第一章 专题十二 计数原理-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题十二 ! 计数原理 !考试内容" ! 二项式定理!排列!组合 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" ( ( ( ( ( ( 全国卷!乙卷" ( ( ( ( 新高考全国 ! 卷 ( ( 新高考全国 " 卷 一#计数原理 $! 分类计数原理!加法原理"# -)5 $ ,5 " , 2 ,5 % ! "! 分步计数原理!乘法原理"# -)5 $ ( 5 " (2( 5 % ! 二#排列与组合 !一"排列 $! 排列#一般地$从 % 个不同元素中取出 5 ! 5 4 % "个元素$按照一定的顺序排成一列$叫做从 % 个不同元素中取出 5 个元素的一个排列 ! "! 排列数公式 . 5 % )% ! %*$ "2! %*5,$ " ) % 6 ! %*5 "6 ! % $ 5 " ! ' $且 5 4 % " ! % 6 )% (! %*$ "(! %*" "(! %*+ "(2( +D"D$! 注意#规定 # 6 )$! +! 排列恒等式 ! $ " . 5 % ) ! %*5,$ " . 5*$ % % ! " " . 5 % ) % %*5 . 5 %*$ % ! + " . 5 % )%. 5*$ %*$ % ! - " %. % % ). %,$ %,$ *. % % % ! ( " . 5 %,$ ). 5 % ,5. 5*$ % % ! % " $ 6 ," ( " 6 ,+ ( + 6 , 2 ,% ( % 6 ) ! %,$ "6 *$! !二"组合 $! 组合#一般地$从 % 个不同元素中取出 5 ! 5 4 % "个元素合成一组$叫做从 % 个不同元素中 取出 5 个元素的一个组合 ! "! 组合数公式 0 5 % ) . 5 % . 5 5 ) % ! %*$ "2! %*5,$ " $D"D 2 D5 ) % 6 5 6 (! %*5 "6 ! % $ 5 " ! ' $且 5 4 % " ! +! 组合数的两个性质 ! $ " 0 5 % )0 %*5 % % ( !! ( ! " " 0 5 % ,0 5*$ % )0 5 %,$ ! 注#规定 0 # % )$! -! 组合恒等式 ! $ " 0 5 % ) %*5,$ 5 0 5*$ % % ! " " 0 5 % ) % %*5 0 5 %*$ % ! + " 0 5 % ) % 5 0 5*$ %*$ % ! - " C % B)# 0 B % )" % % ! ( " 0 B B ,0 B B,$ ,0 B B," , 2 ,0 B % )0 B,$ %,$ % ! % " 0 # % ,0 $ % ,0 " % , 2 ,0 B % , 2 ,0 % % )" % % !" 0 $ % ,0 + % ,0 ( % , 2 )0 # % ,0 " % ,0 - % , 2 )" %*$ % ! & " 0 $ % ,"0 " % ,+0 + % , 2 ,%0 % % )%" %*$ % ! ' " 0 B 5 0 # % ,0 B*$ 5 $ $ % , 2 ,0 # 5 0 B % )0 B 5,% % ! $# "! 0 # % " " , ! 0 $ % " " , ! 0 " % " " , 2 , ! 0 % % " " )0 % "% ! (! 排列数与组合数的关系 . 5 % )5 6 ( 0 5 % ! 三#二项式定理 $! 二项式定理#! 0,2 " % )0 # % 0 % ,0 $ % 0 %*$ 2,0 " % 0 %*" 2 " , 2 ,0 B % 0 %*B 2 B , 2 ,0 % % 2 % ! "! 二项展开式的通项公式# , B,$ )0 B % 0 %*B 2 B ! B)# $$ " $2$ % " ! $!' " , " ! " ' ( 的展开式中 ' -的系数为 ! !! " .5$# /5"# 05-# 15&# "! 设 ; 为虚数单位$则! ',; " %的展开式中含 ' -的项为 ! !! " .5*$(' - /5$(' - 05*"#;' - 15"#;' - +!