' ' & 为在 ' 区中抽得的 & 间工厂' % ! ' % & ' % 0 为在 % 区中抽得的 0 间工厂' . ! ' . & 为在 . 区中抽得的 & 间工厂' 这 # 间工厂中随机抽取 & 间'全部的可能结果有1! ' ! ' & "'! ' ! ' % ! "'! ' ! ' % & "'! ' ! ' % 0 "'! ' ! ' . ! "'! ' ! ' . & "'! ' & ' % ! "'! ' & ' % & "' ! ' & ' % 0 "'! ' & ' . ! "'! ' & ' . & "'! % ! ' % & "'! % ! ' % 0 "'! % ! ' . ! "'! % ! ' . & "'! % & ' % 0 "'! % & ' . ! "'! % & ' . & "'! % 0 ' . ! "'! % 0 ' . & "'! . ! ' . & "共 &! 种' 随机抽取的 & 间工厂至少有一间来自 ' 区的结果有! ' ! ' ' & "'! ' ! ' % ! "'! ' ! ' % & "'! ' ! ' % 0 "'! ' ! ' . ! "'! ' ! ' . & "'! ' & ' % ! "' ! ' & ' % & "'! ' & ' % 0 "'! ' & ' . ! "'! ' & ' . & "共 !! 种 ! 所以所求的概率为!! &! ! /! 解1!" ! / 题图" ! & "质量指标值的样本平均数为 #* 4'=/+.'=&/+!''=04+!!'=&&+!&'=4 !'' *!'' ' 质量指标值的样本方差为 A & * ! "&' " & ='!'/+ ! "!' " & ='!&/+'='!04+!' & ='!&&+&' & ='!'4*!'$ ' 所以这种产品质量指标的平均数估计值为 !'' '方差的估计值为 !'$! ! 0 "依题意04+&&+4 !'' */4E - 4'E ' 故不能认为该企业生产的这种产品符合+质量指标值不低于 .% 的产品至少要占全部产品 4'E ,的规定 ! #! 试题分析1!"由频率之和等于 ! 可得 # 的值(! & "由最高矩形的横坐标中点可得众数'由频率之和等于 '!% 可得中位数( ! 0 "先计算出月平均用电量为) &&' ' &$' "') &$' ' &/' "') &/' ' &4' "') &4' ' 0'' *的用户的户数'再计算抽取比例'进而可得月平均用电 量在) &&' ' &$' "的用户中应抽取的户数 ! 解1!"由! '!''&+'!''.%+'!'!!+'!'!&%+#+'!''%+'!''&% " =&'*! '得 #*'!''#% ' 所以直方图中 # 的值是 '!''#%! ! & "月平均用电量的众数是&&'+&$' & *&0' ' 因为! '!''&+'!''.%+'!'!! " =&'*'!$% - '!% ' 所以月平均用电量的中位数在) &&' ' &$' "内'设中位数为 - ' 由! '!''&+'!''.%+'!'!! " =&'+'!'!&% -! -"&&' " *'!% 得 -*&&$ ' 所以月平均用电量的中位数是 &&$! - /4 - ! 0 "月平均用电量为) &&' ' &$' "的用户有 '!'!&%=&'=!''*&% !户"' 月平均用电量为) &$' ' &/' "的用户有 '!''#%=&'=!''*!% !户"' 月平均用电量为) &/' ' &4' "的用户有 '!''%=&'=!''*!' !户"' 月平均用电量为) &4' ' 0'' *的用户有 '!''&%=&'=!''*% !户"' 抽取比例 * !! &%+!%+!'+% * ! % ' 所以月平均用电量在) &&' ' &$' "的用户中应抽取 &%= ! % *% !户" ! 4! 解1!"一共有 4 种不同的结果'列举如下1 !红'红'红"'!红'红'黑"'!红'黑'红"'!红'黑'黑"'!黑'红'红"'!黑'红'黑"'!黑'黑'红"'!黑'黑'黑" ! ! & "记+ 0 次摸球所得总分为 % 分,为事件 ' ' 事件 ' 包含的基本事件为1!红'红'黑"'!红'黑'红"'!黑'红'红"'事件 ' 包含的基本事件数为 0 ' 由!"可知'基本事件总数为 4 '所以事件 ' 的概率为 , ! ' " * 0 4 ! .! 解1!"得分在区间) !' ' &' "内有 $ 人(在) &' ' 0' "内有 / 人(在) 0' ' $' *内有 / 人 ! ! & " " 得分在区间) &' ' 0' "内的运动员编号为 ' 0 ' ' $ ' ' % ' ' !' ' ' !! ' ' !0 ! 