第一章 专题八 数列-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题八 ! 数 ! 列 !考试内容" ! 等差数列!等比数列!求数列的通项!求数列的前 % 项和 + % !已知数列' 0 % (的前 % 项和 + % %求通项 0 % !递推 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" $( ( 全国卷!乙卷" ( ( 新高考全国 ! 卷 ( 新高考全国 " 卷 ( ( 一#数列的概念 $! 数列定义#按一定次序排列的一列数叫做数列%数列中的每个数都叫做这个数列的项$记 作 0 % $在数列第一个位置的项叫做第 $ 项!或首项"$在第二个位置的项叫做第 " 项$2$序号为 % 的项叫做第 % 项!也叫通项"记作 0 % ! "! 数列的一般形式# 0 $ $ 0 " $ 0 + $2$ 0 % $2$简记作& 0 % ' ! +! 通项公式的定义#如果数列& 0 % '的第 % 项与 % 之间的关系可以用一个公式表示$那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式 ! 说明# # & 0 % '表示数列$ 0 % 表示数列中的第 % 项$ 0 % ) L ! % "表示数列的通项公式% $ 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 ! 例如$ 0 % ) ! *$ " % ) *$ $ %)"9*$ $ $ $ %)"9 D ? @ $ ! 9 " ! , "% % 不是每个数列都有通项公式 ! 例如$$ !- $ !-$ $ !-$- $2% & 数列& 0 % '的前 % 项和 + % 与通项 0 % 的关系# 0 % ) + $ ! %)$ "$ + % *+ %*$ ! % 7 " " D ? @ ! 二#等差数列 $! 等差数列定义#一般地$如果一个数列从第 " 项起$每一项与它的前一项的差等于同一个 常数$那么这个数列就叫做等差数列 ! 这个常数叫做等差数列的公差$公差通常用字母 4 表示 ! 用递 推公式表示为 0 % *0 %*$ )4 ! % 7 " "或 0 %,$ *0 % )4 ! % 7 $ " ! "! 等差数列的通项公式# 0 % )0 $ , ! %*$ " 4! 说明#等差数列的单调性# 4 6 # 为递增数列$ 4)# 为常数列$ 4 5 # 为递减数列 ! +! 等差中项的概念#如果 0 $ " $ 2 成等差数列$那么 " 叫做 0 与 2 的等差中项 ! 其中 ") 0,2 " ! 0 $ " $ 2 成等差数列 , ") 0,2 " ! -! 等差数列的前 % 项和公式# + % ) % ! 0 $ ,0 % " " )%0 $ , % ! %*$ " " 4! ( &( ( (! 等差数列的性质 ! $ "在等差数列& 0 % '中$从第 " 项起$每一项是它相邻两项的等差中项% ! " "在等差数列& 0 % '中$相隔等距离的项组成的数列是等差数列$ 如# 0 $ $ 0 + $ 0 ( $ 0 ! $2% 0 + $ 0 & $ 0 $+ $ 0 $& $2% ! + "在等差数列& 0 % '中$对任意 5 $ % " ! , $ 0 % )0 5 , ! %*5 " 4 $ 4) 0 % *0 5 %*5 ! 5 8 % "% ! - "在等差数列& 0 % '中$若 5 $ % $ ( $ ) " ! , $且 5,%) ( , ) $则 0 5 ,0 % )0 ( ,0 ) ! %! 数列最值 ! $ "在等差数列& 0 % '中$当 0 $ 6 # $ 4 5 # 时$ + % 有最大值%当 0 $ 5 # $ 4 6 # 时$ + % 有最小值% ! " " + % 最值的求法# # 若已知 + % 的表达式形如二次函数$可用二次函数最值的求法! % " ! , "% $ 若已知 0 % $则 + % 取最值时 % 的值! % " ! , "可如下确定 0 % 7 # $ 0 %,$ 4 D ? @ # 或 0 % 4 # $ 0 %,$ 7 # D ? @ ! 三#等比数列 $! 等比数列定义#一般地$如果一个数列从第二项起$每一项与它的前一项的比等于同一个 常数$那么这个数列就叫做等比数列 ! 