$, $ ' ! " " ! $,' " %的展开式中 ' "的系数为 ! !! " .5$( /5"# 05+# 15+( -! ! ', . "! "'* . " (的展开式中 ' + . +的系数为 ! !! " .5*&# /5*-# 05-# 15&# (! 二项式! ',$ " % ! % " ! , "的展开式中 ' "的系数为 $( $则 %) ! !! " .5- /5( 05% 15! %! 在! $,' " % ! $, . " - 的展开式中$记 ' 5 . % 项的系数为 L ! 5 $ % "$则 L ! + $ # " , L ! " $ $ " , L ! $ $ " " , L ! # $ + " ) ! !! " .5-( /5%# 05$"# 15"$# !! 已知! $,' " % 的展开式中第 - 项与第 & 项的二项式系数相等$则奇数项的二项式系数和为 ! !! " .5" $" /5" $$ 05" $# 15" ' ( &! ( &! 若! 0,' "! $,' " -的展开式中 ' 的奇数次幂项的系数之和为 +" $则 0) ! '! 若 0' " , 2 ! " ' % 的展开式中 ' +项的系数为 "# $则 0 " ,2 "的最小值为 ! $#! 若将函数 L ! ' " )' ( 表示为 L ! ' " )0 # ,0 $ ! $,' " ,0 " ! $,' " " , 2 ,0 ( ! $,' " ( $其中 0 # $ 0 $ $ 0 " $2$ 0 ( 为实数$则 0 + ) ! $$! 安排 + 名志愿者完成 - 项工作$每人至少完成 $ 项$每项工作由 $ 人完成$则不同的安排方 式共有 ! !! " .5$" 种 /5$& 种 05"- 种 15+% 种 $"! 用数字 $ $ " $ + $ - $ ( 组成没有重复数字的五位数$其中奇数的个数为 ! !! " .5"- /5-& 05%# 15!" $+! 用 # $$2$ ' 十个数字$可以组成有重复数字的三位数的个数为 ! !! " .5"-+ /5"(" 05"%$ 15"!' $-! 用数字 # $$ " $ + $ - $ ( 组成没有重复数字的五位数$其中比 -#### 大的偶数共有 ! !! " .5$-- 个 /5$"# 个 05'% 个 15!" 个 $(!- 位同学各自在周六)周日两天中任选一天参加公益活动$则周六)周日都有同学参加公 益活动的概率为 ! !! " .5 $ & /5 + & 05 ( & 15 ! & $%! 将 " 名教师$ - 名学生分成 " 个小组$分别安排到甲)乙两地参加社会实践活动$每个小组 由 $ 名教师和 " 名学生组成$不同的安排方案共有 ! !! " .5$" 种 /5$# 种 05' 种 15& 种 $!! 若从 $ $ " $ + $2$ ' 这 ' 个整数中同时取 - 个不同的数$其和为偶数$则不同的取法共有 ! !! " .5%# 种 /5%+ 种 05%( 种 15%% 种 $&! 现有 $% 张不同的卡片$其中红色)黄色)蓝色)绿色卡片各 - 张$从中任取 + 张$要求这 + 张卡片不能是同一种颜色$并且红色卡片至多 $ 张$则不同取法的种数是 ! !! " .5"+" /5"(" 05-!" 15-&- $'! 某台小型晚会由 % 个节目组成$演出顺序有如下要求#节目甲必须排在前两位$节目乙不 能排在第一位$节目丙必须排在最后一位$则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ! !! " .5+% 种 /5-" 种 05-& 种 15(- 种 "#! 现安排甲)乙)丙)丁)戊 ( 名同学参加上海世博会志愿者服务活动$每人从事翻译)导游) 礼仪)司机四项工作之一$每项工作至少有一人参加7甲)乙不会开车但能从事其他三项工作$ 丙)丁)戊都能胜任四项工作$则不同安排方案的种数是 ! !! " .5$(" /5$"% 05'# 15(- "$! 从 % 男 " 女共 & 名学生中选出队长 $ 人$副队长 $ 人$普通队员 " 人组成 - 人服务队$要 求服务队中至少有 $ 名女生$共有 种不同的选法!用数字作答" ! ""!$# 件产品中有 ! 件正品$ + 件次品$从中任取 - 件$则恰好取到 $ 件次品的概率是 ! "+! 