从中随机抽取 & 人'所有可能的抽取结果有! ' 0 ' $ "'! ' 0 ' ' % "'! ' 0 ' ' !' "'! ' 0 ' ' !! "'! ' 0 ' ' !0 "'! ' $ ' ' % "'! ' $ ' ' !' "'! ' $ ' ' !! "' ! ' $ ' ' !0 "'! ' % ' ' !' "'! ' % ' ' !! "'! ' % ' ' !0 "'! ' !' ' ' !! "'! ' !' ' ' !0 "'! ' !! ' ' !0 "'共 !% 种 ! # +从得分在区间) &' ' 0' "内的运动员中随机抽取 & 人'这 & 人得分之和大于 %' ,!记为事件 % "的所有可能结果有! ' $ ' ' % "' ! ' $ ' ' !' "'! ' $ ' ' !! "'! ' % ' ' !' "'! ' !' ' ' !! "'共 % 种 ! 所以 , ! % " * % !% * ! 0 ! !'! 解1!"从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 !' 种1!红 ! '红 & "'!红 ! '红 0 "'!红 ! '蓝 ! "'!红 ! '蓝 & "'!红 & '红 0 "' !红 & '蓝 ! "'!红 & '蓝 & "'!红 0 '蓝 ! "'!红 0 '蓝 & "'!蓝 ! '蓝 & " ! 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 $ 的有 0 种情况' 故所求的概率为 ,* 0 !' ! ! & "加入一张标号为 ' 的绿色卡片后'从六张卡片中任取两张'除上面的 !' 种情况外'多出 % 种情况1!红 ! '绿 ' "'!红 & '绿 ' "' !红 0 '绿 ' "'!蓝 ! '绿 ' "'!蓝 & '绿 ' "'即共有 !% 种情况'其中颜色不同且标号之和小于 $ 的有 4 种情况' 所以概率为 ,* 4 !% ! !!! 解1!"由题意知'! - ' 2 ' 1 "所有的可能结果为1!' ! ' ! "'!' ! ' & "'!' ! ' 0 "'!' & ' ! "'!' & ' & "'!' & ' 0 "'!' 0 ' ! "'!' 0 ' & "' !' 0 ' 0 "'! & ' ! ' ! "'! & ' ! ' & "'! & ' ! ' 0 "'! & ' & ' ! "'! & ' & ' & "'! & ' & ' 0 "'! & ' 0 ' ! "'! & ' 0 ' & "'! & ' 0 ' 0 "'! 0 ' ! ' ! "'! 0 ' ! ' & "'! 0 ' ! ' 0 "' ! 0 ' & ' ! "'! 0 ' & ' & "'! 0 ' & ' 0 "'! 0 ' 0 ' ! "'! 0 ' 0 ' & "'! 0 ' 0 ' 0 "'共 &# 种 ! 设+抽取的卡片上的数字满足 -+2*1 ,为事件 ' ' 则事件 ' 包括!' ! ' & "'!' & ' 0 "'! & ' ! ' 0 "'共 0 种 ! 所以 , ! ' " * 0 &# * ! . ! 因此'+抽取的卡片上的数字满足 -+2*1 ,的概率为! . ! ! & "设+抽取的卡片上的数字 - ' 2 ' 1 不完全相同,为事件 % '则事件 % 包括!' ! ' ! "'! & ' & ' & "'! 0 ' 0 ' 0 "'共 0 种 ! 所以 , ! % " *!", ! % " *!" 0 &# * 4 . ! 因此'+抽取的卡片上的数字 - ' 2 ' 1 不完全相同,的概率为4 . ! !&! 解1!"由! / ! #'+#/+#&+#'+#&+# / " *#% '解得 # / *.'! 标准差为 A* ! / )! # ! "# " & + ! # & "# " & + 3 + ! # / "# " & 槡 ** ! / = ! % & +! & +0 & +% & +0 & +!% & 槡 "*#! ! & "前 % 位同学中随机选出的 & 位同学记为! - ' 2 "' - ' 2 ( % ! ' & ' 0 ' $ ' % &且 - 4 2 ' 则基本事件有!' & "'!' 0 "'!' $ "'!' % "'! & ' 0 "'! & ' $ "'! & ' % "'! 0 ' $ "'! 0 ' % "'! $ ' % "'共 !' 种 ! 这 % 位同学中'编号为 ! ' 0 ' $ ' % 号的同学成绩在区间! /4 ' #% "中 ! 