这个常数叫做等比数列的公比$公比通常用字母 ) 表示 ! ) 8 # "$即# 0 %,$ 0 % ) ) ! ) 8 # " ! !注意#*从第二项起+*常数+ ) )等比数列的公比和项都不为零" "! 等比数列通项公式为# 0 % )0 $ ( ) %*$ ! 0 $ ( ) 8 # " ! 说明#! $ "由等比数列的通项公式可知$当公比 ) )$ 时该数列既是等比数列也是等差数列% ! " "由等比数列的通项公式可知$若& 0 % '为等比数列$则 0 5 0 % ) ) 5*% ! +! 等比中项 如果在 0 与 2 中间插入一个数 K $使 0 $ K $ 2 成等比数列$那么 K 叫做 0 与 2 的等比中项!两 个符号相同的非零实数$都有两个等比中项" ! 即# 0 与 2 的等比中项 K , K " )02 , K)?槡02! -! 等比数列前 % 项和公式 一般地$设等比数列 0 $ $ 0 " $ 0 + $2$ 0 % $2的前 % 项和是 + % )0 $ ,0 " ,0 + , 2 ,0 % ! 当 ) 8 $ 时$ + % ) 0 $ ! $* ) % " $* ) 或 + % ) 0 $ *0 %) $* ) % 当 ) )$ 时$ + % )%0 $ ! 说明#! $ " 0 $ $ ) $ % $ + % 和 0 $ $ 0 % $ ) $ + % $各已知三个可求第四个%! " "注意求和公式中是 ) % $通项 公式中是 ) %*$ $不要混淆%! + "应用求和公式时 ) 8 $ $必要时应讨论 ) )$ 的情况 ! (! 等比数列的性质 ! $ "等比数列任意两项间的关系# 0 % )0 5) %*5 % ! " "对于等比数列& 0 % '$若 %,5)N,O $则 0 % ( 0 5 )0 N ( 0 O ! ( '( ( $! 已知数列& 0 % '的前 % 项和 + % )% " *'% $则其通项 0 % ) %若它的第 9 项满足 ( 5 0 9 5 & $则 9) ! "! 已知& 0 % '为等差数列$ 0 $ ,0 + )"" $ 0 % )! $则 0 ( ) ! +! 已知数列的通项 0 % )*(%," $则其前 % 项和 + % ) ! -! 已知& 0 % '为等差数列$ 0 $ ,0 + ,0 ( )$#( $ 0 " ,0 - ,0 % )'' $则 0 "# ) ! !! " .5*$ /5$ 05+ 15! (! 等差数列& 0 % '的前 % 项和为 + % ! 若 + " )- $ + - )"# $则该数列的公差 4) ! !! " .5" /5+ 05% 15! %! 等差数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $若 + + )% $ 0 $ )- $则该数列的公差 4) ! !! " .5$ /5 ( + 05*" 15+ !! 已知等差数列& 0 % '是递增数列$ + % 是& 0 % '的前 % 项和$若 0 " $ 0 - 是方程 ' " *%',()# 的 两个根$则 + % 的值为 ! &! 等差数列& 0 % '中$已知 0 $ ) $ + $ 0 " ,0 ( )- $ 0 % )++ $则 % 为 ! !! " .5-& /5-' 05(# 15($ '! 设& 0 % '是等比数列$且 0 $ ,0 " ,0 + )$ $ 0 " ,0 + ,0 - )" $则 0 % ,0 ! ,0 & ) ! !! " .5$" /5"- 05+# 15+" $#! 数列& 0 % '满足 0 %,$ ) $ $*0 % $ 0 & )" $则 0 $ ) ! $$! 设首项为 $ $公比为" + 的等比数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $则 ! !! " .!+ % )"0 % *$ /!+ % )+0 % *" 0!+ % )-*+0 % 1!+ % )+*"0 % $"! 已知& 0 % '是递增等比数列$ 0 " )" $ 0 - *0 + )- $则该数列的公比 ) ) ! $+! 设等比数列& 0 % '的公比 ) )" $前 % 项和为 + % $则 + - 0 " ) ! !! " .5" /5- 05 $( " 15 $! " $-! 设 + % 为等比数列& 0 % '的前 % 项和$ &0 " *0 ( )# $则 + - + " ) ! $(! 