将序号分别为 $ $ " $ + $ - $ ( 的 ( 张参观券全部分给 - 人$每人至少一张$如果分给同一人 的两张参观券连号$那么不同的分法种数是 ! "-! 将 " $ # $ $ $ 6 $ < $ = 六个字母排成一排$且 " $ # 均在 $ 的同侧$则不同的排法共有 种!用数字作答" ! ( '! ( 0$!(12 # #解析$ # 如图'设 ; ! )*6 '因为 & ; & ) & * & )( & '根据双曲线定义可得 & ; & ) & * & )( & *&-+6 ' ! 0$ 题图" , & ; ! ( & *&-+&6 ' & ; & ( & *&6! ); ! 78 )* ! $ ; ! 78 ( ' ,6* ! $ ! &6+&- "' ,6*-! , & ; ! ) & *- ' & ; & ( & *&- '故 ( ' 1 正确( 在 ? )(; & 中' & ; & ) & * & )( & *0- ' & ; & ( & *&- ' 即可得 @A6 ; )(; & * - 0- * ! 0 '故 2 正确( 在三角形 ; ! (; & 中'由 & ; & ; ! & & * & ; ! ( & & + & ; & ( & & "& & ; ! ( && ; & ( & @A6 ; )(; & ' 可得 01 & *!!- & '故 3 错误 ! 故选 (12! 0%!(23 # #解析$ # 对于 ( '若 6 . & . ' '则! 6 - ! & '则根据椭圆定义'知# & ! 6 + * & ! & *! 表示焦 点在 * 轴上的椭圆'故 ( 正确( 对于 1 '若 6*& . ' '则方程为 # & + * & * ! & '表示半径为! 槡& 的圆'故 1 错误( 对于 2 '若 6 - ' ' & . ' '则方程为# & ! 6 + * & ! & *! '表示焦点在 * 轴的双曲线'故此时渐近线方程为 * *? " 6 槡&#' 若 6 . ' ' & - ' '则方程为# & ! 6 + * & ! & *! '表示焦点在 # 轴的双曲线'故此时渐近线方程为 * *? " 6 槡&#'故2正确( 对于 3 '当 6*' ' & . ' 时'则方程为 * *? ! 槡& '表示两条直线'故 3 正确 ! 故选 (23! 专题十二 # 计数原理 !!2 # #解析$ # $ E+! *2 E % ! # & " %"E & ! " # E *2 E % & E # !'"0E '由 !'"0E*$ '得 E*& '所以 # $ 的系数为 2 & % =& & *$'! 故选 2! &!( # #解析$ # 通项 $ E+! *2 E / # /"E 7 E ! E*' ' ! ' & '3' / "'令 E*& '得含 # $ 的项为 2 & / # $ 7 & *"!%# $ ! 故选 (! 0!2 # #解析$ # !+ ! # ! " & ! +# " / 展开式中含 # & 的项为 ! - 2 & / # & + ! # & - 2 $ / # $ *0'# & '故 # & 的系数为 0'! 故选 2! $!2 # #解析$ # ! &#" * " % 的展开式的通项公式为 $ E+! *2 E % ! &# " %"E ! " * " E ! 当 E*0 时' # ! &#" * " % 展开式中 # 0 * 0 的系数为 2 0 % =& & = ! "! " 0 *"$' ' 当 E*& 时' * ! &#" * " % 展开式中 # 0 * 0 的系数为 2 & % =& 0 = ! "! " & *4' ' 所以 # 0 * 0 的系数为 4'"$'*$'! 故选 2! %!2 # #解析$ # 由! #+! " & * ! +# " & *!+2 ! & #+2 & & # & + 3 +2 & & # & '可知 2 & & *!%! 由& ! &"! " & *!% '解得 &*/ 或 &*"% !舍去" ! 故选 2! /!2 # #解析$ # 由题意知 4 ! 0 '" *2 0 / 2 ' $ ' 4 ! & ' ! " *2 & / 2 ! $ ' 4 !' & " *2 ! / 2 & $ ' 4 ! ' ' 0 " *2 ' / 2 0 $ ' 因此 4 ! 