设 ' 表示随机事件+从前 % 位同学中随机选出 & 位同学'恰有 ! 位同学成绩在区间! /4 ' #% "中,' 则 ' 中的基本事件有!' & "'! & ' 0 "'! & ' $ "'! & ' % "'共 $ 种 ! 则 , ! ' " * $ !' * & % ! !0! 解1!" )3* !+&+ 3 +# # *$ ' * * &!.+0!0+0!/+$!$+$!4+%!&+%!. # *$!0 ' - #4 - 根据回归方程公式'经计算得 2* $!&+&+'!#+'+'!%+!!4+$!4 ! .+$+! " =& * !$ !$=& * ! & ' -* * "23*$!0" ! & =$*&!0 ' 所以 * 关于 3 的回归方程为 * *'!%3+&!0! ! & " )2* ! & . ' ' ,&''. 年至 &'!% 年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长 ! 预计到 &'!/ 年该区农村居民家庭人均纯收入 * *'!%=4+&!0*/!0 !千元"' 答1预计到 &'!/ 年'该地区农村居民家庭人均纯收入约为 /0'' 元 ! !$! 解1!" #* ! / = ! 4+4!&+4!$+4!/+4!4+. " *4!% ' * * ! / = ! .'+4$+40+4'+#%+/4 " *4' ' -* * +&'#*4'+&'=4!%*&%'! 则回归直线方程为 * *"&'#+&%'! ! & "工厂获得利润为 5* ! #"$ " * *"&'# & +00'#"!''' ' 当 #*4!&% 时' 5 ><G *0/!!&% !元" ! 答1为使工厂获得最大利润'该产品的单价应定为 4!&% 元 ! !%! 解1!"由试验结果知'用 ' 配方生产的产品中优质品的频率为&&+4 !'' *'!0 '所以用 ' 配方生产的产品的优质品率的估计 值为 '!0! 由试验结果知'用 % 配方生产的产品中优质品的频率为0&+!' !'' *'!$& '所以用 % 配方生产的产品的优质品率的估计值为 '!$&! ! & "由条件知用 % 配方生产的一件产品的利润大于 ' 当且仅当其质量指标值 3 / .$ '由试验结果知'质量指标值 3 / .$ 的频率 为 '!./ '所以用 % 配方生产的一件产品的利润大于 ' 的概率估计值为 '!./! 用 % 配方生产的产品平均一件的利润为 ! !'' = ! $= ! "& " +%$=&+$&=$ " *&!/4 !元" ! !/! 解1!"根据分层抽样可得'样本中看营养说明的女生有 %= 0' %' *0 !名"' 样本中不看营养说明的女生有 %= &' %' *& !名" ! ! & "记样本中看营养说明的 0 名女生为 - ! ' - & ' - 0 '不看营养说明的 & 名女生为 2 ! ' 2 & ' 从这 % 名女生中随机选取两名'共有 !' 个等可能的基本事件'分别为1! - ! ' - & "'! - ! ' - 0 "'! - ! ' 2 ! "'! - ! ' 2 & "'! - & ' - 0 "'! - & ' 2 ! "' ! - & ' 2 & "'! - 0 ' 2 ! "'! - 0 ' 2 & "'! 2 ! ' 2 & " ! 其中事件 ' +选到看与不看营养说明的女生各一名,包含了 / 个基本事件1! - ! ' 2 ! "'! - ! ' 2 & "'! - & ' 2 ! "'! - & ' 2 & "'! - 0 ' 2 ! "'! - 0 ' 2 & " ! 所以所求的概率为 , ! ' " * / !' * 0 % ! ! 0 "假设 K ' 1该校高中学生中'性别与在购买食物时看营养说明无关' 根据题中的列联表得 ? & *9* !!'= ! %'=&'"0'=!' " & 4'=0'=/'=%' * %0. #& C #!$4/ ' 由 , ! ? & / /!/0% " *'!'!' 可知'有 ..E 的把握认为该校高中学生+性别与在购买食物时看营养说明有关, ! !#! 解1!"因为由 0''= $%'' !%''' *.' '所以应收集 .' 位女生的样本数据 ! ! & "由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 $ 小时的频率为 !"&= ! '!''+'!'&% " *'!#% ' 所以该校学生每周平均体育运动时间超过 $ 小时的概率的估计值为 '!#%! ! 0 "由! & "知' 0'' 位学生中有 0''='!#%*&&% !