公比为 " 的等比数列& 0 % '的各项都是正数$且 0 + ( 0 $$ )$% $则 0 ( ) ! !! " .5$ /5" 05- 15& $%! 已知等比数列& 0 % '的公比为正数$且 0 + ( 0 ' )"0 ( " $ 0 " )$ $则 0 $ ) ! !! " .5 $ " /5 槡" " 槡05" 15" $!! 若等差数列& 0 % '的公差为 " $且 0 " $ 0 - $ 0 & 成等比数列$则& 0 % '的前 % 项和 + % ) ! !! " .!% ! %,$ " /!% ! %*$ " 0! % ! %,$ " " 1! % ! %*$ " " ( #% ( $&! 已知数列& 0 % '为等比数列$ + % 是它的前 % 项和$若 0 " ( 0 + )"0 $ $且 0 - 与 "0 ! 的等差中项 为( - $则 + ( ) ! !! " .5+( /5++ 05+$ 15"' $'! 等比数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $且 -0 $ $ "0 " $ 0 + 成等差数列 ! 若 0 $ )$ $则 + - ) ! !! " .5! /5& 05$( 15$% "#! 等比数列& 0 % '的公比 ) 6 # $已知 0 " )$ $ 0 %," ,0 %,$ )%0 % $则& 0 % '的前 - 项和 + - ) ! "$! 等比数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $若 + + ,++ " )# $则公比 ) ) ! ""! 等比数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $公比不为 $! 若 0 $ )$ $且对任意的 % " ! , $都有 0 %," , 0 %,$ *"0 % )# $则 + ( ) ! "+! 已知等比数列& 0 % '为递增数列 ! 若 0 $ 6 # $且 " ! 0 % ,0 %," " )(0 %,$ $则数列& 0 % '的公比 ) ) ! "-! !多选题"公差为 4 的等差数列& 0 % '$其前 % 项和为 + % $ + $$ 6 # $ + $" 5 # $下列说法正确的有 ! !! " .54 5 # /50 ! 6 # 05 & + % '中 + ( 最大 15 + 0 - +5+ 0 ' + "(! !多选题"已知正项等比数列& 0 % '满足 0 $ )" $ 0 - )"0 " ,0 + $若设其公比为 ) $前 % 项和为 + % $则 ! !! " .5 ) )" /50 % )" % 05+ $# )"#-! 150 % ,0 %,$ 5 0 %," "%! !多选题"设 4 $ + % 分别为等差数列& 0 % '的公差与前 % 项和$若 + $# )+ "# $则下列说法正确 的有 ! !! " .5 当 %)$( 时$ + % 取最大值 /5 当 %)+# 时$ + % )# 05 当 4 6 # 时$ 0 $# ,0 "" 6 # 15 当 4 5 # 时$ + 0 $# +6+ 0 "" + "!! !多选题"设等差数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $公差为 4 $且满足 0 $ 6 # $ + $$ )+ $& $则对 + % 描 述正确的有 ! !! " .5+ $- 是唯一最小值 /5+ $( 是最小值 05+ "' )# 15+ $( 是最大值 "&! !多选题"在公比 ) 为整数的等比数列& 0 % '中$ + % 是数列& 0 % '的前 % 项和$若 0 $ ,0 - )$& $ 0 " ,0 + )$" $则下列说法正确的是 ! !! " .5 ) )" /5 数列& + % ," '是等比数列 05+ & )($# 15 数列& 79 8 " 0 % '是公差为 " 的等差数列 "'! !多选题"等差数列& 0 % '的前 % 项和记为 + % $若 0 $ 6 # $ + $# )+ "# $则 ! !! " .54 5 # /50 $% 5 # 05+ % 4 + $( 15 当且仅当 + % 5 # 时 % 7 +" +#! !