0 '" + 4 ! & ' ! " + 4 !' & " + 4 ! ' ' 0 " *!&'! 故选 2! #!3 # #解析$ # 因为! +# " & 的展开式中的第 $ 项与第 4 项的二项式系数相等'所以由 2 0 & *2 # & '解得 &*!'! 所以二项式! +# " !'的展开式中奇数项的二项式系数和为! & =& !' *& . ! 故选 3! 4!0 # #解析$ # ! +# " $ 展开式的通项为 $ E+! *2 E $ # E '由题意可知 - ! 2 ! $ +2 0 $ " +2 ' $ +2 & $ +2 $ $ *0& '解得 -*0! .!& # #解析$ # $ E+! *2 E / ! -# & " /"E 2 ! " # E *2 E / - /"E 2 E # !&"0E '令 !&"0E*0 '得 E*0 ' 故 2 0 / - 0 2 0 *&' ' ,-2*! ' - & +2 & / &-2*& '当且仅当 -*2*! 或 -*2*"! 时等号成立 ! !'!' # #解析$ # 方法一1由等式两边对应项系数相等 ! 即 - % *! ' 2 $ % - % +- $ *' ' 2 0 % - % +2 ! $ - $ +- 0 < = > *' 3 - 0 *!'! 方法二1对等式1 4 ! # " *# % *- ' +- ! ! +# " +- & ! +# " & + 3 +- % ! +# " % 两边连续对 # 求导三次得 /'# & */- 0 +&$- $ ! +# " +/'- % ! +# " & '再运用赋值法'令 #*"! 得 /'*/- 0 '即 - 0 *!'! 方法三1 4 ! # " *# % * ! "!+!+# " % '则 - 0 *2 0 % ! "! " & *!'! - 0$ - !!!3 # #解析$ # 由题意可得'一人完成两项工作'其余两人每人完成一项工作 ! 据此可得'只要把工作分成三份'有 2 & $ 种方 法'然后进行全排列 ! 由乘法原理'不同的安排方式共有 2 & $ - ( 0 0 *0/ !种" ! 故选 3! !&!3 # #解析$ # 由题意'要组成没有重复的五位奇数'则个位数应该为 ! ' 0 ' % 中任选一个'有 ( ! 0 种方法'其他数位上的数可 以从剩下的 $ 个数字中任选'进行全排列'有 ( $ $ 种方法'所以其中奇数的个数为 ( ! 0 ( $ $ *#&! 故选 3! !0!1 # #解析$ # 能够组成三位数的个数是 .=!'=!'*.'' '能够组成无重复数字的三位数的个数是 .=.=4*/$4! 故能够 组成有重复数字的三位数的个数为 .''"/$4*&%&! 故选 1! !$!1 # #解析$ # 据题意'万位上只能排 $ ' %! 若万位上排 $ '则有 &=( 0 $ !个"(若万位上排 % '则有 0=( 0 $ !个" ! 所以共有 &=( 0 $ +0=( 0 $ *%=&$*!&' !个" ! 故选 1! !%!3 # #解析$ # ,* & $ "& & $ * # 4 ! 故选 3! !/!( # #解析$ # 先安排 ! 名教师和 & 名学生到甲地'再将剩下的 ! 名教师和 & 名学生安排到乙地'共有 2 ! & 2 & $ *!& !种" ! 故选 (! !#!3 # #解析$ # 和为偶数'则 $ 个数都是偶数'都是奇数或者两个奇数两个偶数'则有 2 $ $ +2 $ % +2 & $ - 2 & % *!+%+/'*// !种" 取法 ! 故选 3! !4!2 # #解析$ # 若没有红色卡片'则需从黄2蓝2绿三色卡片中选 0 张'若都不同色则有 2 ! $ - 2 ! $ - 2 ! $ */$ !种"(若 & 张同色' 则有 2 & 0 - 2 ! & - 2 & $ - 2 ! $ *!$$ !种"(若红色 ! 张'其余 & 张不同色'则有 2 ! $ - 2 & 0 - 2 ! $ - 2 ! $ *!.& !种"(其余 & 张同色则有 2 ! $ - 2 ! 0 - 2 & $ *#& !种" ! 所以共有 /$+!$$+!.&+#&*$#& !种" ! 故选 2! 另解 ! 