位"的每周平均体育运动时间超过 $ 小时' #% 人的每周平均体育运动时间不 超过 $ 小时 ! 又因为样本数据中有 &!' 份是关于男生的' .' 份是关于女生的'所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下1 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过 $ 小时 $% 0' #% 每周平均体育运动时间超过 $ 小时 !/% /' &&% 总计 &!' .' 0'' ## 提出假设 K ' 1该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关' 根据题中的列联表得 ? & * 0''= ! /%=0'"$%=/' " & #%=&&%=&!'=.' * !'' &! C $!#/& . 0!4$!! 由 , ! ? & / 0!4$! " *'!'% ' 所以有 .%E 的把握认为+该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关, ! - 44 - !4! 解1!"由散点图可以判断' * *1+ 槡J #适合作为年销售量*关于年宣传费#的回归方程类型! ! & "令 Q*槡#'先建立*关于Q 的线性回归方程' 由于 J* B 4 B*! ! Q B "Q "! *B " * " B 4 B*! ! Q B "Q " & * !'4!4 !!/ */4 ' ,1* * "JQ*%/0"/4=/!4*!''!/! , * 关于 Q 的线性回归方程为 * *!''!/+/4Q ' , * 关于 # 的回归方程为 * *!''!/+/4槡#! ! 0 " " 由! & "知'当 #*$. 时'年销售量 * 的预报值 * *!''! 槡/+/4 $.*%#/!/' 5*%#/!/='!&"$.*//!0&! # 根据! & "的结果知'年利润 5 的预报值 5*'!& ! ''!/+/4槡#""#*"#+!0!/槡#+&'!&' , 当槡#* !0!/ & */!4 '即 #*$/!&$ 时' 5 取得最大值 ! 故宣传费用为 $/!&$ 千元时'年利润的预报值最大 ! !.! 试题分析1!"根据相关系数公式求出相关数据后'然后代入公式即可求得 E 的值'最后根据其值大小回答即可(! & "利用 最小二乘法的原理提供的回归方程'准确求得相关数据即可建立 * 关于 3 的回归方程'然后作预测 ! 解1!"由折线图中的数据和附注中参考数据得 3* !+&+0+$+%+/+# # *$ ' * * B # B*! *B # * .!0& # ' B # B*! ! 3 B "3 " & * ! "$ " & + ! &"$ " & + ! 0"$ " & + ! $"$ " & + ! %"$ " & + ! /"$ " & + ! #"$ " & *&4 ' B # B*! ! *B " * "槡 &*'!%%'B # B*! ! 3 B "3 "! *B " * " * B # B*! 3 B*B "#3 - * *$'!#"#=$= .!0& # *&!4. ' 相关系数 E* B # B*! ! 3 B "3 "! *B " * " B # B*! ! 3 B "3 " & B # B*! ! *B " * "槡 & * &!4. '! 槡%%= &4 C &!4. '!%%=&=&!/$/ C '!..! 因为 * 与 3 的相关系数近似为 '!.. '说明 * 与 3 的线性相关程度相当高'从而可以用线性回归模型拟合 * 与 3 的关系 ! ! & "由 * * .!0& # C !!00! 及!"得 2* B # B*! ! 3 B "3 "! *B " * " B # B*! ! 3 B "3 " & * &!4. &4 C '!'0 ' -* * "23 C !!00!"'!'0=$ C '!.&! , * 关于 3 的回归方程为 * *'!.&+'!'3! 将 &'!/ 年对应的 3*. 代入回归方程得 * *'!.&+'!'=.*!!4&! , 预测 &'!/ 年我国生活垃圾无害化处理量将约 !!4& 亿吨 ! &'! 解1!"甲连胜四场'只能是前四场全胜'则 ,* ! " ! & $ * ! !/ ! ! & "根据赛制'至少需要进行四场比赛'至多需要进行五场比赛 ! ) 比赛四场结束'共有三种情况 ! 甲连胜四场的概率为! !/ '乙连胜四场比赛的概率为! !/ '丙上场后连胜三场的概率为! 4 ' , 需要进行第五场比赛的概率为 ,*!" ! !/ " ! !