多选题"等差数列& 0 % '的前 % 项和为 + % $ 0 $ ,(0 + )+ & $则下列结论一定正确的是 ! !! " .50 $# )# /5 当 %)' 或 $# 时$ + % 取最大值 05 + 0 ' +5+ 0 $$ + 15+ % )+ $+ ( $% ( 所以当 -1时,T-2x满足条件; 当-2时,T-x满足条件; 当-3时,T-2不满足条件; 当a=4时,T一不满足条件, 故选AB. 42.AD【解析】为了得到函数y=cos(2x十)的图象, 将y-cosr的图象上所有点向左平移-个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变而得到. 也可将y-cos.的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度面得。 故选AD. 43.ABD【解析】 f(x)-sin(mr+)-3cos(ar+)-2sin(anr+-3). ./(c)的最小正周期为x.1.-2x-2. r ../(2)-2sin(2x+-). '/()-2.. 2sin(2x+-)-2,解得 +2kr,h :一. ../(x)-2sin2t. ./(x)是奇函数,故A正确; 其对称中心为(,0),^ez,故C错误; 故选ABD. 44.AC【解析】将函数y-cosr的图象向左平移个单位,得到函数yf(x)cos(x+)-sinx的图象. 显然,/(x)是奇函数,故A正确; 由于/(x)的最小正周期为2x,故B不正确; 当x=时,f(x)取得最大值,故y=f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确; 当x=-吾时,/(r)取得最小值,故y=f(x)的图象不关于点(一吾,0)对称,故D错误。 故选AC. 45.BC【解析】 由图象知函数的周期T一2× 由五点作图法得2×+-n,解得-2。 则f$(r)=sin(2+2)=cos(-2-23=cos(-2=cos(2x+)=sin(-2)=sin( ) 故选BC. 专题八 数 列 1.2n-10;8 【解析】 由S=n-9n得,当n-1时,a=S=-8;当n>2时,S,-(n-1)-9(n-1 $. 所以a.=S.-S.-=2n-10.于是a$=2k-10,所以有5<2k-10<8,b6N,解得$-8. 2.8 【解析】.a.+a-2a.2a=22,即a:-11. 因为a-a-4d,所以d--1,所以a-a。-d-8. .29. 4.B 【解析】a+a+a=105 ①. a+a+a。-99 ②. 由②-①得3d--6,则d--2. “2a-a.+a.'3a.-105. '$=35.'a=a+17d-1.故选 B 5.B 【解析】S-S=16,即a+a=16 ①. 又a十a=4②, 由①-②得4d-12,d-3.故选B 6.C 【解析】,S-6,即a+a+a=6, .3a:-6a:-2. ..d-a-a-2-4--2.故选C 7.24【解析】等差数列为递增数列,则d0,则a:-1,a.一5.则S.-24. 故由等差数列的通项公式可得a。一 9.D【解析】a是等比数列,且a:十a十a-1, 则由a:+a+a-q(a:十a:十a),得q-2, 'a+a+a-q(a+a+a)-2x1-32.故选D 10.2 【解析】数列的递推公式,采用选代法.原式可化为a。-1--分别代入可得. 11.D【解析】由s.-a-a可得. 1一 $2.2 【解析】由条件可得2-2=4,化简得-q-2-0,解得q-2或q--1 因为a.)是递增等比数列,所以g1,于是g一2. 1- 2 S._a+a+a:+a-1+-5. 14.5【解析】 :十a: 15.A【解析】.a:是a:与a的等比中项。 .a}-aan.a-4.,a--1.故选A. _2 16.B【解析】.a。是a。和a。的等比中项. 故公比是正数-2,则a:-- 17.A【解析】 依题得a-a·a:即(a+3d)-(a:+d)·(a+7d),可得a-2. 则S.-2n+“(n-1).2-ni(n+1).故选A. 2 18.C【解析】:aa-2a..a-2,即a-2. a: 1 #. .一得 1 2 则a,--16.sa(1-)-31.故选C. 1- 19.C【解析】 .4a。-4a+a-4+a. '4aq-4+ag,即-4q+4-0,即(q-2)?-0.-2 .s(1-)-15.故选C. 1一 .30. 20.1 【解析】 .aq+a.q-6a.-0(a.-0). '.