1 2 0 !/ "$2 0 $ "2 & $ 2 ! !& * !/=!%=!$ / "!/"#&*%/'"44*$#&! 另解 & 1 2 ' $ 2 0 !& "02 0 $ +2 ! $ 2 & !& * !&=!!=!' / "!&+$= !&=!! & *&&'+&/$"!&*$#&! !.!1 # #解析$ # 分两类1一类为甲排在第一位共有 ( $ $ *&$ !种"'另一类甲排在第二位共有 ( ! 0 ( 0 0 *!4 !种"' 故编排方案共有 &$+!4*$& !种" ! 故选 1! &'!1 # #解析$ # 由于五个人从事四项工作'而每项工作至少一人'那么每项工作至多两人'因为甲2乙不会开车'所以只能先 安排司机'分两类1 !"先从丙2丁2戊三人中任选一人开车(再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作'共有 2 ! 0 2 & $ ( 0 0 !种"( ! & "先从丙2丁2戊三人中任选两人开车1其余三人从事其他三项工作'共有 2 & 0 ( 0 0 !种" ! 所以不同安排方案的种数是 2 ! 0 2 & $ ( 0 0 +2 & 0 ( 0 0 *!&/ !种" ! 故选 1! &!!//' # #解析$ # 分两步1第一步'选出 $ 人'由于至少 ! 名女生'故有 2 $ 4 "2 $ / *%% !种"不同的选法(第二步'从 $ 人中选出 队长2副队长各一人'有 ( & $ *!& !种"不同的选法'根据分步乘法计数原理共有 %%=!&*//' !种"不同的选法 ! &&! ! & # #解析$ # 从 !' 件产品中任取 $ 件共有 2 $ !' *&!' !种"不同取法 ! 因为 !' 件产品中有 # 件正品' 0 件次品'所以从中任 取 $ 件恰好取到 ! 件次品共有 2 ! 0 2 0 # *!'% !种"不同的取法'故所求的概率为 ,* !'% &!' * ! & ! &0!./ # #解析$ # % 张参观券分成 $ 堆'有 & 个联号有 $ 种分法'每种分法分给 $ 个人有 ( $ $ 种方法'所以总共有 $( $ $ *./ !种" ! &$!$4' # #解析$ # 第一类'字母 2 排在左边第一个位置'有 ( % % !种"(第二类'字母 2 排在左边第二个位置'有 ( & $ ( 0 0 !种"(第三 类'字母 2 排在左边第三个位置'有 ( & & ( 0 0 +( & 0 ( 0 0 !种"'由对称性可知共有 &= ! ( % % +( & $ ( 0 0 +( & & ( 0 0 +( & 0 ( 0 0 " *$4' !种" ! 第二章 # 选择填空综合训练 !" 套 选择填空综合训练! " 一!单项选择题 !!2 # #解析$ # 根据题意'图中阴影部分表示的区域为 ' , % '集合 '* % # & & # / ! & * % # & # / ' &' %* % # & "! - # - ! &' 则 ' , %* % # & # . "! & ! 故选 2! &!1 # #解析$ # 5* 7 &+7 * 7 ! &"7 " ! &+7 "! &"7 " * &7+! % * ! % + & % 7 '则 5 的共轭复数为! % " & % 7! 故选 1! 0!2 # #解析$ # 因为由散点图可以看出红铃虫产卵数 * 随着温度 # 的增长速度越来越快' 所以函数 * *-+2H # 最适宜作为红铃虫产卵数 * 和温度 # 的回归方程类型 ! 故选 2! $!1 # #解析$ # ) 在矩形 '%.8 中' : 是 %. 的中点' ; 是 ': 上靠近 : 的三等分点' , 78 8;* 78 ';" 78 '8* & 0 78 ':" 78 '8* & 0 = ! & ! 78 '%+ 78 '. " " ! 78 '." 78 '% " * $ 0 78 '%" & 0 78 '.! 故选 1! %!( # #解析$ # @A6 ! " " " @A6 ! + " " * @A6 ! @A6 " +678 ! 678 " @A6 ! @A6 " "678 ! 678 " * !+;<8 ! ;<8 " !";<8 ! ;<8 " * !+& !"& *"0! 故选 (! - $$ -