/ " ! 4 * 0 $ ! ! 0 "设事件 ' 为甲输' % 为乙输' . 为丙输'则丙最终获胜的概率为 ,*, ! '%'% " +, ! %'%' " +, ! '%'.% " +, ! %'%.' " +, ! '%.'% " +, ! '%.%' " +, ! %'.'% " +, ! %'.%' " + , ! '.'%% " +, ! '.%'% " +, ! %.'%' " +, ! %.%'' " * ! " ! & $ =&+ ! " ! & % =!'* # !/ ! &!! 解1!" " 若采用+ !' 合 ! 检测法,'每组检查一次'共 !' 次( 又两名患者在同一组'需要再检查 !' 次'因此一共需要检查 &' 次 ! # 由题意可得 C*&' ' 0'! , ! C*&' " * ! !! ' , ! C*0' " * !' !! ! 可得 C 的分布列1 C &' 0' , ! !! !' !! - .4 - ## : ! C " *&'= ! !! +0'= !' !! * 0&' !! ! ! & "由题意可得 D*&% ' 0'! , ! D*&% " *&'= 2 & & 2 0 .4 2 % !'' * $ .. ' , ! D*0' " * .% .. ! 可得 D 的分布列1 D &% 0' , $ .. .% .. ## 因为 : ! D " *&%= $ .. +0'= .% .. * &.%' .. . &44' .. * 0&' !! ' 所以 : ! C " - : ! D " ! &&! 解1!"由已知'甲2乙2丙三个部门的员工人数之比为 0C&C& ' 由于采用分层抽样的方法从中抽取 # 人'因此应从甲2乙2丙三个部门的员工中分别抽取 0 人' & 人' & 人 ! ! & " " 随机变量 C 的所有可能取值为 ' ' ! ' & ' 0! , ! C*9 " * 2 9 $ - 2 0"9 0 2 0 # ! 9*' ' ! ' & ' 0 " ! 所以'随机变量 C 的分布列为 C ' ! & 0 , ! 0% !& 0% !4 0% $ 0% ## 随机变量 C 的数学期望 : ! C " *'= ! 0% +!= !& 0% +&= !4 0% +0= $ 0% * !& # ! # 设事件 % 为+抽取的 0 人中'睡眠充足的员工有 ! 人'睡眠不足的员工有 & 人,(事件 . 为+抽取的 0 人中'睡眠充足的员工 有 & 人'睡眠不足的员工有 ! 人,'则 '*% , . '且 % 与 . 互斥' 由 " 知' , ! % " *, ! C*& "' , ! . " *, ! C*! "' 故 , ! ' " *, ! % , . " *, ! C*& " +, ! C*! " * / # ! 所以事件 ' 发生的概率为/ # ! &0! 解1!"由图知'在服药的 %' 名患者中'指标 * 的值小于 /' 的有 !% 人' 所以从服药的 %' 名患者中随机选出一人'此人指标 * 的值小于 /' 的概率为!% %' *'!0! ! & "由图知' ' ' % ' . ' 8 四人中'指标 # 的值大于 !!# 的有 & 人1 ' 和 .! 所以 ' 的所有可能取值为 ' ' ! ' &! , ! ' *' " * 2 & & 2 & $ * ! / ' , ! ' *! " * 2 ! & 2 ! & 2 & $ * & 0 ' , ! ' *& " * 2 & & 2 & $ * ! / ! 所以 ' 的分布列为 ' ' ! & , ! / & 0 ! / ## 故 ' 的数学期望 : ! ' " *'= ! / +!= & 0 +&= ! / *!! ! 0 "在这 !'' 名患者中'服药者指标 * 数据的方差大于未服药者指标 * 数据的方差 ! &$! 解1!"抽取产品的质量指标值的样本平均数 # 和样本方差 A & 分别为 #*!#'='!'&+!4'='!'.+!.'='!&&+&''='!00+&!'='!&$+&&'='!'4+&0'='!'&*&'' ' A & * ! "0' " & ='!'&+ ! "&' " & ='!'.+ ! "!' " & ='!&&+'='!00+!' & ='!&$+&' & ='!'4+0' & ='!'&*!%'! ! & " " 由!"知' R $ ( ! &'' ' !%' "'从而 , ! 4#!4 - R - &!&!& " *, ! &''"!&!& - R - &''+!&!& " *'!/4&/! # 由 " 知'一件产品的质量指标值位于区间! 4#!4 ' &!&!& "的概率为 '!