由+q-6-0,即(q+3)(q-2)=0,解得q-2或q=-3(舍去) .s-a.(1-) 15 1-2- 1- 2 ..(1-)3a(1-)_0. 21.-2【解析】 1- 1- '由+4q+4-0,即(q+2)-0,解得q--2. 22.11【解析】.a.q+a.q-2a。-0(a.子0). '由+-2-0,即(q+2)(-1)-0,解得q--2或q-1(舍去). .$(1-)1×[1-(-2)]-11. 1- 1-(-2) 23.2 【解析】-,2a.q?-5a.q+2a.-0(a.-0). '$-5q+2-0,即(q-2)(2q-1)-0. .-2或-. .a.为递增数列. .-2. 24.AD【解析】.公差为d的等差数列a.),其前n项和为S.,S0,S。<0. .S.一 2 2 S- d-a-a.<o,故A正确; .ao.ao...S.中S。最大,故C错误; .a0.a0.a+a<0. '.ala.a<a,故D正确 故选AD. 25.ABD【解析】 根据题意: 对于A,正项等比数列(a.)满足2-4a+2q,变形可得a-q-2-0,解得q-2或q--1. 又由(a。)为正项等比数列,则q一2,故A正确; 对于Ba.-2·21-2”,故B正确; 2-1 对于D,根据B的结论;a.-2”,则a+a-2+2l-3·2-3a,而a-2-4·2-4a3a。,故D正确 故选ABD. 26.BC【解析】.d,S.分别为等差数列a.)的公差与前n项和,S。一S 2 $.-na (n-1)--14.5n+号--分(n-15)-225. 2 当d0时,当n-15时,S.取最小值;当d0时,当n-15时,S.取最大值,故A错误; -(n-15):- 225do,故B正确; 当n-30时,S.-- 2 当d>o时,a。+a-2a:+30d-d0,故C正确; 当d<o时,lao|-la+9d|--5.5d,la|-la+21dl--6.5d, '当d<0时,la<a,故D错误 故选BC. 由s-s,可得11a+1110-18a18×17,化为a:+14d-0-as. 27.CD【解析】 2r 2 .>0.'d<0. .S,S。是最大值. 29(a+as)-29a-0. S一 2 .31. .CD正确. 故选CD. 28.ABC【解析】 .+a-18.a+a-12,即a(1+)-18,a(q+q)-12,公比q为整数 解得a--2. 2-1 'S.+2一2..,数列(S。+2是公比为2的等比数列 S.-2-2-510. loga.三n,数列loga是公差为1的等差数列. 综上可得,ABC正确 故选ABC. 29.ABC【解析】 设等差数列a。)的公差为d,.a0,S。一S. '.10a+45d-20a;+190d,化为2a+29d-0. 'dc0,a+14d+a+15d-0. .a+a.-0.0.a<0. .S<S. S -3la0,S-15(as+a)-0. 综上可得,ABC正确. 故选ABC. 30.AD【解析】.等差数列a.)的前n项和为S.,a十5a。一S. .由a+5(a+2d)-8a87,解得a--9d. 2 故a。-a:+9d一0,故A正确: 不能推出当n一9或10时,S.取最大值,故B错误 'asl=la+8=l--ll,lal-a+1o|-ll,故有la|=la|,故C错误; 2 ---39d,故S.-S.故D正确 故选AD. 专题九 不等式 1.C 【解析】 特殊值法,取a一2,b一一1,经验证,只有C成立,故选C 2.D【解析】 特殊值法,取a-3,b-2,c--1,经验证①②③均成立,故选D 3.C【解析】 原不等式等价于(r-1)(r+2)0,解得一2<x<1.故选C. 4.[2,3]【解析】原不等式等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x3,故解集为[2,3]. 5.(0,2)【解析】由-1<x-1<1,解得0<x<2,故解集为(0,2). 6.A 【解析】因为f(1)-1-4十6-3,所以不等式/(x)f(1)的解集就是f(x)>3的解集 于是有 '解得0<x1或x>3或-3<x<0. r0. 20. 即不等式f(x)>f(1)的解集是(一3,1)U(3,十oo),故选A. 7.B 【解析】 由题意可得x(x-2)-x(x-2)+2x+(r-2)-r十--2. 由r十r-2<0得-2<x<1.故选B 1(3-): )2 因为x,:R,由均值定理得-+>2 :.-6. 即的最小值为3. r2 32.