/4&/ ' 依题意知 C $ % ! '' ' !/4&/ "'所以 :C*!''='!/4&/*/4!&/! &%! 解1!"抽取的一个零件的尺寸在! & "0 ( ' & +0 ( "之内的概率为 '!..#$ '从而零件的尺寸在! & "0 ( ' & +0 ( "之外的概率为 '!''&/ '故 C $ % ! / ' !''&/ " ! 因此 , ! C / ! " *!", ! C*' " *!"'!..#$ !/ C '!'$'4! C 的数学期望为 :C*!/='!''&/*'!'$!/! - '. - ! & " " 如果生产状态正常'一个零件尺寸在! & "0 ( ' & +0 ( "之外的概率只有 '!''&/ '一天内抽取的 !/ 个零件中'出现尺寸在 ! & "0 ( ' & +0 ( "之外的零件的概率只有 '!'$'4 '发生的概率很小 ! 因此一旦发生这种情况'就有理由认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况'需对当天的生产过程进行检查'可见上述监控生产过程的方法是合理的 ! # 由 #*.!.# ' A C '!&!& '得 & 的估计值为 & *.!.# ' ( 的估计值为 ( *'!&!& '由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 ! & "0 ( ' & +0 ( "之外'因此需对当天的生产过程进行检查 ! 剔除! & "0 ( ' & +0 ( "之外的数据 .!&& '剩下数据的平均数为! !% = ! /=.!.#".!&& " *!'!'& ' 因此 & 的估计值为 !'!'&! B !/ B*! # B & *!/='!&!& & +!/=.!.# & C !%.!!0$ ' 剔除! & "0 ( ' & +0 ( "之外的数据 .!&& '剩下数据的样本方差为! !% = ! %.!!0$".!&& & "!%=!'!'& & " C '!''4 ' 因此 ( 的估计值为 '!槡 ''4C'!'.! 专题四 # 立体几何 !! 证明1!" )': : .8 ' ': F 平面 %.8 ' .8 A 平面 %.8 ' ,': : 平面 %.8! ! 题图" ! & "取 %. 中点 ( ' %8 中点 ) '连接 '( ' () ' :)! ))( 是 ? %.8 的中位线' ,)( : .8 且 )(* ! & .8*!! 又 )': : .8 ' ,': : )(! 又 )':*)(*! ' , 四边形 '(): 为平行四边形 ! ,:) : '(! )': 9 平面 '%. ' ,)( 9 平面 '%.! 又 '( A 平面 '%. ' ,)( 9 '(! ) ? '%. 为正三角形' ( 为 %. 的中点' ,'( 9 %.! 又 %. ' ()*( ' %. ' )( A 平面 %.8 ' ,'( 9 平面 %.8! 又 :) : '(! ,:) 9 平面 %.8! 又 :) A 平面 %:8 ' , 平面 %:8 9 平面 %.8! &! !"证明1连结 '. ! 交 ' ! . 于点 ; '则 ; 为 '. ! 中点 ! 连结 8; '又 8 是 '% 中点' 则 %. ! : 8;! ! & 题图" 又因为 8; A 平面 ' ! .8 ' %. ! F 平面 ' ! .8 ' 所以 %. ! : 平面 ' ! .8! ! & "解1因为 '%.>' ! % ! . ! 是直三棱柱'所以 '' ! 9 平面 '%.! 又因为 .8 A 平面 '%. '所以 '' ! 9 .8! 因为 '.*.% ' 8 为 '% 的中点'所以 '% 9 .8! 又 '' ! ' '%*' '及 '' ! ' '% A 平面 '%% ! ' ! '所以 .8 9 平面 '%% ! ' ! ! 由 '' ! *'.*.%*& ' '% 槡*& &' 得 ; '.%*.'B ' .8 槡* &''!8 槡* /'8: 槡* 0''!:*0' 故 ' ! 8 & +8: & *' ! : & '即 ' ! 8 9 8:! 所以 @ ."' ! 8: * ! 0 .8 - " ? ' ! 8: * ! 0 槡= &= ! & 槡 槡= /= 0*!! 0! !"证明1取 '% 的中点 7 '连结 7. ' 7' ! ' ' ! %! 因为 '.*.% ' 7 为 '% 的中点'所以 7. 9 '%! 因为 '%*'' ! ' ; %'' ! */'B '所以 ? '' ! % 为等边三角形 ! 所以 7' ! 9 '%! - !. -